基于微凸體連續變形理論的結合面切向剛度模型

王世軍，李志濤，韓子銳，趙金娟，李鵬陽

(1.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048；2.西安理工大學 印刷包裝與數字媒體學院，陜西西安710048)

結合面的接觸剛度包含法向接觸剛度和切向接觸剛度，接觸研究中通常單獨分析法向剛度和切向剛度，應用中則需要同時考慮法向剛度和切向剛度的影響。

傳統的法向接觸模型，如基于統計分析的G-W模型[1]和基于分形理論的M-B模型[2]，以及張學良[3]和尤晉閩[4]的模型，都沒有考慮彈塑性過渡階段的接觸變形，只把彈性與塑性接觸變形計入模型。Zhao[5]首次給出了一個法向接觸模型(ZMC模型)，該模型含有彈性、彈塑性以及塑性。隨后繆小梅[6]得到考慮微凸體彈塑性過渡階段的法向接觸剛度模型，王世軍[7]則基于微凸體彈塑性有限元接觸模型，建立了微凸體在彈性、彈塑性、塑性變形階段統一的接觸變量變化規律的表達式。何聯格[8]進一步將彈塑性過渡階段分為三個不同的小階段，得到了更加準確的法向接觸剛度模型。

在切向剛度的研究中，張學良[9]首次建立了具有尺度獨立性的結合部切向剛度分形模型，但是在該模型中僅僅將接觸變形過程劃分為完全彈性和完全塑性階段。CHEN[10]基于分形理論建立了曲面切向接觸剛度的分形模型，但是對微凸體的變形過程的劃分與張學良[9]相同,并未考慮微凸體變形過程中的彈塑性過渡階段。李小彭[11]在分形理論和摩擦學原理的基礎上，給出了考慮摩擦因素的切向剛度模型，此切向剛度模型中也僅僅考慮了微凸體在完全彈性過程中產生的切向接觸剛度。田紅亮等[12]改進分形幾何理論并且嚴格應用Hertz法向接觸力學得到了一個改進的切向接觸剛度模型，微凸體的剛度分析也只考慮完全彈性階段。劉鵬等[13]對考慮摩擦因素以及球面接觸時切向接觸剛度進行了研究，在得到的模型中仍然將接觸變形劃分成不連續的完全彈性變形過程以及完全塑性變形過程，但仍然未考慮接觸變形過程中的彈塑性過渡階段。上述切向接觸模型的建立都將微凸體的變形過程劃分為完全彈性和完全塑性兩個不連續的變形階段，僅僅考慮了微凸體在彈性階段的所產生的切向剛度。

近年來微凸體法向接觸特性的研究表明[14-16]，在逐漸增大法向載荷過程中，微凸體中的塑性區從無到有，由小變大，彈性區則由大變小，接觸面上微凸體的材料性質由彈性逐漸變為塑性，微凸體的變形過程從完全彈性階段到完全塑性階段需要經過一個彈塑性過渡階段。在這個過渡階段，微凸體在接觸面的切線方向上仍然具有彈性。微凸體切向接觸剛度分析中應當與法向接觸剛度分析一樣[5-8]計入彈塑性過渡階段的切向接觸剛度，不應該只考慮彈性階段的切向接觸剛度[9-13]。

本文依據Hertz理論，分形幾何理論和切向接觸理論，首次考慮彈塑性過渡階段中屈服區域沒有擴大至整個接觸表面前的彈塑性過渡階段所產生的切向剛度，推導出一個新的接觸表面的切向剛度模型。

1 結合面接觸變形基本理論

1.1 結合面微凸體接觸變形

結合面在相互接觸時，是非常復雜的，因此為了方便建模，可以將接觸進行等效，即互相接觸表面為粗糙表面和光滑的剛性平面。在整個粗糙表面接觸時，將整個表面上的單個微凸體等效為球體，當承受法向載荷P的作用時，其接觸狀態見圖1。其中R為微凸體等效的曲率半徑，ω為微凸體的法向變形量，P為施加在微凸體上的法向載荷，r為接觸區域的半徑。

