雙負(fù)超穎材料中的聲學(xué)界面波

張 峰，劉豐銘

(1.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，武漢 430068; 2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)理學(xué)院，武漢 430074)

1 引 言

過去的十年里，經(jīng)典波在超穎材料中的傳播已經(jīng)吸引了許多關(guān)注。聲學(xué)超穎材料作為一類新型人工復(fù)合材料，憑借其局域共振結(jié)構(gòu)可以使等效質(zhì)量密度和體模量同時(shí)為負(fù)[1-5]。Ambati等[6]指出聲學(xué)超穎材料中可以存在由負(fù)的材料參數(shù)引起的界面共振模式，并且他們還給出了這界面共振模式存在的必要條件。然而，他們僅僅提出一些虛擬的體系而不是現(xiàn)實(shí)可行的體系來研究這個(gè)問題。Park等[7]實(shí)驗(yàn)展示了具有負(fù)等效質(zhì)量密度的聲學(xué)超穎材料平板可以被用來實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)成像。但是在他們的工作中，只有等效質(zhì)量密度是負(fù)的，因此只有倏逝波參與了超透鏡的成像過程，從而使得聲學(xué)超穎材料平板的厚度相比于背景材料中的聲波長(zhǎng)必須足夠的小[8]。

在本文中，提出了一個(gè)具有低頻共振的真實(shí)的聲子晶體體系，該體系可以被視為聲學(xué)超穎材料并可以使用等效介質(zhì)理論[2]來描述。在某些頻率范圍，歸功于散射體中的共振，該聲學(xué)超穎材料的等效質(zhì)量密度和體模量可以同時(shí)為負(fù)。通過使用超胞方法，發(fā)現(xiàn)在雙負(fù)等效材料參數(shù)的頻率范內(nèi)出現(xiàn)的這些界面模式存在于非完全禁帶中，因而可以被用來加強(qiáng)倏逝波的透射從而實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)成像。同時(shí)所提出的雙負(fù)等效參數(shù)的超穎材料在實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)成像時(shí)倏逝波和傳播波都參與其中，這將使得超穎材料平板的厚度沒有限制。

2 構(gòu)成超穎材料的聲子晶體的帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的等效材料參數(shù)

本文中考慮的聲學(xué)超穎材料是由橡膠圓柱按正方晶格排列放置于水介質(zhì)中構(gòu)成。晶格常數(shù)用d來表示，橡膠圓柱的半徑設(shè)為R=0.27d。橡膠的密度[9]為ρ=1.3×103kg/m3，水的密度為ρ0=1.0×103kg/m3。橡膠的拉梅常數(shù)為λ=1.225×108N/m2和μ=5.3248×106N/m2而水拉梅常數(shù)為λ0=κ0=2.22×109N/m2。

圖1 研究界面模式使用的超胞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Supercell for calculations of interface modes

這里我們將使用超胞方法結(jié)合多重散射理論來研究界面模式的色散關(guān)系和本征場(chǎng)。超胞方法的主要思想是假定一個(gè)由晶體層和水層交替組成的輔助無(wú)限周期超結(jié)構(gòu)，然后應(yīng)用Bloch定理，將無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的問題轉(zhuǎn)化到單一周期進(jìn)行求解。圖1給出了輔助無(wú)限周期超結(jié)構(gòu)的示意圖。超胞由虛線標(biāo)出，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)=24d，內(nèi)部包含了16根圓柱。這是一個(gè)可以用來精確地計(jì)算界面模式的色散曲線的合適樣品，因?yàn)樗畬雍途w層必須足夠厚以避免在任何兩個(gè)相鄰的晶體-水界面處的界面模式之間的耦合。在這樣的極限下，超結(jié)構(gòu)中的表面模式的色散曲線將會(huì)收斂到半無(wú)限晶體的表面模式的色散曲線。

圖2 (a)二維聲學(xué)超穎材料的體模帶結(jié)構(gòu)；(b)由等效介質(zhì)理論給出的二維聲學(xué)超穎材料的等效質(zhì)量密度ρeff(虛線)和等效體模量κeff(實(shí)線)；所有等效參數(shù)已經(jīng)用水的聲學(xué)參數(shù)進(jìn)行歸一；ν0代表水中的聲速Fig.2 (a)Bulk band structure of the 2D acoustic metamaterials；(b)the effective mass density ρeff (dashed line) and bulk modulus κeff (solid line) of the acoustic metamaterials extracted according to effective medium theory；all the effective parameters have been normalized to the acoustic parameters of water；the quantity ν0 is the velocity of water

圖2(a)給出的是二維聲學(xué)超穎材料的體模帶結(jié)構(gòu)。因?yàn)橄鹉z的波速要低于水的波速，位移場(chǎng)主要局域于橡膠中，橡膠圓柱中存在著顯著的單極和偶極共振。因此等效質(zhì)量密度和等效體模量可以為負(fù)[2]。等效質(zhì)量密度ρeff和等效體模量κeff可以使用下面的等效介質(zhì)理論方程而得到[10]:

