“中國”“美國”“新加坡”“英國”“澳大利亞”高中數學課程標準復數內容比較研究

彭艷貴

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“中國”“美國”“新加坡”“英國”“澳大利亞”高中數學課程標準復數內容比較研究

彭艷貴1，2

（1．東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024；2．鞍山師范學院 數學與信息科學學院，遼寧 鞍山 114007）

自2002年以來，中國高中數學課程標準中復數內容被大量削減，經歷了十幾年的教學實踐，直至2017年開始修訂新一輪的高中數學課程標準，關于復數內容的課程設置仍然存在較大爭議．與中國高中復數內容偏少形成鮮明對比的是，國外許多國家都十分重視高中階段的復數內容學習，把復數作為申請大學理工類專業的一個基本內容．通過對中國、美國、新加坡、英國、澳大利亞等5個在基礎教育發展領域具有代表性的國家的課程標準復數部分的課程目標、知識點分布情況進行比較發現：“中國”“美國”“新加坡”“英國”“澳大利亞”高中數學課程標準復數部分課程目標基本一致；復數部分的知識點分布存在較大差異．

課程標準；復數；比較

1 問題提出

近些年，基礎教育改革和發展的步伐明顯加快，這既是社會發展的需求，也是知識發展、新知識更替舊知識的必然結果．按照課程發展規律，許多國家都重新編制或者更新了高中課程標準，修訂了高中課程的教學目標與基本要求等方面內容．

復數理論作為重要的數學分支之一，在高中階段學習一定的復數內容是必要的已達成共識，但學習的深度和廣度卻具較大爭議．中國高中復數內容在2000年及之前的教學大綱中至少有16課時內容，覆蓋的復數知識范圍相對較廣，但是在2002年大綱和2003年課程標準中驟然被削減至4課時，只保留了復數最基本的代數形式、復平面等基本概念，到2017年再一次修訂高中課程標準時，雖然在原來基礎上，課時數增加到了6課時，內容上增加了復數的三角表示作為選修，但爭論仍在繼續．按照課程研究理論的觀點，高中階段的復數是一個概念體系，需要一些核心知識點作為支撐．那么，借鑒國內外經驗，確定高中復數的核心知識點及學習程度，對深入研究高中復數課程是必要的．

目前已有大量關于國內外高中復數課程的研究結果．如有研究者從新中國成立以來的教學大綱和課程標準變化分析了中國高中復數內容的演變，認為當前高中復數屬于“容易教”的難點課[1]．一方面是由于高中復數內容要求簡單，容易被處理成“機械的識記和應用”，另一方面不利于復數的數學本質和數學思想方法的體現．有研究者[2]比較了2002年的高中數學教學大綱與1996年的高中數學教學大綱，高中復數內容在結構及要求上均有較大變化，認為刪減復數內容之后，不論是從復數概念的引入和理解，還是復數的幾何意義等其它方面的要求，都不能滿足基本的教學需要，不利于學生歸納推理等數學能力的培養．在課程發展與改革過程中，國際上的經驗非常值得中國的教育改革借鑒．有研究者介紹了澳大利亞最新制定的高中數學課程標準的特色[3]，分析了澳大利亞課程改革的最新變化以及發展趨勢，介紹了高中數學課程標準的總體課程理念、課程目標、課程結構與內容等，對中國高中數學課程發展來說是很好的借鑒．在澳大利亞高中數學課程標準中介紹專業數學內容時提到了復數所在單元，但卻沒有更多具體的復數內容介紹．作為課程標準的具體表現形式，還有學者在高中復數教材方面進行了研究．如對中國人教版教材和新加坡教材中復數內容的呈現形式等方面的比較[4]，中國和英國的高中數學教材復數部分的知識范圍、復數知識呈現結構等方面的比較[5]．這些研究在內容和方法上都為深入研究復數課程提供了寶貴的經驗．

