基于Hertz彈性接觸的船舶推進軸系非線性校中計算

楊紅軍，李 俊，劉鎮劍

（上海船舶研究設計院，上海 201203）

0 引 言

大型或超大型遠洋船舶多采用低速兩沖程柴油機作為推進主機直接驅動螺旋槳，推進軸系承擔了從主機到螺旋槳傳遞功率和轉動的功能。螺旋槳采用類似懸臂梁的安裝方式，導致尾管后軸承后端有很大的邊緣載荷，不利于尾管后軸承工作。近年來，由于船舶大型化以及對航行經濟性的追求，一方面，主推進功率越來越大；另一方面，推進系統采用了更低轉速、更大直徑的螺旋槳，螺旋槳的重量也更大。螺旋槳重量的增加使得尾管后軸承的工作條件更加惡劣，軸系對溫度變化越來越敏感或船體變形導致軸承高度變化。在這種新的形勢下，由于軸系設計、安裝、使用不良等原因導致的尾管后軸承工作溫度升高、高溫報警，甚至燒損的事故案例，時有發生。

推進軸系的校中是在靜止態下進行計算、安裝、驗證的，一個良好的靜態校中可以保證軸系在運轉狀態下，軸承支承高度、軸承支反力、傾斜角度等指標滿足相關要求，軸系可以可靠地工作。而良好的軸系安裝首先建立在良好的軸系校中計算的基礎上。

船舶推進軸系校中計算本質上是求解超靜定連續梁，求解方法通常有三彎矩法、傳遞矩陣法以及有限元法。在計算過程中，一般選取軸承的中點位置作為支承點，但考慮螺旋槳的懸臂梁安裝方式，我國的船標[1]推薦尾管后軸承支點距離軸承后端面1/7～1/3的軸承有效長度。

由于螺旋槳重量的增加，導致尾管后軸承的負荷增加。為了降低尾管后軸承的名義壓力，需要適當增加軸承的長度。但是，在螺旋槳重量的作用下，尾軸存在一定的撓度和轉角，過大的撓度和轉角值使得軸系在工作過程中，軸表面和軸承表面不能很好地貼合，產生較大的局部面壓，不利于尾管后軸承的潤滑。因此，在通常情況下，為保證尾管后軸承和尾軸之間的貼合，尾管后軸承的中心線須傾斜安裝，中國船級社規定在尾管后軸承的支點處，尾管后軸承和尾軸的相對傾角，在靜態下不超過3.5×10-4rad。通常，名義許用比壓被用于衡準軸承工作，但它不能很好地反映軸表面和軸承表面的貼合情況，需要引入更多的指標來指導船舶軸系校中計算，如日本船級社提出了尾管后軸承局部最大面壓的要求[2]。為改善尾管后軸承的潤滑，業內提出了雙傾斜尾管后軸承的設計，但是傳統的單支點的計算處理方法已經不能很好地給出設計方案。

國內的主機廠、船舶設計所、船廠大都引進了挪威船級社（DNV）NAUTICUS MACHINERY軟件的校中模塊，該模塊可根據DNV規范中尾管后軸承潤滑標準[3]，將尾管軸承簡化為兩個或三個支點，根據各支點的載荷大小來設置尾管后軸承的傾斜。法國船級社提出了“ESA”彈性校中的船級符號[4]，并配以其開發的Lilas彈性校中軟件。該軟件考慮了尾軸與尾管后軸承的彈性接觸，多次應用到我國建造的高附加值船上。國內，張敏等人[5]研究了水潤滑尾管后軸承多點非線性彈性支承計算模型的建立方法，將尾軸承沿長度方向分成N個分軸承，并假設每個分軸承剛度相等，為原軸承的1/N。然而，每個分軸承的支承剛度卻和載荷以及實際接觸情況有關，并不相等，但是，這種假設簡化了計算。

船舶推進軸系中，尾管后軸承和尾軸的接觸計算具有邊界非線性特點，主要是由于尾管后軸承是長軸承，接觸范圍取決于螺旋槳重量、槳軸直徑、軸承和螺旋槳的相對位置以及軸承的傾斜情況，事先是未知的，因此需要在計算過程中進行判斷、搜尋。使用平面梁單元對第二代四十萬噸礦砂船推進軸系進行建模，建立軸系校中有限元模型；同時將尾管后軸承等分成多個軸承段，使用Hertz接觸理論對各個軸承段進行受力分析，計算接觸位移、接觸力和接觸剛度等參數；對有限元模型和軸承段的接觸模型進行迭代求解，得到尾管后軸承和尾軸的接觸情況。

