基于l1范數(shù)稀疏解的水下雙層圓柱殼振動(dòng)聲輻射預(yù)報(bào)影響因素研究

葉海林，陳美霞，陶襄樊

（1.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074；2.武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064）

0 引 言

結(jié)構(gòu)振動(dòng)監(jiān)測和輻射聲場預(yù)報(bào)在振動(dòng)優(yōu)化和聲輻射控制方面具有重要的意義，利用有限數(shù)量的振動(dòng)傳感器預(yù)測結(jié)構(gòu)聲輻射一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的問題。目前主要的預(yù)報(bào)方法大致可以分為基于模態(tài)的方法、邊界元方法、波疊加法以及聲全息的方法等。

Elliott[1]等比較了使用聲輻射模態(tài)展開法與振動(dòng)模態(tài)展開法在計(jì)算矩形平板輻射聲功率時(shí)的異同；陶建成等[2]在考慮模態(tài)幅度估計(jì)時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)目要求的基礎(chǔ)上，比較了使用振動(dòng)模態(tài)展開法和輻射模態(tài)展開法預(yù)測輻射聲功率對速度傳感器的數(shù)目要求；孫超等[3]根據(jù)基于波疊加方法的聲全息技術(shù)研究了水下聲源的輻射聲場預(yù)報(bào)問題，通過水聽器陣列測得的復(fù)聲壓預(yù)報(bào)三維空間聲場的聲特性；王斌[4]以聲場疊加原理為基礎(chǔ)，根據(jù)聲傳遞特性直接建立結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)與輻射聲場間的傳遞關(guān)系提出了單元輻射疊加法，在更寬的頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輻射聲場的快速近似預(yù)報(bào)；何衛(wèi)平[5]基于模態(tài)分析理論，以結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型矩陣的條件數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，采用逐步削減測點(diǎn)的方法以有限個(gè)測點(diǎn)的振速重構(gòu)得到殼體上振速的空間分布，進(jìn)而對輻射聲場進(jìn)行了預(yù)報(bào)；余鵬[6]針對水下單層圓柱殼聲輻射預(yù)報(bào)的測點(diǎn)布置問題，提出了基于比例系數(shù)-有效獨(dú)立法的測點(diǎn)優(yōu)化布置方法；阮竹青等[7]利用有限元法計(jì)算大尺度單層加肋圓柱殼在水下振動(dòng)時(shí)的表面速度分布，根據(jù)邊界元法及各測點(diǎn)處的速度計(jì)算不同測點(diǎn)布置對應(yīng)的輻射聲功率。

何衛(wèi)平的逐步削減法對空氣中的簡單結(jié)構(gòu)較低頻率具有較好的適用性，但對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，因其模態(tài)密集，局部模態(tài)較多，很難得到準(zhǔn)確的模態(tài)信息，而且此方法要求測點(diǎn)的數(shù)目M不能小于所取的模態(tài)數(shù)N，對于復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)來說，這是不現(xiàn)實(shí)的。如何采用較少的測點(diǎn)數(shù)，而盡可能多的包含結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息，進(jìn)而重構(gòu)得到結(jié)構(gòu)振速的空間分布，是較為棘手的問題。為解決這個(gè)問題，本文采用 范數(shù)稀疏解[8-9]，實(shí)現(xiàn)在測點(diǎn)數(shù)M遠(yuǎn)小于重構(gòu)采用的結(jié)構(gòu)前N階模態(tài)的情況下，對水下雙層加筋圓柱殼速度場的重構(gòu)，并以重構(gòu)出的速度場作為邊界條件，運(yùn)用邊界元方法對水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進(jìn)行預(yù)報(bào)，并對影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射預(yù)報(bào)的因素—重構(gòu)采用的模態(tài)數(shù)目、測點(diǎn)數(shù)目、模態(tài)誤差等做了深入的研究，最后采用試驗(yàn)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基本理論

1.1 模態(tài)疊加理論

對于水下結(jié)構(gòu)在激勵(lì)力作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，其運(yùn)動(dòng)方程可表述為：