基于以上研究基礎，有必要深入研究高中復數課程相關內容．對中國、美國、新加坡、英國和澳大利亞等5個國家高中數學課程標準復數部分進行比較，確定研究問題為：

（1）分析不同國家復數部分的課程目標，在宏觀上掌握5個國家高中復數課程設置情況；

（2）綜合比較各國的復數知識點數量與分布，了解高中復數知識的范圍和側重點，為進一步理論研究奠定基礎．

通過研究，從國際視野看待不同國家對高中復數課程目標定位、知識范圍、知識學習深度等方面的課程發展要求，可以給中國的基礎教育課程發展提供新視角．

2 研究思路與方法

2.1 5個國家課程標準選擇與介紹

根據國內外高中復數內容的教學與研究結果，選取中國、美國、新加坡、英國和澳大利亞5個國家高中課程標準中的復數部分進行比較．首先，這些國家的基礎教育水平均比較高且具有代表性；其次，這些國家的高中數學課程標準都在近幾年內經過修訂，復數課程的設置存在一定的傾向性，可以在一定程度上反映出專家、學者對高中復數知識的基本觀點．

2000年前后的幾年時間里，被認為是中國基礎教育改革步伐比較大的一個階段，中國在2002年修訂了高中數學教學大綱，一年后，在2003年出版了《普通高中數學課程標準（實驗稿）》，高中數學經歷了大范圍刪減舊內容、增加新內容的課程體系變革．直到近兩年全國數學教育專家開始研討、修訂新的高中數學課程標準，這樣的課程體系經歷了十幾年的教學實踐，留下了寶貴的經驗、啟示，也有值得中國數學教育研究者進一步思考的問題．下面的比較研究主要選取中國2003年出版的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》的復數內容．

2010年，全美州長協會（National Governors Association）和美國州首席教育官員理事會（The Council of Chief State School Officers）聯合推出了《美國統一州核心課程標準》（）[6]．《美國統一州核心課程標準》的制定可以解決各個不同州之間由于課程標準與教學內容不同而帶來的成績和學習水平的認證以及關于教育公平等相關問題，使各個州的學生都能夠獲得平等的受教育的機會和資源，《美國統一州核心課程標準》的范圍包括學生在K-12年級所學的知識、技能，進而確保學生高中畢業以后，可以在高校課程和勞動力職業培訓方面獲得成功[7]．

新加坡教育部于2006年與劍橋大學考試院聯合編制了《新加坡—劍橋標準》，制定了A-level課程體系與測試框架，該標準最新于2016年修訂．在申請大學之前，新加坡學生需要進入初級學院學習先修課程，A-level課程體系下的課程包括H1、H2和H3等3個層次，主要側重于學生的數學思考能力和問題解決能力，其中H1課程不包括復數內容，高中階段主要復數內容包括在H2數學課程中，部分要求更高的復數內容包含在H2進階數學課程中，H2數學課程的學習是為學生今后在數學、物理、工程等方向學習所必備的數學知識，H3數學課程是在H2數學課程基礎上的附加課程，課程層次主要是針對具有數學熱情與追求的學生的發展．下面的比較研究中主要選取新加坡數學A-level課程標準H2數學和H2進階數學（Mathematics Syllabus Pre-University H2 H2 further Mathematics[8]）部分中的復數內容進行比較．

英國的學校教育與課程發展歷史悠久，近現代的基礎教育發展在國際教育發展史上具有重要影響．1988年以法規的形式明確規定國家課程，保證課程的統一實施，在近三十年的時間里，隨著教育的發展與課程的變革，英國的國家課程標準與課程內容已經做了多次修訂，英國教育部的官方網站上給出了A水平進階數學（Further Mathematics AS and A Level Content for Mathematics[9]）的內容要求，修訂于2016年4月．進階數學主要是針對致力于從事數學、工程、科學以及經濟類專業學習的學生．英國高中復數內容在A水平進階數學課程中學習．

