平面四索驅動并聯機構的零點標定方法

郭曉玲,湯奧斐，張 奔

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048)

索驅動并聯機器人是由柔索代替剛性連桿的一種新型并聯機構，具有工作空間大、承載能力強、累計誤差小、易拆卸、可重構等優點，在加工制造、航空航天、醫療機械等領域得到廣泛應用[1]。

定位精度是索驅動并聯機器人的重要性能指標之一，對于實現末端執行器的精確操作具有重要意義。索驅動并聯機器人定位誤差主要分為兩類：一類是系統誤差，如加工誤差、裝配誤差、傳動誤差等；另一類是隨機誤差，如數字誤差、環境誤差、負載誤差等。

研究表明，幾乎95%的機器人位置誤差都是由于機器人內部運動學模型不準確引起的[2]，從而有必要對機器人進行運動學標定。

鑒于末端執行器所有的操作任務是相對于坐標系零點位置的相對運動，零點位置的準確程度直接決定機器人的定位精度。因此，減小零點誤差對提高機器人定位精度具有重要意義。

目前，對于零點誤差，國內外的解決方法主要有機械調整法和零點標定法兩種。其中，零點標定技術方面的研究較少，大多仍停留在理論研究和實驗階段[3]。Ding等[4]應用幾何誤差迭代及非線性擬合方法，對一種2自由度并聯機器人的零點誤差進行了辨識；郭云鵬等[5]運用空間矢量法建立了6自由度并聯平臺的零點誤差模型，借助激光跟蹤儀完成零點標定，提高了精度；隋春平等[6]以Delta并聯機器人為例，提出一種基于視覺測量的零點標定方法；梅江平等[7]針對一種4自由度高速并聯機器人Cross-IV的零點標定問題，提出了一種基于末端轉角誤差信息的快速零點標定方法。

本文針對平面四索驅動并聯機構，提出一種簡單快速的零點標定方法，首先根據運動學逆解建立零點誤差模型并建立目標函數；然后通過直角尺、千分表、磁力表座等標準量具采集測量點的坐標；接著，利用非線性最小二乘法對實驗數據進行處理，完成零點標定，并對實驗結果進行分析。

1 誤差模型

1.1 結構模型

四索驅動并聯機構的結構示意圖如圖 1(a)所示，該機器人系統由四個位于地面的電機同時驅動四個獨立的卷索機構，每個卷索機構上的柔索通過架設在靜平臺四個頂點上的定滑輪牽引動平臺運動。四索驅動并聯機構的連接圖如圖 1(b)所示，其中，全局坐標系為O-XY，其原點位于矩形B1B2B3B4的中點，OX方向為水平方向，OY方向為豎直方向；局部坐標系為O′-X′Y′，其原點位于動平臺的中心點，當動平臺位于矩形B1B2B3B4的中點時，局部坐標系與全局坐標系重合。

索與定滑輪的切點為Bi(i=1,2,…,4)，索與動平臺的連接點為Ai(i=1,2,…,4)，已知模型參數a=50 mm，b=1 120 mm。

由矢量封閉原理得，四索驅動并聯機器人的索長Li(i=1,2,…,4)為：

Li=|OBi-OAi|

(1)

式中：在全局坐標系O-XY下，OBi為柔索與靜平臺連接點的位置矢量；OAi為柔索與動平臺連接點的位置矢量。

此外，四根索的初始索長分別為L01、L02、L03、L04。卷索機構中的滾筒結構簡圖如圖 2所示。

已知電機旋轉一圈對應的脈沖數M=8 192，滾筒直徑D=50 mm，則一個脈沖對應的索長LM=πD/8 192=0.02 mm。因此，四根索的索長變化量ΔLi便可由脈沖變化ΔMi求得：

ΔLi=LM×ΔMi(i=1,2,…,4)

(2)

則索長Li為：

Li=L0i+ΔLi=L0i+LM×ΔMi(i=1,2,…,4)

(3)

圖1 四索驅動并聯機構結構簡圖Fig.1 Structure diagram for four-cable-driven parallel mechanism

圖2 滾筒結構簡圖Fig.2 Roller structure diagram

1.2 誤差模型

四索驅動并聯機構要實現精確控制，首要問題就是找到初始零點的準確位置。

設全局坐標系O-XY的原點O(x0,y0)為初始零點，為了找到它的準確位置，現對其進行標定。

首先，建立如圖 3(a)所示的測量坐標系O′-X′Y′。

Li,j=|OBi-OAi,j|

(i=1,2,…,4;j=1,2,…,N)