1 船舶推進軸系的有限元模型

1.1 梁單元的剛度矩陣

在結構力學中，通常將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。假設不考慮梁的剪切應變，可以用歐拉—伯努利梁假設，即忽略剪切應變，假設變形前垂直梁中心線的截面，變形后仍然為平面，且仍然垂直中心線。如圖1所示的平面歐拉—伯努利梁單元，其結點為i和j上所受橫向力和彎矩，分別是Fi、Mi和 Fj、Mj，對應結點位移為 νi、θi和 νj、θj。

根據有限元方法的基本原理，單元的位移模式具備完整性和協調性，因此單元的橫向位移和轉角是連續的。可將單元的結點位移表示成一定的多項式形式，就可以進行單元的力學特性分析，得到作用在單元上結點力和結點位移之間的關系，并根據最小勢能原理，求得單元的剛度矩陣，如下式所示：

式中：E是材料的彈性模量，I是截面慣性矩，l為單元長度。

圖1 平面梁單元Fig.1 Model for plane beam element

在推導梁單元剛度矩陣和計算等效結點載荷時，采用的是局部坐標系，將單元的剛度矩陣和等效結點力轉移到實際結構坐標系的對應值后，就可以進行總剛度矩陣和節點力向量的組裝。最后得到了整個結構的平衡方程

式中：K為總剛度矩陣，δ為節點位移向量，f為節點力向量。

1.2 邊界條件的處理

由于整體剛度矩陣在組裝時，沒有考慮整體結構的平衡條件，所以得到的整體剛度矩陣是一個奇異矩陣，只有在引入邊界約束條件后，對所建立的平衡方程（2）做適當修改，才能根據方程組的具體特點，選擇適當的計算方法求得節點位移。繼而求出單元的應變和應力。值得注意的是，引入邊界條件，修改平衡方程，實質上就是消除結構的剛體位移。

對于位移約束條件可以使用劃行列的方法。但對于如圖2所示的彈性支承，假設沿著梁第i自由度有位移約束ai，且彈性支承的剛度為Ci，根據最小勢能原理，只需對總剛度矩陣中對應自由度的對角元素和節點力載荷向量中對應自由度的元素進行修改[6]，如下式所示：

圖2 彈性支承示意Fig.2 Sketch for elastic support

2 軸和軸承的接觸模型

Hertz接觸理論是根據完全彈性體的靜態接觸條件提出的，可用來計算曲面接觸副的彈性變形和應力場。Hertz接觸模型基于如下的假定：①接觸區域為均勻材料，發生接觸時未超過屈服應力；②接觸應力沿著接觸切平面的法線，即接觸體之間不存在切向力；③接觸面積要小于接觸體的尺寸；④接觸體處于自由平衡狀態；⑤不考慮接觸面的粗糙度。如圖3所示的兩圓柱的圓心在接觸點同一側，RA和RB分別為兩圓柱的半徑，且RA＜RB，2×len為圓柱長。兩相同長度的彈性圓柱在載荷W作用下，發生擠壓，接觸線擴展成一個狹長的面，其半寬為b。則接觸半寬，最大面壓和接觸變形可由以下公式進行計算[7]。

在傳統的船舶推進軸系校中計算中，通常將尾管后軸承，簡化為一個支點，用軸承的名義比壓以及支點處尾管后軸承與螺旋槳軸的相對傾角來衡準計算結果。由于尾軸自身存在撓度變形，軸的中心和軸承中心并不平行，軸和軸承之間存在很大的邊緣載荷，部分區域的軸承壓力較大。為了對尾管后軸承的實際工作進行更好的模擬，我們把尾管后軸承分成多段，如圖4所示。這樣可以很好地模擬軸表面和軸承表面之間的帖合情況。