澳大利亞的高中課程標準較早時是由各州自行制定的，雖然早在20世紀80年代澳大利亞就計劃制定全國統一課程，但直到2012年才由澳大利亞課程、評估、報告管理局（Australian Curriculum，Assessment and Reporting Authority）發布了澳大利亞高中數學課程標準（Senior Secondary Australian Curriculum: Mathematics），這是澳大利亞高中數學課程的最新版本[3]．澳大利亞高中數學分為4種課程：基本的數學課程、普通數學課程、數學方法課程和專業數學課程．其中復數部分在普通數學課程的第2單元和第3單元．澳大利亞的高中數學課程標準對高中復數內容作了詳細的設置與教學要求說明[10]．

2.2 研究內容與方法

研究內容是對中國、美國、新加坡、英國和澳大利亞5個國家高中數學課程標準復數部分的課程目標、知識點數量與分布情況進行比較．

課程目標是通過課程學習，培養學生所要達到的基本要求．在5個國家的高中數學課程標準的中，復數作為“一塊”知識或與其它數系一起呈現，具體復數內容介紹之前都有關于這部分課程目標的說明，基于5個國家的高中數學課程標準文本，比較復數部分課程目標的共同特征與差異．

5個國家的課程標準中，復數的課程內容說明都比較詳細．在課程研究中，通常認為知識點是概念、定理及相關技能組成的小的獨立的知識系統．復數知識點是指在高中數學課程標準復數部分直接或間接提出的、較具體的、小的復數相關的概念．例如，美國的課程標準復數部分具體內容的第一項：“知道存在復數i，使得i2=-1，并且每一個復數都有由實數和構成的+i的形式”，就認為這一項中包含的復數知識點是“復數引入（i2=-1）”和“復數的代數表示”．用列表的方式統計各個國家高中數學課程標準中的知識點的數量和分布，有利于進一步結合課程標準中的相關表述，在國際視野下審視高中復數課程的設置需求與課程目標的實現．

3 研究結果與分析

3.1 課程標準中復數課程目標比較

按照5個國家課程標準文本內容，列舉復數所屬部分及復數課程目標，如表1所示．

從表1可以看出，在5個國家的課程標準中，復數部分或者是獨立一部分，或者是與其它數系一起構成“一塊”知識，都是屬于“數”的范圍．在課程目標中，首先體現的一個課程目標是數系擴充，另一個目標是把復數作為學生進一步學習和就業的知識準備．

在中國高中數學課程標準中，復數屬于選修課程的“數系擴充及復數的引入”部分，屬于高考要求的部分，表明在中國也認為復數是進一步學習的基礎．課程標準中，文、理科對復數課程目標要求完全相同．課程標準中對高中復數的課程目標表述為“學生將在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用”[11]．反映出中國高中復數的課程目標是數系擴充，具體課程內容的設置都將圍繞數系擴充展開，并學習一些復數基本知識．

表1 5個國家高中課程標準中的復數課程目標

美國高中數學課程標準中復數設置在“數與量（number and quantity）”部分，這一部分的課程目標為“在高中階段，學生將接觸到一種新的數系擴充，通過增加虛數把實數系擴大到復數系”[6]．美國高中復數的主要特點是“數”，從表示形式、運算到基本應用都是圍繞“數”的特征進行的．希望學生在復數這一部分學到的是“數”的概念與運算技巧．在目標描述中，指出復數課程是為學生進一步學習和就業的知識準備．

新加坡高中數學課程標準中復數在H2數學和H2進階數學兩個部分，H2數學是為了學生進入大學后一般程度上學習理工類課程而設計的課程，H2進階數學是為那些打算專攻數學、科學、工程或對數學技能有更高要求的學生而設計的，H2數學中的復數課程目標為“以數系擴充的形式介紹復數，內容包括方程的復數根、復數的四則運算和復數的指數形式表示”[8]，H2進階數學中的課程目標為“在H2數學課程的基礎上增加重要數學概念的廣度和深度的理解，并拓寬相關知識的應用范圍”[8]．實際上，新加坡課程標準的設置針對性比較強，復數所在的H2數學和H2進階數學課程十分注重復數概念的深入理解，明確強調復數在數學學科本身和其它學科的應用性，將問題解決看作核心．從課程目標可以看出，新加坡的復數課程目標要求是比較高的．