式中：M、C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，p（t）為流體與結(jié)構(gòu)交界面上由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的流體載荷，f（t）為除了p（t）以外的外界激勵(lì)，x（t）為結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)的位移向量。

經(jīng)Laplace變換后，得到結(jié)構(gòu)頻域中的振動(dòng)表達(dá)式為：

由模態(tài)疊加原理[10]，將結(jié)構(gòu)的振速場在干模態(tài)空間中進(jìn)行展開：

式中：φr表示真空中結(jié)構(gòu)的第r階振型，ξr表示結(jié)構(gòu)的第r階模態(tài)參與因子。（3）式代入（2）式中得：

（4）式兩邊同時(shí)乘以 φs，得到

由振型的正交性，（5）式可化簡為：

由此，可得第S階模態(tài)參與因子為：

（7）式表明，將水下結(jié)構(gòu)的振速場采用真空中的結(jié)構(gòu)模態(tài)展開的方法是合理的，將流體載荷作為外部激勵(lì)力，流體載荷只對模態(tài)參與系數(shù)有影響，而且這種用真空中結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型來展開水中結(jié)構(gòu)諧響應(yīng)的方法在文獻(xiàn)[11-12]中也有用到。這樣，通過布置在結(jié)構(gòu)表面一定數(shù)目的測點(diǎn)的振速及結(jié)構(gòu)在空氣中的模態(tài)，求解得到模態(tài)參與系數(shù)，進(jìn)而就可以對水下結(jié)構(gòu)的振速場進(jìn)行重構(gòu)。

對受法向激勵(lì)力的水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)，假設(shè)將其表面離散成n（ n= n內(nèi)*n外）自由度系統(tǒng)，由上述的模態(tài)疊加理論，其表面法向振速場可以表示為：

在中、低頻段范圍內(nèi)，由于高階模態(tài)對結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)很小[13]，所以可以采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒ǎ雎愿唠A模態(tài)的影響。設(shè)選取的模態(tài)階數(shù)為N，則（8）式可以表示為：

從而可得結(jié)構(gòu)表面任意M個(gè)測點(diǎn)（內(nèi)殼或外殼）法向振速為：

由（10）式，通過M個(gè)測點(diǎn)（內(nèi)殼或外殼）的振速，可以逆向求解出模態(tài)參與向量[ξ ]N×1，再代入（9）式進(jìn)而對結(jié)構(gòu)的整個(gè)輻射表面的振速場進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)際中，我們只需要在內(nèi)殼（或外殼）布置M個(gè)測點(diǎn)，以及內(nèi)、外殼的前N階模態(tài)（可由數(shù)值建模計(jì)算得到），即可重構(gòu)得到內(nèi)外殼的振速場空間分布。分析（10）式確定的線性方程組，當(dāng)M≥N時(shí)，（10）式為超定或恰定方程組，通過最小二乘法或解方程可以得到[ξ]N×1的唯一解，但此時(shí)測點(diǎn)數(shù)目必須大于或等于截?cái)嗄B(tài)的數(shù)目。對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，當(dāng)振動(dòng)響應(yīng)的頻率較高時(shí)，截?cái)嗄B(tài)的數(shù)目較多，需要布置非常多的傳感器，實(shí)際中往往難以實(shí)行，而M＜N更符合現(xiàn)實(shí)情況，此時(shí)（10）式為欠定方程組，[ξ]N×1解的非唯一性成為預(yù)報(bào)問題的難點(diǎn)。由模態(tài)疊加原理，在中、低頻段范圍內(nèi)，對于結(jié)構(gòu)在某一頻率下的響應(yīng)，只有少數(shù)幾階模態(tài)的貢獻(xiàn)較大[12]，其它各階模態(tài)對響應(yīng)的貢獻(xiàn)都很小，從而[ξ]N×1向量具有非常大的稀疏特性。基于l1范數(shù)稀疏解的預(yù)報(bào)方法正是從[ξ]N×1向量自身的稀疏特性出發(fā)，從（10）式的所有解中，尋找最能滿足結(jié)構(gòu)實(shí)際振動(dòng)情況的解。