圖3 兩平行彈性圓柱的接觸模型Fig.3 Contact model between two parallel elastic cylinders

圖4 尾管后軸承多段支承示意Fig.4 Multi-support for after stern tube bearing

在計算過程中，首先根據尾管后軸承分支點初始位移判斷軸承段和相應軸段是否存在接觸，使用Hertz接觸模型求解接觸力和接觸剛度，然后求解有限元模型，判斷結果是否收斂，如果不收斂就調整支點高度，進行下一步計算，具體流程如圖5所示。

圖5 計算流程圖Fig.5 Flow chart for calculation

3 算 例

3.1 計算模型

第二代四十萬噸礦砂船，使用7S80MEC9主機，直接驅動螺旋槳，其推進軸系校中計算模型如圖6所示。尾管后軸承后端面定位于2 927 mm，前端面定位于4 737 mm，尾管前軸承使用單支點彈性支承模型，具體定位是9 057 mm處。

圖6 軸系校中計算模型Fig.6 Model for shaft alignment calculation

3.2 計算結果與分析

首先對尾管后軸承單支點模型進行了計算，并假定尾管后軸承支點距尾管后軸承的后端面的距離為四分之一的軸承有效長度，各軸承負荷如表1的第1行所示，尾管后軸承支點處的轉角為0.53 mrad，根據該轉角值，我們采用尾管后軸承中心0.4 mrad和0.53 mrad的單傾斜方案，以及0.55/0.4 mrad和0.7/0.5 mrad的雙傾斜方案進行計算。雙傾斜的斜率轉折點在尾管后軸承的中點處。圖7為0.55/0.4 mrad雙傾斜軸承示意，L為總長，軸瓦后半段與水平線的夾角是0.55 mrad，軸瓦前半段與水平線的夾角是0.4 mrad。軸承負荷如表1所示。在軸系支點高度相同的情況下，不同的尾管后軸承的傾斜設定只影響尾管前后軸承的負荷，中間軸承和主機軸承影響較小。將尾管后軸承分成20等份，使用Hertz接觸理論計算每一段軸承和軸的接觸力學特性。尾管后軸承與軸的接觸范圍如圖8～11所示。

圖7 0.55/0.4 mrad雙傾斜示意Fig.7 Sketch for SLOPE 0.55/0.4 mrad

表1 各計算工況下軸承負荷Tab.1 Bearing loads for each calculation condition

圖8 （a） 接觸變形@SLOPE 0.4 mradFig.8(a)Contact deformation@SLOPE 0.4 mrad

圖8 （b）接觸寬度@SLOPE 0.4 mradFig.8(b)Contact width@SLOPE 0.4 mard

圖9 （a） 接觸變形@SLOPE 0.53mrad Fig.9(a)Contact deformation@SLOPE 0.53mrad

圖9 （b）接觸寬度@SLOPE 0.53mradFig.9(b)Contact width@SLOPE 0.53mard

圖10 （a） 接觸變形@SLOPE 0.55/0.4 mradFig.10(a)Contact deformation@SLOPE 0.55/0.4mrad

圖10 （b）接觸寬度@SLOPE0.55/0.4 mradFig.10(b)Contact width@SLOPE 0.55/0.4mard

圖11 （a） 接觸變形@SLOPE 0.7/0.5 mradFig.11(a)Contact deformation@SLOPE 0.7/0.5 mrad

圖11 （b）接觸寬度@SLOPE0.7/0.5 mradFig.11(b)Contact width@SLOPE 0.7/0.5 mard

圖12 （a）軸承段負荷@SLOPE 0.53 mradFig.12(a)Bearing load@SLOPE 0.53 mrad

圖12 （b）接觸剛度@SLOPE 0.53 mradFig.12(b)Contact stiffness@SLOPE 0.53 mard

圖12 （c）最大接觸壓力@SLOPE 0.53 mradFig.12(c)Max contact pressure@SLOPE 0.53 mard

在接觸變形圖中，X軸以上柱狀圖高度為正，表征接觸變形量δ，X軸以下的柱狀圖高度為負，表征軸和軸承之間的間隙。在不同的尾管后軸承中心傾斜條件下，接觸變形和接觸區域是不同的。各個軸承段的最大接觸變形小于0.1 mm，而尾管軸承的白合金厚度為3 mm；只有在0.7/0.5 mrad的雙傾斜狀態下，軸和軸承在長度方向是完全接觸的。更大的接觸范圍，可以獲得較小的接觸壓力，在軸系運轉時，更容易形成油膜，延長尾管后軸承的工作壽命。在計算得到接觸變形和接觸范圍后，可以方便地得到Hertz接觸力，即軸承段的負荷，以及最大接觸壓力和接觸剛度。以0.53 mard的單傾斜和0.55/0.4 mrad雙傾斜為例，其計算結果如圖12和13所示。

