用幾何直觀解碼數(shù)學(xué)抽象

余鳳君

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）新增核心概念之一，關(guān)于幾何直觀及其意義，《課標(biāo)》中有清晰的論述，此處不再贅言。在整個義務(wù)教育階段，《課標(biāo)》對“幾何直觀”的目標(biāo)設(shè)置層次也不豐富：第一學(xué)段的課程目標(biāo)沒有涉及幾何直觀，第二學(xué)段的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出了讓學(xué)生“感受幾何直觀的作用”，第三學(xué)段的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中提出了讓學(xué)生“經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀”。加之畫線段圖在分析、解決數(shù)學(xué)問題上不可撼動的“霸主”地位，因而很多教師對這一概念的理解僅停留在“利用圖形描述和分析問題”上，對于它的價值所在也僅限于“把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果”。然而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解題不是最重要的，因而把握幾何直觀的價值，不僅在于“探索解決問題的思路”，更重要的是“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”。“直觀”是相對于“抽象”而言的，抽象作為人頭腦中的思維活動，往往具有隱性的特征。幾何直觀正是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生的對事物的性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系的直接感知與認(rèn)識，對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，有學(xué)者將幾何直觀的表現(xiàn)形式分為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀，將以往教學(xué)中教師經(jīng)常使用的直觀手段都放在幾何直觀的范疇里，其意義也就在于凸顯數(shù)學(xué)教育要靈活地運(yùn)用各種幾何直觀形式形成認(rèn)識事物的能力。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾指出：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常會發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生對一些概念性的知識朗朗上口，但應(yīng)用起來往往漏洞百出，其原因是對于以形象思維為主的小學(xué)生而言，抽象的概念理解起來往往非常困難，如能將一些概念、定理等與幾何直觀手段相結(jié)合，就能使抽象的概念具體化、復(fù)雜的問題簡單化，學(xué)生也就容易接受了。眾所周知，周長、面積、體積是小學(xué)階段重要的幾何概念，在整個圖形與幾何的知識體系學(xué)習(xí)中意義重大。學(xué)生在一維的長度概念基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)二維的面積概念，并為后面學(xué)習(xí)三維的體積概念奠定基礎(chǔ)，逐漸建立空間觀念，形成對客觀世界的完整認(rèn)知。下面以北師大第四版教材三年級下冊“什么是面積”的教學(xué)為例，談?wù)剮缀沃庇^手段在學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念過程中產(chǎn)生的解碼作用。

片段一：

（1）師：我們常常用到數(shù)學(xué)書，現(xiàn)在請伸出手摸摸數(shù)學(xué)書的表面，再來摸摸聽算本的表面，再摸一摸你的課桌面，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：他們的表面都很滑。

師：我們這節(jié)課就從研究這些物體的表面開始。關(guān)于這些表面你們還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：它們都是長方形的。

師：哦，你還從這些表面上發(fā)現(xiàn)了圖形。

生：我還發(fā)現(xiàn)它們的表面有的大有的小。

師：哇，真仔細(xì)。那你能說一說它們誰的表面大誰的表面小嗎？

生：桌子的表面大，數(shù)學(xué)書的表面小。數(shù)學(xué)書的表面比聽算本的表面大。

師：數(shù)學(xué)書表面的大小就是數(shù)學(xué)書表面的面積。你能像這樣也說一說什么是課桌和聽算本表面的面積嗎？

生：……

師：物體表面的大小就是他們的面積。你還能像這樣找出身邊其他物體的表面，并說一說什么是它們的面積嗎？看一看，摸一摸，和同桌說一說。

生同桌交流。

（2）師：剛才有位同學(xué)還找到了學(xué)過的圖形，老師上課前也從一些物體上拓畫了幾個圖形在黑板上，想請同學(xué)到黑板上涂色比賽。要求在規(guī)定的時間內(nèi)把圖形涂滿顏色。

生：……

師：時間到，同學(xué)們有什么想法嗎？

生：左邊這個同學(xué)雖然很快，但是沒有涂滿。右邊這個同學(xué)涂得慢，但是涂滿顏色了。

師：你是什么意思呢，你能到臺上給大家解釋下嗎？

生（邊指邊說）：意思就是這里沒有封口，你就要一直涂下去，一直涂下去，邊沒有封起來就涂不滿。

師：哦，也就是說涂到這里有張開的口子我們就要一直往外涂，一直往外涂，如果這個黑板足夠大，還要往外涂。（邊說邊演示）你們同意他的觀點(diǎn)嗎？

生：……

師：看來像這些封口的圖形的大小我們就能確定，我們涂色就不能超出邊線了。像這樣封口的圖形我們稱為封閉圖形。那這樣不封口的圖形你們覺得叫什么圖形好？

生：……

師：封閉圖形的大小，就是它們的面積。（手勢）三角形的大小就是三角形的面積。你能和同桌說一說剩下的封閉圖形的面積嗎？

【思考】針對學(xué)生的實際情況，我將概念進(jìn)行分層解讀，設(shè)計了尋找身邊物體的面這一環(huán)節(jié)，通過看一看、摸一摸、說一說來直觀感受面的存在，形成關(guān)于面的表象，構(gòu)建面積的概念模型，使學(xué)生體會：面在體上，面有大小，它指的是一塊被包裹的區(qū)域。接下來，我通過涂色活動讓學(xué)生感受只有封閉圖形才能確定大小，開放圖形無法確定大小，所以“封閉圖形的大小就是它們的面積”。兩次活動將概念進(jìn)行分層解讀，有效降低了學(xué)生的理解難點(diǎn)，借助身邊常見的直觀材料，通過看、比、涂等感知活動中把抽象的數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)換成兒童易于理解和運(yùn)用的具體感受、直觀形式，建立面積表象，逐步在活動中理解概念，把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，最終抽象出面積概念。