1.2 l1范數(shù)最優(yōu)化理論

本文所采用的基于l1范數(shù)稀疏解預(yù)報(bào)方法從[ξ]N×1向量自身的稀疏特性（即向量的大多數(shù)元素為0或接近0，而遠(yuǎn)大于0的元素個(gè)數(shù)非常少）出發(fā)，在M＜N的情況下，尋求（10）式最稀疏的解，作為結(jié)構(gòu)實(shí)際振動(dòng)情況下的模態(tài)參與系數(shù)，故方程組（10）的求解可以表述為下式所示的優(yōu)化問題：

式中：f（ξ）是表示向量ξ稀疏度的函數(shù)，對于N維向量ξ∈RN，其非0元素的個(gè)數(shù)越少，代表向量ξ越稀疏。數(shù)學(xué)上向量的0范數(shù)l0定義為向量中非零元素的個(gè)數(shù)，因此可以用向量的0范數(shù)對向量的稀疏性進(jìn)行度量[14]。從而可以將優(yōu)化問題（11）表示為：

文獻(xiàn)[15]指出l0范數(shù)最小化問題是一個(gè)NP難題，需要窮舉ξ中非0元素位置的所有種排列可能，實(shí)際中是難以實(shí)現(xiàn)的。針對這一問題，文獻(xiàn)[15]指出l0與l1范數(shù)優(yōu)化問題的等價(jià)性，利用l1范數(shù)代替l0范數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸優(yōu)化問題，即（12）式所表示的優(yōu)化問題可以等價(jià)表述為：

（13）式所表述的凸優(yōu)化問題的最優(yōu)解可以唯一確定，并且對這一類凸優(yōu)化問題，目前已有多種成熟的求解方法，如線性規(guī)劃法[16]、最短路徑法[17]和組合算法[18]等。針對這一問題，本文采用文獻(xiàn)[16]所提出的線性規(guī)劃法來求解。

2 數(shù)值分析

2.1 模型介紹

雙層加筋圓柱殼長L=1.05 m，外殼半徑R1=0.525 m，內(nèi)殼半徑r1=0.425 m，外殼板厚h1=2 mm，內(nèi)殼板厚h2=4 mm，圓環(huán)板厚度hp=2 mm，內(nèi)殼環(huán)肋截面尺寸：4×33 mm；材料的楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比υ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3，阻尼比ξ=0.005。圖1為雙層加筋圓柱殼的測點(diǎn)布置示意圖，本文中采用均布測點(diǎn)的方法。由于激勵(lì)力在圓柱殼內(nèi)殼的正中位置，不失一般性，將測點(diǎn)偏離激勵(lì)力所在位置，軸向移動(dòng)了一個(gè)肋位，周向偏移10度開始布置測點(diǎn)。以圖1中坐標(biāo)系，在聲場中確定兩個(gè)場點(diǎn)作為聲輻射預(yù)報(bào)的檢測點(diǎn)，分別為 P（1 m，0 m，0.525 m），Q（0 m，-1 m，0.525 m）。

圖1 雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)測點(diǎn)布置示意圖Fig.1 The location of measurements on double ring-stiffened cylinder shells

2.2 模態(tài)數(shù)目的影響

從（10）式所確定的線性方程組可以看出，在求解此方程的過程中，所采取的模態(tài)數(shù)目、測點(diǎn)的數(shù)目以及模態(tài)振型的準(zhǔn)確與否是對重構(gòu)得到結(jié)構(gòu)振速的空間分布結(jié)果影響較大的因素。在測點(diǎn)數(shù)一定的情況下，增加參與重構(gòu)的結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)目，可以更準(zhǔn)確地重構(gòu)出結(jié)構(gòu)的振速空間分布，過少的模態(tài)數(shù)目必然導(dǎo)致重構(gòu)結(jié)果的不準(zhǔn)確。然而，過多的結(jié)構(gòu)模態(tài)參與計(jì)算將會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間，不夠經(jīng)濟(jì)。為尋求較為理想的模態(tài)階數(shù)，首先對模態(tài)截?cái)鄶?shù)目進(jìn)行研究，分別截取結(jié)構(gòu)前500、900和1 000階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，并與采用數(shù)值軟件Ansys/Sysnoise仿真計(jì)算得到的P、Q場點(diǎn)的聲壓值結(jié)果進(jìn)行對比。