圖1 單個微凸體與剛性平面的接觸狀態Fig.1 Contact state of a single asperity with a rigid plane

1.1.1完全彈性接觸狀態

在法向變形量ω<ωec的情況下，微凸體此時的接觸狀態為完全彈性變形。法向接觸載荷Fe和微凸體的臨界變形量ωec為[15]：

(1)

(2)

(3)

式中：D表示分形維數；G表示分形粗糙度；H表示兩材料中較軟材料的硬度，H=2.8σy，這里σy表示較軟材料的屈服強度。K表示硬度系數，K=0.454+0.41v，這里v表示兩材料中較軟材料的Possion比。E表示兩接觸材料的當量彈性模量，E1和E2分別表示材料各自的彈性模量，v1和v2分別表示材料各自的Possion比。

1.1.2完全塑性接觸狀態

根據文獻[3]的研究，當法向變形量ω≥ωpc=110ωec時(ωpc為發生塑性變形的臨界法向變形量)，微凸體進入完全塑性階段，此時平均接觸壓力等于較軟材料的硬度，單個微凸體法向接觸載荷FP為[15]：

FP=2πHRω

(4)

1.1.3彈塑性過渡接觸狀態

當法向變形量ωec≤ω<ωpc時，Kogut[16]認為微凸體處于彈塑性過度階段，發生彈塑性變形，并且可將該階段分為三個小階段，即ωec≤ω<6ωec、6ωec≤ω<68ωec和68ωec≤ω<110ωec。當法向變形量處于ωec≤ω<6ωec時，微凸體的屈服區域均發生在接觸面下方，塑性變形發生在接觸表面之下的微小體積內，塑性區域被大量的彈性區包圍，且實際接觸面積上每一點均發生彈性變形。由于接觸面積上都為彈性變形，因此在該階段，實際接觸表面還具有抵抗切向變形的能力，即具有切向剛度。隨著法向變形量的不斷增大，當ω=6ωec時，屈服區域由接觸表面下方擴大至接觸表面。當法向變形量處于6ωec≤ω<68ωec時，法向接觸載荷不斷增大，屈服區域在接觸表面隨之增大。由于在該階段實際接觸表面還是存在彈性接觸，因此也具有一定的抵抗切向變形的能力，只不過是隨著法向接觸載荷的增大以及屈服區域的增大，抵抗切向變形的能力不斷減小，即切向剛度在該階段不斷減小。當法向變形量增大至ω=68ωec時，屈服區域擴大至整個接觸表面，此時以及之后的階段，由于整個接觸表面都是塑性變形，不再具有抵抗切向變形的能力，也就不再具有切向剛度。但是此時結合面的接觸壓力仍舊小于兩材料中較軟材料的硬度。當微凸體頂端的變形量增大至ω=110ωec時，結合面接觸壓力和兩材料中較軟材料的硬度相等。此時結合面的微凸體進入完全塑性階段。微凸體在彈塑性過渡變形階段中三個不同階段的法向接觸載荷分別為如下[15]。

1) 當ωec≤ω<6ωec時：

(5)

2) 當6ωec≤ω<68ωec與68ωec≤ω<110ωec時：

(6)

1.2 結合面法向接觸載荷模型

根據文獻[15]可知，結合面的法向接觸載荷模型如下。

1) 當1

(7)

2) 當1

(8)

(9)

2 結合面切向接觸載荷模型

由于接觸表面已經發生塑性變形的微凸體，不能承受切向載荷，由此在建立切向接觸載荷模型時，不能包含整個接觸表面已經發生完全塑性變形的彈塑性過渡中第三小階段以及完全塑性階段。

根據文獻[17]可得，結合面的單個微凸體所能承受的切向接觸載荷為：

(10)

