淺談解析幾何中含參問題教學(xué)

汪本旺 姚文建

【摘要】本文以2018年浙江高考17題為例，從三種思路淺談解析幾何中含參問題教學(xué)，思路一函數(shù)與方程，即利用消元法得到二次函數(shù)最值問題；思路二利用參數(shù)方程，即參數(shù)法解決本題最值問題；思路三利用仿射變換將橢圓化為圓，結(jié)合圓的性質(zhì)和有關(guān)定理得到了結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】題意理解 解法賞析 引申拓展 反思突破 教學(xué)價(jià)值

【中圖分類號(hào)】G633.63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）02-0124-03

四、反思突破

1.關(guān)注基礎(chǔ)與通法

高中數(shù)學(xué)試題經(jīng)常以教材為背景，關(guān)注高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。全面考查基礎(chǔ)知識(shí)，主干知識(shí)，重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)落實(shí)，注重問題解決的通法，例如，本題考查橢圓中參數(shù)的取值范圍，本質(zhì)上屬于直線與橢圓的位置關(guān)系問題，涉及直線方程、平面向量的運(yùn)算、對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于難題。

思路一函數(shù)方程思想：法1，韋達(dá)定理。根據(jù)題意可以分析，直線的斜率必然存在且不為零，于是可以設(shè)出直線的方程，然后代入橢圓的方程，整理得到韋達(dá)定理；根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到坐標(biāo)關(guān)系，由韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化，并求出最值；最后根據(jù)最值求得參數(shù)的值。這種操作我們?cè)诮虒W(xué)中已經(jīng)討論了很多了，可見這便是圓錐曲線中的通法；法2，設(shè)點(diǎn)法。設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，并代入橢圓方程，得到相應(yīng)關(guān)系，然后利用平面向量得出兩坐標(biāo)的關(guān)系，再代入橢圓方程，與前面方程聯(lián)立得到目標(biāo)函數(shù)；最后對(duì)目標(biāo)函數(shù)求最值，進(jìn)而求得參數(shù)的值；法3，點(diǎn)差法。以坐標(biāo)為切入點(diǎn)，向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，利用消元法，得到關(guān)于參數(shù)的二次函數(shù)最值問題.值得說明的是，無論是韋達(dá)定理還是設(shè)點(diǎn)法或點(diǎn)差法，三者皆體現(xiàn)了設(shè)而不求、整體代換的思想，這是解析幾何的通性通法。

2.關(guān)注問題與轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)問題解決的關(guān)鍵，問題的合理轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)能力.化未知為已知，化復(fù)雜為簡單是基本轉(zhuǎn)化路徑，例如如何轉(zhuǎn)化本題中最值問題。我們知道，最值問題的求解形式主要有兩種：一是從幾何角度，利用圖形的幾何性質(zhì)直接判斷；二是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法（如導(dǎo)數(shù)、基本不等式或配方）解決。其關(guān)鍵在于選擇一個(gè)便于表達(dá)目標(biāo)的變量（如斜率、點(diǎn)坐標(biāo)、參數(shù)等），難點(diǎn)是根據(jù)具體情境選擇適當(dāng)方法求解最值問題。

3.關(guān)注變化與確定

數(shù)學(xué)中有些量是確定的，有些量是變化的，確定與變化是相對(duì)的，可以互相轉(zhuǎn)化。有些問題需要在變化中尋找不變量，也有些問題需要在不變中發(fā)現(xiàn)變化的軌跡，這樣才能抓住問題的本質(zhì)，才能合理的解決問題。

4.關(guān)注思考與角度

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，不同的理解和認(rèn)識(shí)會(huì)制定出不同的解決方案。所以，學(xué)習(xí)中要善于觀察、善于思考，這樣才能幫助我們找到合理的解決問題的途徑，拓寬我們的思路，培養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力。

五、教學(xué)價(jià)值

縱觀近幾年高考解析幾何試題，形式多變，但基本都是在運(yùn)動(dòng)變化過程中探究某些不變的性質(zhì)與規(guī)律。對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)變化問題，解題時(shí)要從已知出發(fā)深入探究產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源，從而確定從直線方程入手還是從點(diǎn)的坐標(biāo)入手。只要我們抓住解析幾何的知識(shí)本質(zhì)，遵循解題的基本規(guī)律，認(rèn)真探究已知、結(jié)論的本質(zhì)聯(lián)系，解題定會(huì)“柳暗花明”。

參考文獻(xiàn)：

[1]張星曄.解析幾何中參數(shù)取值范圍的常見求解策略[J].才智，2010（33）：47-48.

作者簡介：

汪本旺（1985.10-），男，安徽東至人，中教一級(jí)教師，致力于高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)。