圖13 （a）軸承段負荷@SLOPE 0.55/0.4 mradFig.13(a)Bearing load@SLOPE 0.55/0.4 mrad

圖13 （b）接觸剛度@SLOPE 0.55/0.4 mradFig.13(b)Contact stiffness@SLOPE 0.55/0.4 mard

圖13 （c）最大接觸壓力@SLOPE 0.55/0.4 mradFig.13(c)Max contact pressure@SLOPE 0.55/0.4 mard

對比圖12和圖9，圖13和圖10，軸承段負荷的柱狀圖和接觸變量的柱狀圖的形狀是比較一致的，軸承段負荷和接觸變形量基本呈正相關。接觸剛度的柱狀圖高度相對較均勻，接觸剛度在109N/m量級，和文獻[8]內容基本一致。由計算結果可知，四種計算工況，結合表一中的尾管后軸承負荷，在較小的尾管后軸承傾斜設定下，軸承和軸的接觸區域主要在軸承的后邊緣或者后半部分；在較大的單傾斜設定下，在軸承的前后端軸承和軸都有接觸，因此大傾斜設定的尾管后軸承的等效支點相對靠前一些，導致尾管后軸承負荷增加。

圖14 尾管前后軸承之間的軸系彎矩圖Fig.14 Moment curve between after and forward s/tube bearing

圖14為尾管前后軸承之間的彎矩圖，由于螺旋槳最末端、中間軸以及曲軸上的彎矩計算結果基本相同，圖中僅僅顯示了尾管前后軸承之間軸系上的彎矩。對于尾管后軸承的單支點模型計算結果，由于尾管后軸承支反力很大，使得在支點處剪力改變了符號，因此，支點處的彎矩存在轉折點。但對于尾管后軸承多點支承的非線性模型，支點是通過實際的軸承中心傾斜情況計算搜索得到的，且是多個分支點共同起作用，分支點的支反力逐漸使剪力改變符號，彎矩曲線開始下降，因此尾管后軸承處彎矩曲線是近似圓弧過度；對于較小的尾管后軸承傾斜，軸承和軸的接觸位于后端，彎矩的峰值較低，而較大的尾管后軸承傾斜，使得彎矩峰值較高，較前者升高將近20%，也使得螺旋槳軸上的彎曲應力也升高將近20%，影響很大。如中國船級社規定螺旋槳軸上的最大彎曲應力不得超過20 MPa。由于軸承傾斜設置不同，軸系撓度曲線也有差別，圖15為軸系末端到尾管后軸承的撓度曲線，0.4 mrad的SLOPE撓度最小，0.7/0.5 mrad撓度最大。

圖15 軸系末端到尾管后軸承的撓度曲線Fig.15 Deflection curve from end of shaft to after s/tube bearing

4 結 論

（1）將尾管后軸承等分成多個軸承段，用Hertz彈性接觸模型描述軸承和軸的接觸力學特性，結合平面梁單元的軸系校中計算有限元模型，可以獲得尾管后軸承和軸的接觸范圍、接觸變形、接觸最大面壓、接觸剛度等計算結果。這些是尾管后軸承單支點計算模型無法達到的。

（2）根據軸承段的最大接觸壓力以及軸承段負荷等結果，可以更好地設置尾管后軸承的傾斜。保證軸系運轉時尾管后軸承和軸有較好的貼合，同時可以防止軸和軸承之間過大的接觸壓力，以及在軸系啟動運轉時可能會導致白合金的擦傷或者剝落。

（3）尾管后軸承的支點位置不用在計算前假定，而是由多個分支點承擔。根據實際的軸承中心傾斜情況，由計算結果軸段負荷的分布情況來確定。且軸承的支承剛度也可以根據計算結果確定，不需事先假定。