圖2 不同模態(tài)階數(shù)對預(yù)報(bào)結(jié)果的影響Fig.2 The influence of different mode numbers selected on reconstruction of sound field

圖2的結(jié)果表明，在0～700 Hz的頻率范圍內(nèi)，選取截?cái)嗄B(tài)數(shù)目為500、900和1 000階時(shí)，輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果均相差不大；在700～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，選取截?cái)嗄B(tài)數(shù)目為500時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果沒有截?cái)嗄B(tài)數(shù)目為900和1 000時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果精確。說明進(jìn)行模態(tài)截?cái)鄷r(shí)，需要包含對研究頻段內(nèi)響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)。同時(shí)，在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，截?cái)嗄B(tài)數(shù)目為900和1 000時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果基本是一樣的，說明選取的截?cái)嗄B(tài)包含對響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)時(shí)，再增加模態(tài)數(shù)目時(shí)，預(yù)報(bào)結(jié)果會(huì)趨近于收斂。

圖3 700 Hz模態(tài)參與系數(shù)對比結(jié)果Fig.3 The comparison of modal participated coefficient at frequency 700 Hz

圖4 800 Hz模態(tài)參與系數(shù)對比結(jié)果Fig.4 The comparison of modal participated coefficient at frequency 800 Hz

圖3和圖4分別對比了700 Hz和800 Hz處振動(dòng)響應(yīng)對應(yīng)的模態(tài)參與系數(shù)，可以看出預(yù)報(bào)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果能夠取得較好的吻合，預(yù)報(bào)結(jié)果可以識別出對響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)并能夠識別出模態(tài)對應(yīng)的貢獻(xiàn)大小，也驗(yàn)證了模態(tài)參與系數(shù)向量的稀疏特性，與本文采用方法的假設(shè)是一致的。同時(shí)，對700 Hz振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)在前500階模態(tài)以內(nèi)，對800 Hz振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)在前900階以內(nèi)，這與圖2預(yù)報(bào)結(jié)果表現(xiàn)出的規(guī)律是一致的，若截取的模態(tài)未能包含對振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)階數(shù)，將會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)的結(jié)果變差，誤差很大。在實(shí)際工程中，可以先計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)最高頻率處的模態(tài)參與系數(shù)向量，從而選取包含對該最高頻率處振動(dòng)響應(yīng)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)階數(shù)即可滿足重構(gòu)要求。

2.3 測點(diǎn)數(shù)目的影響

基于l1范數(shù)稀疏解的預(yù)報(bào)方法通過將測點(diǎn)的振速用模態(tài)振型疊加表示，組成欠定方程組，在進(jìn)行優(yōu)化求解得到模態(tài)參與系數(shù)向量時(shí)，該欠定方程組是優(yōu)化問題的約束條件。通常，測點(diǎn)數(shù)目越多，意味著優(yōu)化問題的約束條件越多，得到的解越精確。對于l1范數(shù)稀疏解優(yōu)化問題，一般需要約束條件的數(shù)目是最稀疏解的稀疏度的4倍以上時(shí)，優(yōu)化問題才能搜索得到最稀疏的解。因此，對響應(yīng)貢獻(xiàn)的模態(tài)數(shù)越少，模態(tài)參與系數(shù)向量越稀疏，需要的測點(diǎn)數(shù)也相應(yīng)越少；對響應(yīng)貢獻(xiàn)的模態(tài)數(shù)越多，模態(tài)參與系數(shù)向量越不稀疏，需要的測點(diǎn)數(shù)也相應(yīng)越多。本文以雙層加筋圓柱殼為對象，通過數(shù)值分析的方法研究了測點(diǎn)數(shù)目對基于l1范數(shù)稀疏解的預(yù)報(bào)方法聲學(xué)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。選取的測點(diǎn)組數(shù)目分別為36、72和144個(gè)測點(diǎn)，其中在軸向36和144測點(diǎn)組與圖1中測點(diǎn)組的分布相同，在周向36測點(diǎn)組比72測點(diǎn)組間隔增大一倍，144測點(diǎn)組比72測點(diǎn)組間隔減小一半。不同測點(diǎn)數(shù)目輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同測點(diǎn)數(shù)目對聲場預(yù)報(bào)的影響Fig.5 The influence of different transducer numbers on reconstruction of sound field