式中：v為兩材料中較軟材料的Possion比，F為單個微凸體所承受的法向接觸載荷。

根據文獻[2]可知，結合面微接觸點的面積分布密度函數為：

(11)

所有處于完全彈性階段的微凸體所能承受的切向接觸載荷為：

(12)

將式(1)、(10)和(11)代入到式(12)得如下式子。

1)當D≠1.5時：

(13)

2) 當D=1.5時：

(14)

所有處于彈塑性過渡第一階段的微凸體所能承受的切向接觸載荷為：

(15)

將式(5)、(10)和(11)代入到式(15)，得：

(16)

所有處于彈塑性過渡第二階段的微凸體所能承受的切向接觸載荷為：

(17)

將式(6)、(10)和(11)代入到式(17),得：

(18)

3 結合面切向剛度模型

結合面的真實接觸面積為：

(19)

將式(11)代入式(19)，得：

(20)

單個微凸體與平面接觸時的切向接觸剛度可表示為[18]：

(21)

式中：μ為摩擦系數。

處于彈塑性過渡第三階段以及完全塑性階段的微凸體接觸表面已經發生完全塑性變形，不再具有接觸剛度，由此結合面切向接觸剛度Kt可用下式來表示:

(22)

將式(11)和式(21)代入式(22)可得：

(23)

對式(23)進行量綱一化：

(24)

4 分析結果的討論

選取當量Possion比ν=0.2,摩擦系數μ=0.2，φ分別取1.0,0.1,0.01，量綱一分形粗糙度參數G*取1×10-8,1×10-9,1×10-10,1×10-11,1×10-12，而D=1.1～1.9。數字仿真計算結果見圖2～7。

對圖2～7進行分析可得如下結果。

切向接觸剛度隨著D的變化出現先增大后減小的趨勢與之前的研究[13,19]結果相同，但是之前的研究結果并未給出達到最大切向接觸剛度對應的D是隨著φ的增大呈現出減小的趨勢。

圖2 D對的影響 (φ=1,G*=1×10-9)

圖3 D與φ共同對的影響(G*=1×10-9)Fig.3 Influence of D and φ on (G*=1×10-9)

圖4 G*對的影響(φ=0.01)Fig.4 Influence of G* on (φ=0.01 )

圖5 φ對的影響 (G*=1×10-9)

圖6 h對的影響 (D=1.6,φ=0.01,G*=1×10-9)Fig.6 Influence of h on (D=1.6,φ=0.01,G*=1×10-9)

圖7 實際彈塑性接觸面積占實際接觸面積的比例圖Fig.7 Ratio of actual elastoplastic contact area to actual contact area

7) 微凸體處于彈塑性過渡階段的實際接觸面積占整個接觸過程的實際接觸面積的比例與D間的關系見圖7。該結果與文獻[6]的趨勢基本一致。由圖7可以看出，當D較大或較小時，微凸體處于彈塑性過渡階段的實際接觸面積占整個接觸過程的實際接觸面積的比例較大，因此不能忽略彈塑性過渡階段對接觸特性的影響。

5 理論計算與試驗驗證

為驗證本文建立的考慮彈塑性過渡階段的切向剛度模型的優越性，設計如圖8所示的接觸試驗模型。

圖8 實驗裝置圖Fig.8 Experimental device

為將結合部孤立，螺栓兩側采用橡膠墊將兩塊板與螺栓隔離開，并且將整個結構與地面也通過橡膠墊隔離開。螺栓上粘有應變片用來測量螺栓拉力，在平板上裝有IC壓電式加速度傳感器，其靈敏度為100 mv/g，量程為50 g，分辨率為0.000 2 g，采樣頻率范圍為0.7～10 000 Hz，采用阿爾泰USB2085動態數據采集儀進行實驗數據的采集與記錄，該采集儀具有32通道并且可以進行數模轉化，能夠連續地采集所需要的離散數據點的信息。