英國的高中復數是A水平進階數學中的核心內容之一，A水平進階純數學是比A水平數學更加注重知識的深度和廣度的課程．復數在課程標準中是獨立一部分，課程目標是“介紹復數，在數學應用和邏輯推理方面給學生提供機會并擴充相關知識”[9]．認為數學知識學習的深度和廣度對學生今后的工作與就業有重要影響．注重數學的應用性一直以來都是英國數學教育的一個主要特點，在課程標準中明確指出要使學生意識到數學在其它領域的應用，意識到數學的普遍應用性．

澳大利亞高中數學課程標準中指出“‘實數與復數’部分是學生關于‘數’的學習的延續”[10]，把復數和實數中有理數、無理數的部分內容放在一起，能夠凸顯數系擴充的順序性和引出復數的自然性．課程中復數分為“實數與復數（real and complex numbers）”和單獨的“復數（complex numbers）”兩個單元．前一單元主要介紹數系擴充到復數，給出復數概念、代數表示、幾何解釋和復數范圍內解方程，后一單元主要是在前一單元復數學習的基礎上擴展復數的表示形式和相關內容．體現了澳大利亞的復數課程的層次性和銜接性．

3.2 課程標準中復數知識點分布的比較

按照研究方法設計，整理出每個國家高中數學課程標準中復數部分的知識點，5個國家高中數學課程標準復數部分知識點做成“并集”，共有26個知識點，分別用“√”和“○”表示該國家高中數學課程標準復數部分“包含”和“不包含”的知識點，具體結果如表2所示．

表2 5個國家高中數學課程標準中復數知識點分布情況

5個國家的高中數學課程標準中提到復數主要內容共計26項，按照已有資料和研究結果分析，5個國家高中數學課程標準復數內容基本包括在這個范圍之內，按照具體的課程目標與表現方式等方面的不同而存在一定差異．如果把這26項復數內容看作被廣泛認同的高中復數內容的知識范圍總體，可以通過統計各國高中數學課程標準中復數內容占總體的情況，在數量分布方面比較各國高中復數內容的差異．經統計，5個國家高中數學課程標準中復數知識點數量（占比）結果如下：中國6個（23%）、美國18個（69%）、新加坡22個（85%）、英國24個（92%）、澳大利亞20個（77%）．

中國高中數學課程標準復數部分包含6個知識點，占所統計的全部知識點的23%．一直被認為是基礎教育強國的中國在復數內容學習的量的要求上顯著地低于其它國家．從課程標準復數部分的具體說明可以看出，中國高中數學課程標準中復數內容安排的基本特點是，最大限度地簡化和突出數系擴充，集中精力強調一條主線，降低學生的學習負擔，只介紹最基本的復數概念．但按照知識的結構性發展考慮，過分地簡化容易導致高中生的復數學習偏于機械記憶．如果沒有復數的模這樣基本的度量化的概念，就無法深入體現復數的幾何解釋，僅是用向量的方法解釋復數加法和減法運算，缺少更能體現復數特征的復數乘法、除法、乘方和開方運算，也缺少學科領域之間的融合與數學思想的滲透，無法滿足學生對復數達到基本理解和認識的需求，在體現數系擴充的必要性、虛數單位的引入、復數的幾何意義、復數運算的理解、復數與方程求解等方面，都顯得不夠充分．“復數的教學，應該象微積分那樣，既為大學的學習作好鋪墊，又讓學生看到實際的應用，而不僅僅只是一些抽象符號的加、減、乘、除運算”[4]．

