Toeplitz算子的雙穩定性

胡朝龍，王緒迪，閔 濤

(西安理工大學理學院，陜西西安710054)

在算子理論中，建立代數方法去解決其中的問題是一種十分重要的手段[1]。結合代數學中的模理論，Douglas和Paulsen[2]首先引進了Hilbert模的概念，之后學者們利用這一新的概念解決了許多算子問題[3-7]。隨后，人們將代數幾何和復幾何運用到算子理論中[8]。其中，關于一些算子的約化性問題更是取得了許多實質性的進展[9]。

我們知道，對算子約化子空間的研究是一個十分重要的課題，這與von Neumann代數有著密切聯系。記H是Hilbert空間，T是H的有界線性算子，稱閉子空間M?H是T的約化子空間，如果TM?M且T*M?M。而約化子空間往往不能直接得到，需要建立一些特殊的方法去解決。

近年來，受文獻[10～12]的啟發，人們發現某些算子作用在Hilbert空間上會產生相應的分次結構，并且這種分次結構會對解決該算子約化性問題非常的有用。

(1)

并且有：

(2)

通過這一現象，文獻[10～11]于2015年成功地利用分次結構的概念解決了該算子的不可約性問題，即Mz+αw是不可約的當且僅當|α|≠1。并且同樣證明了該結果在雙圓盤Hardy空間H2(D2)上的有效性[12]。

1 預備知識

1.1 加權平方可和序列空間

設ω={ω0,ω1,…,ωn,…}是一個正數序列，f為形式冪級數：

(3)

定義范數：

(4)

此外，設δ={δ0,δ1,…,δn,…}是另一個正數序列，對形式冪級數：

(5)

設p(z)是一個形式冪級數，在H2(ω)上部分地定義一個算子為：

(Mpf)(z)=p(z)f(z)

(6)

其乘法是形式冪級數乘法。

定義3Mp被稱為符號為p的乘法算子。

性質3對任意多項式p，Mp是H2(ω)上的稠定線性算子。

(7)

即Mp的共軛。

1.2 分次S-模

在介紹分次S-模之前，先引進一些簡單記號和概念。

定義5設H是一個Hilbert空間，A和B是H上有界線性算子，A和B的換位子[A,B]是指：

[A,B]=AB-BA

(8)

現令

其換位子為：

(9)

通過計算可得：

Cznwm=(φ(n)-ψ(m))znwm

(10)

其中n,m∈+，且：

(11)

[f](n)=f(n)-f(n-1)

(12)

在繼續引進定義之前，先介紹一些符號。設A是Hilbert空間H的一族有界線性算子，F是H的任意子集，記[F]是通過F所生成的閉子空間，定義AF為：

AF=[{Af:A∈A,f∈F}]

(13)

定義6令T是Hilbert空間H上的一個有界線性算子，對每個整數n∈，定義：

(14)

同時，如果F是H的一個子集，則通過F產生T的約化子空間就等同于[∨n∈SnF]。若彼此相互正交，則有且有對任意n,m∈，

由上述現象可定義分次S-模。

定義7取定T，稱一個Hilbert空間H是分次S-模，如果有：

(15)

且

SnHm?Hn+m，n,m∈

(16)

其中Hn是H的閉子空間。

此后，當H稱為分次S-模時，這意味著H有一個齊次分解(式(15))。現進一步假設

如下新的定義擴展了文獻[13]中的穩定性概念。

定義8稱分次S-模H是穩定的，如果對每個整數n≥n0和非負整數m，成立SmHn=Hn+m。稱分次S-模H是反向穩定的，如果對每個整數n≤n1和非負整數m，還成立S-mHn=Hn-m。既穩定又反向穩定的分次S-模就被稱為是雙穩定的，此時稱T是雙穩定的。

定理1若分次S-模是不可約的，則H是雙穩定的。

證明：

由文獻[13]可得，若分次S-模是不可約的，H是穩定的。接下來只需證明若分次S-模是不可約的，H是反向穩定的。

取

則有：

(17)

且

(18)

(19)

于是H是反向穩定的。

證畢。

Hn=[{zkwl:k-l=n}]

(20)

2 定理的證明

先證明如下引理，這是關于判斷Hilbert空間中兩個具有相似結構的子空間相等性的結果。

引理1假設H是Hilbert空間，{f1,f2,…}是H的一組正交基。令：

H1=[f1+f2,f2+f3,…]

(21)

和

H2=[λ1f1+λ2f2,λ2f2+λ3f3,…]

(22)

其中λ1,λ2,…是復數。則有：

a) dim(H?H1)≤1；

d) 存在某個H使得對所有λi≠0且有H1≠H2；

e) 如果H≠H1，則H1=H2當且僅當0≠λ1=λ2=…；

f) 如果H≠H1，則H1+H2=H當且僅當H2≠H1且H2≠0。

證明：

0=〈f,fi+fi+1〉=ci‖fi‖+ci+1‖fi+1‖

(23)

可取d使得對任意整數i>0有d=|ci|‖fi‖。由于f∈H，有：

(24)

將d代入式(24)得：

(25)

對于c)，如果存在某個λi=0，則ei⊥H2，因此H≠H2。由此可以看出，如果所有λi≠0，則c)的結果是b)的一個推論。

對于d)，考慮：

K1=[e1+e2,e2+e3,…]

(26)

和

K2=[e1+2e2,2e2+3e3,…]

(27)

則由b)，有H=K1。由c)，有H≠K2。

0=〈g,λifi+λi+1fi+1〉=(-1)iλi+(-1)i+1λi+1

(28)

由于H1≠0，可得0≠λ1=λ2=…。

對于f)，若H≠H1，由H1+H2=H可得H2≠0，假設H1=H2，則有H=H1矛盾。此外，如果H1≠H2且H2≠0，由H1的余一維性質，可得H1+H2=H。

證畢。

開始證明定理2。

定理2的證明：

(29)

當n≥0，Hn=[{zn+kwk:k∈+}]，此時可證得S1Hn=Hn+1。

當n<0，Hn=[{zkwk-n:k∈+}]，令考慮有四種情況：

顯然，對于S1Hn=Hn+1，以上四種情況包含了所有可能。

對于a)，S1Hn=Hn+1成立。

對于b)，由引理1 a)可知：

(30)

(31)

因此S1Hn=Hn+1成立。

令Hn+1=[{zkwk-n-1:k∈+}]，對于c)，由：

(32)

和

(33)

并通過引理1 e)，可得到一系列等式：

φ(k+1)-ψ(k-n)=φ(k)-ψ(k-n-1)

(34)

其中k∈+。記Δ為相同的值，則Δ≠0且φ(k)=Δ+ψ(k-n-1)，k∈+。注意，Δ=0即d)。

又因為：

(35)

可得：

(36)

其中：

(37)

對于d)，Δ=0，此時重新記式(36)為：

(38)

令

則：

f(k)=f(0)+s(k)

(39)

其中：

(40)

然而，f(k)≥f(0)，得：

(41)

3 結 語

由此可知，對于一般的H2(ω,δ)空間，要從雙穩定性達到不可約性，還需要關于單生成元的結果，后續將就這個問題繼續進行討論

最近，關于分數階算子的模型有很多新進展[14-15]，這些模型和研究的典型問題將為分次模理論的研究提供一些新的思路。