(4)

式(4)中方程組的個數為4N，其中包含2N+4個未知量。若方程有解，根據方程個數和解的關系有4N≥2N+4 ，即N≥2 ，因此測量點的個數至少為2。式(3)相應改寫為：

Li,j=L0i+ΔLi,j=L0i+LM×ΔMi,j

(i=1,2,…,4;j=1,2,…,N)

(5)

圖3 零點標定示意圖Fig.3 Diagram for zero-point calibration

由式(4)和式(5)可得，目標函數索長誤差E：

(6)

2 誤差測量

測量時，首要問題是確定測量坐標系的基準軸線，才能保證測量數據的準確。本文利用標準直角尺的兩條相互垂直的邊來確定測量坐標的軸系，如圖 4所示。

圖4 測量坐標系的選擇Fig.4 Selection of measurement coordinate system

前期準備工作：

姥姥沒接她的茬。反正也不是什么大不了的事，當年全是我做的主，今天我就再做主一次，也不跟你爸你媽商量了，全告訴你吧。

1) 因為靜平臺加工精度高，故選擇靜平臺上與全局坐標系X軸平行的邊作為測量坐標系X′軸的基準，在基準面處固定一塊與XOY平面垂直且與X軸平行的鋼板；

2) 標準量具磁力表座的底面平面度較高，沿著直角尺一條直角邊滑動，磁力表座上的百分表與鋼板接觸。

具體操作為：

首先，使直角尺與X軸平行的一條邊與磁力表座緊密接觸；

然后，記錄磁力表座沿著直角尺的直角邊滑動過程中百分表的讀數，即間接獲得直角尺與基準面的偏差，由于本文的測量精度為0.1 mm，故在滑動過程中百分表顯示的偏差在0.1 mm以內視為定位準確；

接著，不斷調整直角尺的位置，磁力表座在400 mm(最大實驗值)之內移動的過程中，其百分表的讀數偏差在0.1 mm以內，即說明直角尺一條直角邊所在位置為測量坐標系的X′軸，且與參考基準面平行；

同時，由于直角尺為標準量具，直角尺的另一直角邊確定為測量坐標系的Y′軸，此時，直角尺兩條邊便組成了測量坐標系O′-X′Y′[8]。

表1 零點標定實驗數據Tab.1 Experiment data from zero-point calibration

3 參數識別與誤差補償

測量點的坐標采集后，運用最小二乘法進行數值計算，求出滿足式(6)目標函數的最優解。求解過程中，先求解出目標函數的雅克比矩陣，再使用迭代法求出零點位置。

現將靜平臺和動平臺坐標代入式(6)中求出第i根索索長誤差，則式(6)變為：

Ei(x,y)=(bix-aix-x)2+(biy-aiy-y)2
(i=1,2,…,4)

(7)

式中：bix、biy為第i根索與靜平臺連接點的坐標；aix、aiy為第i根索與動平臺連接點的坐標；x、y為動平臺P的坐標位置。

對式(7)求其雅克比矩陣：

(8)

由于最小二乘法一般對初值的選取要求較高，這里選擇零點附近的值作為初值，即動平臺零點在測量坐標系下的初值P0坐標為：x0=-85.0 mm，y0=38.0 mm；初始索長(即標定零點位置對應的索長)為：L01=L02=L03=L04=756.60 mm。

(9)

給定迭代收斂精度ε=10-3mm，若存在：

(10)

則滿足收斂條件；否則繼續迭代，迭代增量為：

ΔP=-J+F

(11)

Pk+1=Pk+ΔP

(12)

式中：F為外力螺旋；Pk為第k次迭代的坐標，k的取值由式(10)的迭代結果確定；J+=(JTJ)-1JT。

標定算法的計算過程如圖5所示，其為第i根索最小二乘法標定流程圖。

通過上述方法，經4次(索編號i分別取1、2、3、4)計算后，標定后的零點坐標為：x0=-82.94 mm，y0=38.89 mm。

圖5 最小二乘法標定Fig.5 Least-squares calibration method

圖6 迭代計算誤差Fig.6 Iterative calculation error

4 結 語