《美國統一州核心課程標準》包含18個復數知識點，占所統計的高中復數知識點總數的69%，標準中復數內容以數系擴充為基本目標，包括虛數單位i的引入，復數的多種表達形式、復數的幾何意義、復數范圍內解方程、代數學基本定理等．標準中嚴格界定了一般的復數知識和進一步的大學課程學習所需要的復數知識，強調知識的理解和掌握，但知識的難度普遍不大，如復數開次方、復數范圍內方程根的性質、歐拉公式等內容均沒有提及．另外一方面，標準中明確提到，除了復數引入、復數代數形式及四則運算、復數范圍內解實系數二次方程這幾個部分外，其它的復數內容的學習目的是“為了選修微積分、高級統計學或離散數學等高級課程而應該額外學習的知識”[6]，即美國高中復數內容的學習的另外一個目的是學生進一步學習的知識基礎．

新加坡高中數學課程包含的復數知識點為22個，占所統計的高中復數知識點總數的85%．在具體知識內容上，新加坡的復數內容分為H2數學和H2進階數學兩部分．在較一般水平的H2數學中，就已經比較廣泛地包含了復數引入、代數形式及運算、幾何意義、三角式和指數式多種復數表示形式，以及這些不同形式的運算、幾何解釋和相互轉換等大部分高中復數知識點，在更高水平的H2進階數學中，又增加了復數運算的幾何解釋、復平面上幾何軌跡和棣莫弗定理等深入理解內容，表現出了新加坡數學課程標準中復數內容要求的廣泛學習和深入理解的特點．新加坡高中數學課程標準中的另一個比較明顯的特征就是，在高中復數課程中，積極呈現和思考復數在電子和工程技術等不同領域的實際應用．對于發展到今天的復數領域來說，復數是具有重要應用價值的，課程中重視復數的應用性也是具有積極意義的．

英國高中數學課程標準包含的復數知識點為24個，占所統計的高中復數知識點總數的92%，在5個國家的高中數學課程標準中，英國的復數知識點數量最多，具體知識的目標要求也比較細致，除了代數學基本定理、復數范圍內分解多項式和復平面上復點之間線段的計算3個內容外，已經包括了表2中所列的絕大部分復數內容．按照課程標準復數部分的具體說明可以反映出，英國高中的復數內容多，且注重復數知識學習的深刻性和細致性，知識內容之間關聯性強，注重復數的系統性．英國的高中數學課程標準中首先提出“在復數范圍內解任意的實系數二次方程”，然后提出“復數的四則運算”，這就表示把方程求解作為復數出現的起始，符合復數概念出現和發展的歷史．在復數的幾何解釋方面，有復數代數形式和代數形式加減運算的幾何解釋，也包括在復平面上表示形如|–|<的點的軌跡、圖形等方面的復數幾何應用，還包括用復單位根解決幾何問題等，對學生深入理解數學中的概念關系和深入理解復數概念具有重要意義．綜合來看，英國高中課程標準中復數內容的學習要求比較深入，覆蓋面較廣，包括復數的乘方、開方運算，包括方程復數根的性質等內容，對學生的后續學習和不同知識領域之間的滲透、融合都會有很大的幫助．

澳大利亞高中數學課程標準包含復數知識點為20個，占統計的高中復數知識點總數的77%．澳大利亞高中數學課程標準中在復數知識上表現出了較好的多樣性和層次性，從數系擴充的角度把“實數與復數”作為一個整體，即先從有理數系擴充到實數系，再從實數系擴充到復數系，這樣做的好處是有利于突出數系擴充的目的性和連貫性．澳大利亞高中數學課程標準中復數內容設置重視復數基本概念和相關內容的深入拓展，重視復數知識的系統性，基本上涵蓋了表2列出的高中復數的主要內容．

4 主要結論與啟示

4.1 主要結論

4.1.1 課程目標具有較強的一致性

通過比較發現，5個國家高中數學課程標準復數部分的課程目標較一致地體現數系擴充，把已知的實數系用添加元素并定義運算的方式擴大為復數系．其次，按照課程標準中的復數課程目標說明，5個國家都把高中復數作為進一步學習、特別是理工類科目學習必要的知識基礎．

4.1.2 中國的知識點數量明顯少于其它國家

5個國家高中數學課程標準復數知識點的數量（占比）分別是：中國6（23%）、美國18（69%）、新加坡22（85%）、英國24（92%）、澳大利亞20（77%）．中國的復數知識點數量明顯少于其它幾個國家，新加坡和英國的復數知識點較多，可以反映出中國高中數學課程標準復數知識點分布范圍較小，而新加坡和英國的復數知識點分布范圍較大．