片段二：

師：下面兩個圖形你能比出它們誰的面積大，誰的面積小嗎？

生：一眼就看出來了，左邊圖形面積小，右邊圖形面積大。

師：“看”出來的，這種比較面的方法叫“觀察法”。那下面這兩個圖形你還能用觀察法比出它們的面積大小嗎？

生：可以把它們“重”起來比。（邊演示邊解釋：就是把它們一邊對齊，看看誰多出來了，就像以前比角的大小一樣。）

師：真棒！還能用學(xué)過的辦法解決今天的問題，這種方法叫“重疊法”。

師：下面還有一組圖形，你怎樣比較它們的面積？課件出示淘氣量每條邊的長度，再加起來比較。

師：你認(rèn)為應(yīng)該怎么比，可以在小組內(nèi)討論。

生：我們小組認(rèn)為淘氣這樣比較面積不對，因為他量每條邊的長度，再加起來實際上是在計算它們的周長，比的也是它們的周長，而面積是在里面包著的一片。

師：面積是里面包著的一片？什么意思？

生：我可以上來指一指嗎？（邊指邊說）就是一周的邊線圍起來的里面這一片的大小。（教師板書：周長→線，面積→面的大小）

……

【思考】結(jié)合具體的問題情境通過觀察、操作、估計和直觀推理等活動認(rèn)識面積的含義，初步學(xué)會面積的比較方法。在學(xué)習(xí)面積的比較方法時，基于學(xué)生的生活經(jīng)驗，通過設(shè)計直接觀察比較，再到用重疊法比較，最后前兩種方法都無法直接比較正方形，長方形的面積，產(chǎn)生動手實踐需求，充分應(yīng)用直觀手段逐步引導(dǎo)學(xué)生走向思維的縱深處。周長和面積是刻劃圖形兩個重要因素，也是學(xué)生容易混淆的知識點(diǎn)，根據(jù)淘氣的比較方法，在小組內(nèi)交流辨析，思維產(chǎn)生碰撞，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，依托構(gòu)建的概念表征，直達(dá)抽象的概念本質(zhì)。

片段三：

師：除了剛才我們找到的這些比較面積的方法，你還有別的比較方法嗎？請比較信封中兩個圖形的面積（一個正方形、一個長方形），你可以用老師提供的材料（1角硬幣、小正方形、剪刀、尺子、方格紙……），也可以自己想辦法試一試。小組選擇一種方法合作完成。

交流匯報。

生1：我們用硬幣排滿兩個圖形，發(fā)現(xiàn)正方形擺了16個硬幣，長方形擺了15個，所以正方形面積大。

生2：我們跟他們結(jié)果一樣，但是我們沒有用那么多硬幣。我們都用了7個。我們先橫著擺一排，再豎著擺一列。發(fā)現(xiàn)正方形橫著數(shù)擺4個，豎著數(shù)也是4個，角上有一個公用的。長方形橫著數(shù)3個，豎著數(shù)5個，角上一個公用的。因為長方形對邊相等，我們沿著它的長和寬擺，就能想象出要3排，每排5個，一共3個5就能擺滿。正方形也可以這樣想。

師：剛才兩組的擺法有什么相同和不同之處？

生：……

師：還有別的方法嗎？

（生先后匯報了用小正方形和方格紙）

師：對于這幾種方法你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：都是看這個圖形可以擺滿多少個一樣的東西。

生2：我還有一種計算方法。我用尺子分別量出長方形的長和寬，然后乘起來。

……

【思考】通過小組活動促使學(xué)生在操作實踐中進(jìn)一步豐富了對面積概念的理解，提供啟發(fā)學(xué)生思維的腳手架，小組探究中學(xué)生體會到計量面積最基本的方法，即用相同的單位直接計量，為下一步學(xué)習(xí)面積單位打基礎(chǔ)。尤其是一個小組出現(xiàn)的半鋪法是我事先沒有預(yù)想到的，但是也說明了學(xué)生的思維已經(jīng)有了跳躍性，這將為后面長方形和正方形面積的計算埋下思考的種子，只要老師悉心澆灌，定會長出參天大樹。

全課反思：

本課內(nèi)容是關(guān)于面積的概念學(xué)習(xí)。文本呈現(xiàn)的內(nèi)容也比較簡單。但是數(shù)學(xué)概念教學(xué)中知道和了解只是淺層次的要求，理解才能內(nèi)化成學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。學(xué)生身邊都是實實在在的物體，對于線、面等是從來不曾單獨(dú)存在的，它們只抽象地存在于我們的想象中，小學(xué)生生活經(jīng)驗不足，主體思維多以形象思維為主，對概念理解起來有一定的難度，這就需要教師充分重視利用幾何直觀去揭示看不見摸不著的東西，化難為易，化隱為顯，化繁為簡，變抽象為具體。《課標(biāo)》中，幾何直觀是作為數(shù)學(xué)思考的一種方式提出的，它不只是目的，而且是手段，不是要教會學(xué)生，而是滲透直觀是解決困難問題的“利器”，其深遠(yuǎn)的價值在于“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”，這便要求教師要具有良好的幾何直觀的課程意識，多用幾何直觀的方式深入淺出地說明數(shù)學(xué)內(nèi)在道理，防止學(xué)生死記硬背。正如我國數(shù)學(xué)家張廣厚所言，“數(shù)學(xué)無疑是一門高度抽象的學(xué)科，需要人們具有高度抽象思維的能力，但是也同樣需要很強(qiáng)的幾何直觀能力。抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握住問題的實質(zhì)”。

編輯 溫雪蓮