巧用三角形剖析雙曲線的幾何性質

楊昊

摘 要：數學學習的精髓在于對各個知識點的深入理解和運用，在雙曲線的學習過程中，通過構建三角形可以更加直觀地加深對雙曲線性質的印象和了解。

關鍵詞：三角形 雙曲線 三角函數 斜率 離心率

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）02-0-01

高中數學的奧妙在于將各個模塊的思想相互結合。例如將幾何與函數進行結合，通過特定圖形的性質輔助可以加深我們對某些函數性質的理解，還可以增加一些解題小技巧。通過日常的學習和思考，我整理了三角形和雙曲線幾何性質的一些聯系，具體結果如下。

已知雙曲線焦點在x軸上時的標準方程式為 - =1，其軸長2a、虛軸長2b和焦距長2c的數量關系為a2+b2=c2。這個關系式讓人立刻聯想到在直角三角形中兩個直角邊的平方的和等于斜邊長的平方。同時雙曲線的漸近線表達式為 ，聯想到在直角三角形中直角邊與另一條直角邊的比值，即 的值（ 角為直角三角形中的一個銳角）；同理雙曲線的離心率[1] 且 ，也可聯想到在直角三角形中斜邊長與某一條直角邊的比值，即直角三角形中某個銳角的正弦值或余弦值。由此可見利用三角形來分析雙曲線的幾何性質是可行的。

一、雙曲線焦點在x軸上

1.構建三角形

將雙曲線標準方程 - =1的圖像作出，如圖1所示，其中點B為實軸的頂點，在y軸取線段OA使|OA|=b，過點A作平行于x軸的平行線與過B點作平行于y軸的平行線相交于點C。其中點A（0，b）、點B（a，0）、點C（a，b）。顯然△OBC為直角三角形，Rt△OBC即為所構建的三角形，滿足a2+b2=c2。已知雙曲線中的實半軸長的平方與虛半軸長的平方相加等于半焦距長的平方，故構建三角形中斜邊長就等于雙曲線的半焦距長。

2.在構建三角形中 的值與雙曲線漸近線的關系

如圖1所示，三角形斜邊OC在直線y= 上，已知y= 為雙曲線的一條漸近線，即構建三角形中 的值為一條漸近線的斜率。

應用舉例：雙曲線 的漸近線方程為（ ）

A. = B. =

C. = D. =

解析：將雙曲線方程式標準化可得 ， ， ，斜率k= 。

推論：雙曲線漸近線斜率的值也是就構建三角形中 的值，當 的值為特定值時，例如 =1時，構建三角形為等腰直角三角形，此時雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為45°；當 = 時，構建三角形中 =30°，漸近線與x軸的夾角變小，明顯可得到雙曲線的開口相較于 =1時狹窄。

3.在構建三角形中 的值與雙曲線離心率的關系

已知雙曲線的離心率 = ，同樣在構建三角形中又有a2+b2=c2，那么整理即可得到 = = = 。由上一條研究可得出 的值與雙曲線的開口程度有關，故而也可得出離心率e與雙曲線開口程度的關系，即雙曲線的開口程度隨著離心率e的增加而變得更加開闊。

二、雙曲線焦點在y軸上

上面對焦點在x軸上的雙曲線進行了大致研究，下面我們再來看焦點在y軸上的雙曲線是否也可以通過構建三角形進行研究。

1.構建三角形

焦點在y軸的雙曲線標準方程式為 - =1，如圖2所示，在x軸上取|OB|=b，過點B作平行于y軸的平行線與過實軸頂點A作平行于x軸的平行線相交于點C，其中Rt△OAC為所構建的三角形。同時已知 和 互余，便可據此搭建三角形與雙曲線的橋梁。

2.構建三角形與雙曲線漸近線和離心率的關系

由上文的推理可得雙曲線的漸近線斜率為 的值，又可知 = ，故焦點在x軸或y軸的雙曲線漸近線斜率的區別只在于a與b的確定和位置。

離心率e= ，放入構建直角三角形中可得 ，故離心率e= 。發現離心率與漸近線斜率都可用 角的三角函數表示，此時就需要對此進行代換整理，得出離心率[2] ，斜率 。

在實際運用中就可以使用這一結論，例如題目中給出雙曲線離心率的數值，讓求其漸近線的方程時就可以迅速得出答案。在某些題目中僅僅給出雙曲線離心率時也可將其換算進而得出漸近線的斜率，可作為隱藏條件使用。

三、共軛雙曲線漸近線斜率和離心率的關系

當雙曲線s： - =1的實軸（虛軸）是雙曲線 ： - =1的虛軸（實軸）時，稱其為共軛雙曲線，此時的漸近線斜率和離心率的關系也可用構建三角形進行解釋說明。

共軛雙曲線中，雙曲線s與雙曲線 的漸近線相同[3]，即雙曲線s漸近線的斜率k與雙曲線 漸近線的斜率 的值相等。從以上的研究可得出，當雙曲線的焦點在x軸時，其斜率為構建三角形中 的值，即 ；當雙曲線的焦點在y軸時，其斜率 = ， ，整理可得 。

經過構建三角形，可以對共軛雙曲線的性質有更加清晰的認識。

高中數學學習的關鍵在于將基礎知識牢固掌握后進行流暢的運用，其中數學思想和數學方法至關重要。本文僅對雙曲線的部分性質進行了淺顯的討論，不足之處還有很多，望各位老師和同學們予以批評指導。

參考文獻

[1]陳廣田，王玉貴.關于橢圓，雙曲線及拋物線離心率的幾何性質[J].數學通報，1999（6）：27-28.

[2]管廣春.精彩紛呈的雙曲線離心率計算公式[J].數學之友，2012（12）期：68-69.

[3]孫衛星.有共同漸近線的雙曲線的求法剖析[J].現代商貿工業，2009（3）：213-214.