4.1.3 課程目標表現方式上有共同特征

5個國家的高中數學課程標準中復數部分為實現目標而設置的知識點，具有以下3個共同的特征．第一，體現出復數的四則運算的基礎地位，但受到復數表示形式的限制，在不同的復數形式的運算要求不盡相同．比如，中國高中數學課程標準中復數只介紹代數形式的四則運算，而其它國家的高中數學課程標準中，明確要求掌握復數的三角形式及乘除法運算，并且強調相應運算的幾何解釋．第二，內容要求里都包括復數與笛卡兒坐標平面上的二維向量或實數對的一一對應．這個要求的主要目的是以此來給出復數的幾何解釋，進一步對應地給出復數的加減法運算的幾何解釋．在復數的發展歷史上，復數得以被廣泛接受，在于韋塞爾等數學家給出復數的幾何解釋，這一點是被課程標準修訂的專家和數學教育研究者廣泛認同的，所以各國的高中數學課程標準在設置高中復數內容時，無一例外的都包括體現復數幾何解釋的內容，即復平面．第三，除中國外，各國的高中數學課程標準都包含復數范圍內解方程及相關性質的內容．復數在卡爾達諾法三次方程求解過程中出現，方程中的復數根的性質以及高斯證明的代數學基本定理都說明高中復數部分，引入復數范圍解方程的重要性．但實際上，為了更加簡潔明了地體現復數的數系擴充特征，各國的高中數學課程標準在提到引入虛數單位i的處理上，或者復數范圍內解方程時，都沒有采用卡爾達諾法解三次方程的方法，或者可以理解為避免這樣的方法，而是直接以虛數單位的結果性特征的形式引入，然后再以二次方程或特定的三次、四次方程求解讓學生感受和理解復數范圍內方程的求解．中國高中課程標準中沒有明確提到復數范圍內求解方程等相關內容，這是一個在復數產生或引入復數的合理性方面需要進一步討論的問題．

4.1.4 課程目標的表現方式上存在一定差異

雖然5個國家高中復數課程目標具有較強的一致性，但在課程目標的實現方式上存在一定差別．復數知識點的學習是實現課程目標的重要方式．雖然中國的基礎教育一直被普遍認為處于世界前列，但是從以上5個國家的高中數學課程標準復數部分的比較看出，中國的知識點數量最少，僅包括“復數引入”“復數的代數表示”“復數的四則運算”“復數相等”“復數代數表示的幾何意義”“復數代數形式加減運算的幾何意義”等內容，以此達到高中復數兩個課程目標的要求．但這6個知識點很難支撐起復數的知識體系，且與前后知識的聯系不緊密，4個課時數也很難完成以理解數系擴充和積累復數知識為目標的復數知識體系的教學與學習．美國、新加坡、英國和澳大利亞4個國家高中數學課程標準中大部分復數知識點相同，這些復數知識點比較核心地反映復數課程目標．而在“復數的應用”“復數的歐拉定理”“代數學基本定理”等反映深入復數概念的有關知識點上略有差別．美國側重給學生提供更寬泛的知識；新加坡和英國傾向于知識學習的深度和復數的應用性；澳大利亞突出數系的一致性和系統性．

4.1.5 基于課程目標的知識點分布存在差異

5個國家高中數學課程標準復數部分在“復數引入”“復數的代數表示”“復數的四則運算”“復數相等”“復數代數表示的幾何意義”“復數代數形式加減運算的幾何意義”6個知識點方面分布相同．這6個知識點是實現數系擴充到復數的最基本需求，與前文闡述5個國家的復數課程目標相同的結論一致；除中國以外，其它4個國家在“共軛復數”、“復數的乘法、共軛復數的幾何意義”“復數的模”“復數的輻角”“復數的三角式”“用復數三角式計算復數乘除法”“復數不同形式間的轉換”“復數范圍內解實系數方程”“復數的次冪”9個知識點分布相同．高中復數是一個知識體系，這9個知識點在高中復數的知識體系中的復數概念、復數幾何意義和復數的數學應用等方面的深入理解是重要的，也是這些國家在課程標準復數課程方面表現出來的共識．各國根據各自課程的需要與特點，在其余復數知識點分布上各有傾向．