實驗裝置見圖9，在邊界位置布置8個位移傳感器，其分布位置為圖9中1～8，并在內部布置9個激振點，其分布位置為圖9中1～9。激振力信號通過信號放大器與采集卡反饋給計算機，并且利用位移傳感器測量輸出信號，通過采集信號的頻域分析，得到試樣的固有頻率。

圖9 結合面固有頻率測定實驗裝置圖Fig.9 Experimental device for the measurement of the natural frequency of the joint

有限元模型見圖10，上下試樣之間的接觸層被等效為一種均質的各向同性的虛擬材料，虛擬材料的等效厚度為309.6 μm。

圖10 包含虛擬接觸層的接觸試樣有限元模型Fig.10 Finite element model for contact sample containing virtual layer

有限元模型采用8節點的等參單元，單元總數為11 140個，其中虛擬接觸層的單元總數為852個。有限元模型的邊界條件為自由狀態，虛擬材料的法向參數通過文獻[8]的法向接觸剛度模型推導得出，而切向參數通過本文模型以及文獻[12]建立的切向剛度模型分別推導得出。將所獲得的虛擬接觸層材料參數通過APDL程序引入所建立的有限元模型，通過本文模型、文獻[12]模型得到的有限元仿真結果與試驗所得到在不同擰緊力矩下的前三階的固有頻率的對比曲線，見圖11。

圖11 有限元模型固有頻率與實驗固有頻率對比Fig.11 Comparison of the natural frequencies of FE model and the experimental natural frequencies

由圖11可以看出，不論虛擬材料結合部還是試驗測量得到的固有頻率都是隨著擰緊力矩的增大而增大，這是因為結合部接觸壓力增大，導致結合部接觸剛度增大，使得系統的固有頻率升高。

從圖11還可以看出，在不同階的固有頻率曲線中，本文所建立的模型得到的固有頻率總是比文獻[12]模型所建立的固有頻率更加地靠近試驗測得的固有頻率曲線，這是因為本文所建立的模型基于微凸體的連續變形理論，考慮彈塑性過渡階段產生的切向剛度，比文獻[12]所建立的模型更加地符合實際接觸情況，所以得到的數據更加準確，精度也更高。因此本文提出的由切向接觸剛度模型來預測固定結合部的動態特性會更加準確。

6 結 論

1) 基于微凸體連續變形理論，首次考慮了將彈塑性過渡階段中屈服區域沒有擴大至整個接觸表面前的彈塑性過渡階段所產生的切向剛度計入粗糙表面切向接觸剛度模型。在文獻[17]的基礎上，建立了包含微凸體在彈塑性過渡階段中前兩個小階段的切向剛度分形模型。

2) 分析結果顯示，隨著分形維數的增大，切向接觸剛度出現先增大后減小的趨勢。但是在不同的較軟材料的屈服強度與兩材料的復合彈性模量的比值下，出現最大切向接觸剛度對應的分形維數是不同的。φ增大時使得切向接觸剛度發生改變的分形維數出現減小。

3) 仿真結果顯示：當分形維數較大或較小時，彈塑性過渡階段的實際接觸面積占整個接觸過程的實際接觸面積的比例較大，不能忽略彈塑性過渡階段對接觸特性的影響。此外還發現彈塑性過渡階段產生的切向接觸剛度的大小取決于表面分形維數的大小。因為粗糙表面彈塑性過渡階段的實際接觸面積占整個接觸過程的實際接觸面積的比例隨著分形維數的增加出現先減小后增大的趨勢，當分形維數較大或較小時，忽略彈塑性過渡階段會使得切向接觸剛度過小。

4) 本文所建立的粗糙表面微凸體切向剛度分形模型與文獻[12]的模型進行比較，與試驗結果更為接近。說明了由于考慮了微凸體彈塑性過渡階段的彈性，使得建立的模型得到的切向剛度更加合理。