圖5對比分析了不同測點(diǎn)數(shù)目下輻射聲場的預(yù)報(bào)結(jié)果，可以看出：（1）當(dāng)選取36個(gè)測點(diǎn)時(shí)，在0～400 Hz的頻率范圍內(nèi)，預(yù)報(bào)結(jié)果較準(zhǔn)確，在400～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，預(yù)報(bào)結(jié)果差異較大。圖6和圖7對比分析了處于聲壓頻譜曲線波谷位置的235 Hz和635 Hz處的模態(tài)參與系數(shù)向量，可以看出235 Hz處的模態(tài)參與系數(shù)向量比635 Hz處的模態(tài)參與系數(shù)向量要更加稀疏，這與模態(tài)疊加法的理論是一致的。一般來說，隨著頻率的增大，對響應(yīng)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)數(shù)目會(huì)增多，模態(tài)參與系數(shù)向量的稀疏度會(huì)增大，需要的測點(diǎn)數(shù)目會(huì)增多；（2）當(dāng)選取72個(gè)測點(diǎn)時(shí)，在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)預(yù)報(bào)結(jié)果均能夠與計(jì)算結(jié)果取得較好的吻合。當(dāng)進(jìn)一步增大測點(diǎn)數(shù)目時(shí)，選取測點(diǎn)數(shù)目為144個(gè)，輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果與72個(gè)測點(diǎn)時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相同。說明當(dāng)測點(diǎn)的數(shù)目達(dá)到模態(tài)參與系數(shù)向量稀疏度的4倍以上時(shí)，再增加測點(diǎn)的數(shù)目時(shí)，基于l1范數(shù)稀疏解預(yù)報(bào)方法的輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果會(huì)收斂。

圖6 235 Hz模態(tài)參與系數(shù)對比結(jié)果Fig.6 The comparison of modal participated coefficient at frequency 235 Hz

圖7 635Hz模態(tài)參與系數(shù)對比結(jié)果Fig.7 The comparison of modal participated coefficient at frequency 635 Hz

2.4 模態(tài)振型誤差的影響

本文本著理論研究與工程應(yīng)用相結(jié)合的原則，提出基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法，最終目的是實(shí)現(xiàn)基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法向?qū)嶋H應(yīng)用中擴(kuò)展。具體的思路為：針對工程實(shí)際中的水下殼體結(jié)構(gòu)，以該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測點(diǎn)測量值以及結(jié)構(gòu)在空氣中的數(shù)值計(jì)算模態(tài)作為輸入，通過基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法對結(jié)構(gòu)的振速場進(jìn)行重構(gòu)，再以邊界元理論對結(jié)構(gòu)的輻射聲場進(jìn)行重構(gòu)。由于水下結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)與有限元數(shù)值計(jì)算模態(tài)不可避免地會(huì)存在差異，為了預(yù)先對這一思路的可行性進(jìn)行研究，本節(jié)分析了模態(tài)振型誤差對結(jié)構(gòu)輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。

在進(jìn)行模態(tài)振型誤差分析時(shí)，對任意一階模態(tài)振型φi，設(shè)φi向量各個(gè)元素中最大值和最小值的差為Δφi，則在該階模態(tài)振型上加上隨機(jī)噪聲，得到誤差模態(tài)振型為：式中：k為隨機(jī)誤差的最大值與最小值的差與Δφi的比值。