(1)

(2)

3 界面波的色散曲線

圖3 帶結(jié)構(gòu)的放大圖中給出的界面模式的色散曲線(點(diǎn)線)；界面模式出現(xiàn)在非完全禁帶中且該頻率范圍內(nèi)體系的等效材料參數(shù)為雙負(fù)值；虛線表示的是水基體的色散線；灰色點(diǎn)區(qū)域表示的是體模的帶結(jié)構(gòu)在Г-Χ方向的投影；ky是沿著晶體和水交界面的波矢量；底部圖給出的是此界面模式在超胞中的壓力場(chǎng)分布和抽出的中軸線縱界面的壓力場(chǎng)線分布Fig.3 Interface mode dispersion curve (dotted line) in an enlarged view of the band structure；the interface mode occurs in an incomplete band-gap within the double-negative frequency range；dashed line is the dispersion line of water host；grey point region is the projected bulk bands on Г-Χ the direction; ky is the wave vector along the crystal-water interface； the bottom panel shows the pressure field distribution of the interface mode in a supercell and the extractive line profile of the pressure field at the middle axis

圖3為界面模式的色散曲線以及投影在Г-Χ方向的體模帶和水基體的色散線。可以看到這個(gè)界面模式出現(xiàn)在非完全禁帶中，因而它傳播常數(shù)的最大值受到兩條體模帶交叉的限制。其次，在這個(gè)界面模式存在的很窄頻率范圍內(nèi)有ρeff,κeff<0,|ρeff|<ρ0以及κeff>ρeffκ0/ρ0，這與文獻(xiàn)[6]的結(jié)論一致的。最后，可以看到在完全禁帶的頻率范圍內(nèi)沒有界面態(tài)存在，這是因?yàn)樵谶@個(gè)頻率范圍內(nèi)等效質(zhì)量密度為正值。圖3中的底部圖為此界面模式在超胞中的壓力場(chǎng)分布。可以看到壓力場(chǎng)主要限制在最外層的2個(gè)晶體原胞中，大部分的聲能量都集中在橡膠圓柱中。

4 亞波長(zhǎng)成像

在超聲裝置的設(shè)計(jì)中界面聲波可以有著很多重要的應(yīng)用。通過由負(fù)的等效材料參數(shù)引起的界面模式來實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)成像。應(yīng)用時(shí)域有限差分方法(FDTD)，在圖4a中繪制平板透鏡成像的壓力場(chǎng)分布。該平板透鏡縱向有5個(gè)晶體周期厚，橫向有50個(gè)晶體周期寬，整個(gè)數(shù)值模擬區(qū)域四周有完美吸收邊界包圍以此來模擬無(wú)限自由空間。圖中工作頻率設(shè)為ω=0.308(2πν0/d)，處于界面模式的頻率范圍內(nèi)。在圖4(a)中可以看到一個(gè)像出現(xiàn)在平板透鏡的上半部。盡管傳播常數(shù)的最大值受到體模帶束縛而使得被增強(qiáng)的倏逝波的范圍受到限制，但像的橫向尺寸小于衍射極限。此外，為了討論材料耗散的影響，在圖4(b)中給出了材料在有耗散和沒有耗散時(shí)像在成像平面的橫向場(chǎng)分布。可以看到材料耗散雖然損害了成像質(zhì)量，但是亞波長(zhǎng)成像仍然可以實(shí)現(xiàn)。

圖4 (a)平板透鏡成像的壓力場(chǎng)分布，工作頻率設(shè)為ω=0.308(2πν0/d)；一個(gè)點(diǎn)源位于平板透鏡的底部；虛線表示平板透鏡的邊界；(b)平板透鏡在考慮材料耗散(虛線)和不考慮耗散(實(shí)線)時(shí)像在成像平面的橫向場(chǎng)分布對(duì)比Fig.4 (a)The numerically simulated pressure field distributions of imaging by a flat five-layer-thick lens for ω=0.308(2πν0/d)； a point source is located at the bottom side of the flat lens；dashed lines indicate the boundary of the flat lens；(b)transverse field distribution at the image plane for two cases: imaging without dissipation (solid line) and imaging with dissipation (dashed line)

5 結(jié) 論

利用超胞方法研究了雙負(fù)聲學(xué)超穎材料中的界面聲學(xué)模式，聲學(xué)超穎材料由正方排列的橡膠圓柱放置于水中構(gòu)成，界面模式存在于雙負(fù)頻率范圍里的非完全禁帶中。界面模式的本征壓力場(chǎng)分布明顯的顯示出界面波的基本特征：在垂直于交界面的方向上向兩邊衰減。通過使用時(shí)域有限差分方法(FDTD)，這種界面模式可以被用來增強(qiáng)倏逝波的透射從而實(shí)現(xiàn)亞波長(zhǎng)成像。文中研究的界面模式可以在超聲裝置的設(shè)計(jì)中有著更多的應(yīng)用。