多目標優化在投資組合策略中的應用

(武漢大學經濟與管理學院 湖北 武漢 430072)

一、投資組合最優化簡介

投資組合優化對于投資者制定投資策略起著關鍵的作用。投資者希望通過投資組合優化最大限度地提高投資組合的回報，并降低投資組合的風險。由于投資組合的回報是基于風險補償的，所以投資者必須權衡風險與收益。單一的優化組合并不能滿足所有投資者。一個最優投資組合是由投資者的風險收益偏好決定的。

在投資組合最優化中有幾個關鍵的概念。第一，回報和風險分別是由期望收益和組合方差度量的。期望收益通過資產的歷史數據計算估計出，而方差描述了回報的波動程度。第二，投資者面臨兩種類型的風險：系統性風險和非系統性風險。系統性風險是指由于全局性的共同因素引起的投資收益的可能變動，這種因素以同樣的方式對所有證券的收益產生影響。非系統性風險是指對某個行業或個別證券產生影響的風險，它通常由某一特殊的因素引起，與整個證券市場的價格不存在系統的全面聯系，而只對個別或少數證券的收益產生影響。第三，投資組合中不同資產的協方差影響組合的風險，因此，若投資者持有多樣化的不同資產，能夠較好地規避非系統性風險。以上幾點在Malkiel(1973)的著作《漫步華爾街》中有詳細探討。

(一)資產組合優化問題的公式化描述

在投資組合理論中，一個理性的投資者希望在給定的風險下最大化回報，或者在給定的回報下最小化風險。現實中存在著比較極端的投資者，他們有的只關心最大化收益(無視風險)，有的只注重最小化風險(無視收益)，一般投資者會介于二者之間。以下五種不同的模型適用于擁有不同優化目標的投資者：

Model 1:最大化期望收益(無視風險)

Model 2：最小化風險(無視期望收益)

Model 3:在給定風險σ2*下最大化收益

Model 4:在給定的期望收益p*下最小化風險

Model 5:同時最大化收益和最小化風險

以上五種模型既包括了理性的投資者，也包含了極端的投資者，分表公式化地描述了它們的投資優化目標。模型3、4分別是模型1、2在特定約束下的情形。在投資組合最優化中，最常用的方法是由H.M.Markowitz(哈里·馬科維茨)在1952年提出的均值-方差模型，均值-方差分析方法的思路是在每個給定的期望收益水平上，最小化投資組合的方差，不同的期望收益有不同的最小方差，構成最小方差集合。即模型4所表達的含義。此模型假設所有的投資者的目標都是風險最小化，因此對于那些喜好風險的投資者不太適用，并且方差最小化的思想沒有同時兼顧到風險最小化和期望收益最大化。

(二)多目標優化簡介

(1.1)

由于投資者希望同時實現風險最小化和收益最大化，投資組合優化問題可以處理為一個多目標優化問題(模型5)。我們可以在這種情形下實現帕累托最優，因為模型5屬于凸向量最優化的范疇，凸向量最優化保證了任何局部最優解是全局最優解。本文接下來基于凸向量最優化主要分析多目標優化方法，并將其應用到投資組合優化中。

二、多目標優化方法

(一)凸向量最優化

在具體研究多目標最優化問題之前，有必要先介紹一下凸向量優化的概念。

一個集合S?Rn被稱作凸集，如果S中任兩點連線內的點都在集合S內，即：

x,y∈S,θ>0?θx+(1-θ)y∈S

圖2.1 凸集示例

函數f:Rn→R為凸函數，如果它的定義域domf是凸的并且對于所有的x,y∈domf，θ∈[0,1]，有f(θx+(1-θ)y)≤θf(x)+(1-θ)f(y)。

函數f是凹的，如果-f是凸的。從圖形上，凸函數的曲線在其曲線上任意兩點連線的下方，例如：

圖2.2 凸函數

一個向量凸優化問題有以下形式：

(二)多目標優化公式化描述

(Model 5)

(Modified Model 5)

①調整后的模型5中的目標函數是凸的，因為V是半正定的。一個二次可導函數f是凸的，當且僅當對于所有的x∈domf，f的二階導是半正定的。

(三)多目標最優化問題的求解

多目標最優化問題可以通過拉格朗日乘子法解決：

(2.1)

(2.2)

為解出拉格朗日乘子λ，將式(2.2)代入約束1Tx=1：

(2.3)

(2.4)

權重向量x的最優解為：

(2.5)

最優解的具體推導在附錄A中給出。

三、多目標最優化與均值方差分析的比較

前一節已經給出了一個多目標優化方法的應用實例，這一節將把多目標優化方法和傳統的均值方差分析法作比較。同時將多目標優化和均值方差分析運用到同一個資產組合，得到能夠展現出所有可能的最優投資組合風險-收益權衡的曲線——有效邊界，如圖3.1所示。

圖3.1 多目標優化和均值方差法的有效邊界

圖3.1可以看出，兩種方法得到了兩組相同的最優解。

均值方差分析法和多目標優化方法的主要區別在于它們對問題的描述。多目標優化方法在一個需要優化的式子中加入了兩個優化目標(最小化風險和最大化收益)，而均值方差分析法只有一個優化目標。均值方差分析法將期望收益設為定值，求得在每一個特定的收益水平上的最小方差。

多目標優化相對于均值方差分析法有兩個優勢。第一，由于均值方差分析假設投資者的唯一目標是最小化風險，它并不能很好地為具有不同風險偏好的投資者量身設計出最優投資策略，而多目標優化能夠使用與每一個投資者，無論他的風險容忍度如何。第二，均值方差方法要求投資者給定一個期望收益，但很多時候投資者并不想給他的投資組合設定收益上如此固定的限制，而多目標優化就能夠給這樣的投資者更多的建議。

兩種方法另外一個關鍵的不同點存在于它們是如何獲得有效邊界的。多目標最優方法的有效邊界是通過改變風險規避指數μ來得到的，因為一個μ值決定了一組風險和期望收益。然而，均值方差方法的有效邊界是由改變兩組最優投資組合的比例而得到的，這便是兩基金分離定理：在所有有風險資產組合的有效組合邊界上，任意兩個分離的點都代表兩個分離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點所代表的有效投資組合，都可以由這兩個分離的點所代表的有效投資組合的線性組合表示。

四、總結

傳統的單目標優化方法，比如最典型的即為均值方差分析，通過設定一個優化目標、把其他目標固定位常量來實現最優化。在投資組合優化問題的應用中，結果是必須要求投資者在一個確定的期望收益水平上獲得最小風險的最優組合。多目標最優化提供了另一種思路，它能夠應用到具有不同風險容忍度的投資者身上，包括那些極端的風險愛好者和風險規避者。風險規避指數衡量了一個投資者相對于收益，他重視風險的程度。對于任何一個給定的風險規避指數，多目標優化方法都能提供給投資者同時做到最小化風險和最大化收益的最優投資組合策略。