分別對各階模態(tài)φi按照公式（14）加上隨機(jī)誤差，得到誤差模態(tài)振型，利用基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法，通過誤差模態(tài)振型對水下結(jié)構(gòu)輻射聲場進(jìn)行預(yù)報(bào)，得到結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同模態(tài)誤差對聲場預(yù)報(bào)的影響Fig.8 The influence of different mode error on reconstruction of sound field

圖8對比分析了模態(tài)振型中的誤差對聲場預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，可以看出：（1）10%的模態(tài)振型誤差比5%的模態(tài)振型誤差對預(yù)報(bào)結(jié)果的影響要更大，當(dāng)模態(tài)振型誤差在10%以內(nèi)時(shí)，輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果的總級誤差可以控制在3 dB以內(nèi)，說明基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法對模態(tài)振型誤差有一定的魯棒性，當(dāng)模態(tài)振型誤差不大時(shí)，預(yù)報(bào)結(jié)果誤差滿足工程的要求；（2）通過在模態(tài)振型上加入隨機(jī)誤差，模擬了水下結(jié)構(gòu)實(shí)際模態(tài)振型與數(shù)值計(jì)算模態(tài)振型的差異，結(jié)果表明在模態(tài)振型誤差不大時(shí)，基于l1范數(shù)稀疏解的聲學(xué)預(yù)報(bào)方法仍然可以取得較好的預(yù)報(bào)結(jié)果，這對工程實(shí)際中的水下結(jié)構(gòu)聲學(xué)預(yù)報(bào)問題有一定的指導(dǎo)意義。

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法的工程適用性，本文利用該聲學(xué)評估方法，對文中的雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了聲學(xué)評估的試驗(yàn)研究。試驗(yàn)在宜昌清江隔河巖水庫進(jìn)行，試驗(yàn)地點(diǎn)水域面積約為400 m×500 m，水深190 m左右，離岸200 m左右。

3.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

本文試驗(yàn)按照圖1中結(jié)構(gòu)的尺寸制作了雙層加筋圓柱殼模型，通過基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法，進(jìn)行了結(jié)構(gòu)水下輻射聲場預(yù)報(bào)的試驗(yàn)研究。受實(shí)驗(yàn)條件的限制，在進(jìn)行水下振動(dòng)測點(diǎn)振速采樣時(shí)，難以布置較多數(shù)目的振動(dòng)傳感器，同時(shí)，考慮到工程實(shí)際中在內(nèi)殼上布置傳感器更容易實(shí)現(xiàn)，本文在雙層圓柱殼的內(nèi)殼上選擇了3圈測點(diǎn)，每圈周向均布8個(gè)測點(diǎn)，共布置24個(gè)振動(dòng)測點(diǎn)，如圖9所示。

圖9 雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)示意圖（單位：mm）Fig.9 The diagram of double ring-stiffened cylinder shells(unit：mm)

在分析輻射聲場評估結(jié)果時(shí)，本文以水下結(jié)構(gòu)輻射聲場中的場點(diǎn)聲壓為評價(jià)指標(biāo)，共選取了兩個(gè)場點(diǎn)，編號為場點(diǎn)1和場點(diǎn)2。場點(diǎn)1和場點(diǎn)均2位于圓柱殼的正橫位置處，分別距離圓柱殼的中心4 m和6 m，示意圖如圖10所示。

圖10 場點(diǎn)位置示意圖Fig.10 The location of field points

3.2 雙殼聲輻射預(yù)報(bào)結(jié)果

按測點(diǎn)布置方案在耐壓殼上均布了24個(gè)傳感器，測得了24個(gè)測點(diǎn)的加速度值，并通過水聽器測得場點(diǎn)1和場點(diǎn)2位置處的聲壓。利用數(shù)值計(jì)算所得到的前1 000階模態(tài)矩陣，和試驗(yàn)測量所得的24個(gè)均布測點(diǎn)的測量值，對水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場進(jìn)行了預(yù)報(bào)，結(jié)果如圖11所示。