4.2 啟示

通過對5個國家高中數學課程標準復數部分的課程目標、復數知識點數量與分布的比較分析，為中國的高中復數課程發展得出如下幾方面啟示．

4.2.1 高中階段學習復數是必要的

5個國家的高中數學課程標準中，都把復數看作是高中數學學習的重要內容．除了中國以外，復數內容都占了課程標準的較大部分，甚至把復數作為高中數學的核心內容．由此可見復數在高中數學課程的重要性的認可度較高．中國的高中數學課程標準在復數部分也強調“ 數系擴充的過程體現了數學的發現和創造過程，同時體現了數學發生、發展的客觀需求”．可以看出高中復數具有創新性、實用性、系統性等多方面的教育價值，為了更好地體現這些價值，堅持高中復數課程的教學是必要的．

4.2.2 提升高中復數課程地位

從學生進一步學習需要的角度考慮，美國、新加坡、英國和澳大利亞都把復數內容作為學生繼續深入學習，特別是學習理工類課程的基礎，是申請大學理工類專業的基礎課程內容．而中國的高考中，復數內容的考查基本限定在復數的代數形式的簡單運算．實際教學中，老師和學生甚至會因為高考的較低要求而進一步減少復數的教學和學習時間，從某種程度上說，當前中國高中復數內容基本上是屬于被忽視的部分．按照高中復數的“體現數系擴充”和“為進一步學習奠定知識基礎”這兩個課程目標，中國的高中數學課程標準中，復數內容所占的比重非常小，6個復數知識點和知識點的要求程度，難以很好地完成課程目標，也不利于實現知識的深入理解．所以，應該增加高中復數的知識點數量和要求程度．從高中復數的知識體系來說，至少應該增加復數多種表示形式及運算、更全面的復數幾何意義、復數與方程求解、復數的應用等方面的知識．

4.2.3 課程目標的實現需要適當增加內容

為了實現復數課程的兩個目標，表現出復數引入的必要性和合理性，現有的復數知識在表現這些要求方面不夠充分．第一，需要加強虛數單位i的合理引入．目前國際上比較流行的復數引入方法還是“使得2=-1或2+1=0成立的數”引入虛數單位i，而這樣簡化的方式引入虛數，若沒有后續充分、系統的復數相關背景與內容的介紹和學習，就會影響到復數產生的必要性、發展的合理性、學習的應用性等方面的接受和理解．第二，加強復數幾何解釋的全面性．復數的幾何解釋包括復平面上的復數和復數之間的關系、復數運算的幾何解釋，用復數與向量一一對應的形式解釋復數的加、減法運算十分容易接受，但是在解釋復數乘、除法運算，甚至乘方、開方運算方面就較難說清，所以在復數教學中引入模、輻角等概念，用復數的三角形式結合幾何意義解釋復數的相關運算就具有重要意義．第三，復數的多種表示形式有助于學生理解復數．復數的代數式、三角式和指數式等多種表示形式對復數概念的理解是必要的，不同的表示形式有助于學生從不同方面認識復數概念，復數的代數式易于理解和接受，進行復數的加減法運算也很方便，并且有利于建立復數與向量之間的一一對應關系；復數的三角形式有利于計算復數的開方運算，而復數的開方運算是體現復數特征、區別其它數系的一個重要運算；復數的指數形式在涉及到復數乘法、乘方、幾何變換等一些復雜運算時比較有利．所以為了全面理解復數概念，就要理解它的運算，而要充分理解復數的運算，就需要學習復數的多種表示形式．第四，增加復數在方程求解方面的內容．方程求解是體現復數的產生和發展、滲透數學思想的重要部分．復數在方程求解中既涉及到復數的運算，也包括韋達定理、復根的共軛性等性質，所以在高中的復數教學與學習中，復數范圍內求解方程是一個重要內容，可以幫助學生深入理解復數的概念，掌握復數的運算和性質，熟悉復數的簡單應用．