圖11 雙殼試驗(yàn)測試結(jié)果和重構(gòu)結(jié)果聲壓對比Fig.11 The comparison of experiment and reconstruction results of sound field

圖11分別對比分析了場點(diǎn)1和場點(diǎn)2輻射聲壓的試驗(yàn)結(jié)果和預(yù)報(bào)結(jié)果，對比結(jié)果可以得到：（1）在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)評估方法得到的場點(diǎn)聲壓結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果隨頻率變化的趨勢基本是吻合的，評估結(jié)果的峰值位置與試驗(yàn)結(jié)果是一致的，聲壓總級的試驗(yàn)結(jié)果與評估結(jié)果誤差在5 dB以內(nèi)；（2）本文預(yù)先通過數(shù)值算例研究了模態(tài)振型的誤差對輻射聲場評估結(jié)果的影響，結(jié)果表明基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)評估方法對模態(tài)振型誤差有一定的魯棒性，圖11的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了這一結(jié)論。說明以結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測點(diǎn)測量值以及結(jié)構(gòu)在空氣中的數(shù)值計(jì)算模態(tài)作為輸入，通過基于l1范數(shù)稀疏解的聲學(xué)評估方法對水下結(jié)構(gòu)輻射聲場進(jìn)行評估的思路是可行的，對工程中的聲學(xué)評估問題有一定的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 論

本文采用基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法以工程中常見的水下典型雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)為研究對象，分析了模態(tài)數(shù)目、測點(diǎn)數(shù)目和模態(tài)振型誤差對輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，得到以下結(jié)論：

（1）基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法中測點(diǎn)數(shù)目和模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)相互獨(dú)立，在測點(diǎn)數(shù)目有限的情況下，可以選取更多的截?cái)嗄B(tài)來得到更加精確的預(yù)報(bào)結(jié)果，如果選取的截?cái)嗄B(tài)已經(jīng)包含了對結(jié)構(gòu)響應(yīng)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)，一般可以得到較精確的預(yù)報(bào)結(jié)果，并且再增加截?cái)嗄B(tài)的階數(shù)時(shí)，預(yù)報(bào)結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生較大的變化，趨向于收斂。在實(shí)際工程中，可以先計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)最高頻率處的模態(tài)參與系數(shù)向量，從而選取包含對該最高頻率處振動(dòng)響應(yīng)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)階數(shù)即可滿足重構(gòu)要求；

（2）由模態(tài)疊加原理，隨著結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)頻率的升高，對結(jié)構(gòu)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)的數(shù)目一般會(huì)增加，模態(tài)參與系數(shù)向量的稀疏度會(huì)增大。一般測點(diǎn)的數(shù)目需要達(dá)到模態(tài)參與系數(shù)向量的稀疏度的4倍以上，所以隨著研究頻率的上升，需要的測點(diǎn)的數(shù)目一般相應(yīng)地要增加;

（3）分析了模態(tài)振型誤差對輻射聲場預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，當(dāng)模態(tài)振型誤差在10%以內(nèi)時(shí)，在中、低頻率范圍內(nèi)評估結(jié)果能夠與數(shù)值計(jì)算結(jié)果取得較好一致性，聲壓總級誤差在3 dB以內(nèi)，說明基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法對模態(tài)振型誤差有一定的魯棒性，當(dāng)模態(tài)振型誤差不大時(shí)，預(yù)報(bào)結(jié)果誤差滿足工程的要求；

（4）以典型雙層加筋圓柱殼為對象，對基于l1范數(shù)稀疏解的聲學(xué)評估方法進(jìn)行了試驗(yàn)研究，在中、低頻率范圍內(nèi)，輻射聲場評估結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本是一致的，聲壓總級的誤差在5 dB以內(nèi)。試驗(yàn)結(jié)果表明，基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)評估方法具有較高的可靠性，適用于工程實(shí)際中的輻射聲場預(yù)報(bào)問題，同時(shí)也有力地驗(yàn)證了基于l1范數(shù)稀疏解聲學(xué)預(yù)報(bào)方法對模態(tài)振型誤差有一定的魯棒性這一結(jié)論。