4.2.4 復數課程應該注重縱向銜接

高中復數課程的學習應該是在學生數學現實上的繼續學習，并為后續學習做準備．借鑒其他國家的課程標準，承前方面，把復數和其它數系整合在一起，表現出數系擴充的完整性和連貫性，在內容和方法上，既有利于接受復數，也有利于學生后續學習的發展；啟后方面，重視復數知識的深入學習，如棣莫弗定理、用復數表示平面上的幾何問題、復數乘方、開方運算等，這些知識可以幫助學生在學習過程中深入理解復數，也符合為進一步的大學課程學習奠定知識基礎的目標要求．所以，高中復數課程應該注重縱向銜接，使得初等數學教育在學生培養的思路、方向、總體目標具有一致性[12]．

4.2.5 課程設置體現復數的應用性

復數的另一個重要性就是復數的應用性．在當今數學發展中，復數受到認可的主要原因之一是，復數在數學學科本身、電磁學、流體力學等物理學科中的廣泛應用．教學中強調復數的應用性可以加強學生對復數學習的目的性，陶冶學生的情感，有利于對學生價值觀發展的影響，從這一方面來說，高中復數課程設置增加復數應用性內容，符合情感發展的要求，也符合核心素養的發展理念．

[1] 盧建川．基于問題驅動的高中復數教學研究與教學內容的重構[D]．廣州：廣州大學，2016：9-24．

[2] 左浩德，蔣紅慧．課堂改革對課堂教學的影響——以高中數學復數部分為例[J]．數學之友，2015，20（5）：3-6．

[3] 董連春，Max Stephens．澳大利亞全國統一高中數學課程標準評述[J]．數學教育學報，2013，22（4）：16-20．

[4] 吳駿，胡鵬艷，朱維宗，等．中國與新加坡高中數學教材復數內容比較研究[J]．數學通報，2016，55（1）：12-16．

[5] 王奮平．中英高中數學教材復數內容比較研究——以英國AQA數學課本和人教版A版數學課本為例[J]．數學教育學報，2011，20（3）：83-86．

[6] Common Core State Standards for Mathematics [EB/OL]. (2010-06-02) [2018-01-01]. http://www.corestandards.org/ Math/.

[7] 曹一鳴，王立東，PAUL COBB．美國統一州核心課程標準高中數學部分述評[J]．數學教育學報，2010，19（5）：8-11．

[8] Mathematics Syllabus Pre-University H2H2 further Mathematics [EB/OL]. (2016-09-11) [2018-01-01]. https://www. moe.gov.sg/education/syllabuses/sciences/.

[9] Further Mathematics AS and A Level Content for Mathematics [EB/OL]. (2016-04-04) [2018-01-01]. https://www. gov.uk/government/publications/gce-as-and-a-level-mathematics/.

[10] ?Senior Secondary Australian Curriculum: General Mathematics [EB/OL]. (2012-12-10) [2018-01-01]. https://www. australiancurriculum.edu.au/senior-secondary-curriculum/mathematics/general-mathematics/.

[11] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003：27．

[12] 張守波．新加坡高中數學教學大綱的特色與啟示[J]．數學教育學報，2013，22（6）：58-61．

Comparative study on Complex Numbers of High School Mathematics Curriculum Standards among China, America, Singapore, Britain and Australia

PENG Yan-gui1, 2

(1. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. School of Mathematics and Information Science, Anshan Normal University, Liaoning Anshan 114007, China)

Since 2002, the complex numbers content of our high school had been greatly reduced. After several years of teaching practice, until 2017, the ministry of education was revising the high school mathematics curriculum standards again, complex numbers curriculum of high school was still controversial, the content of complex numbers was significantly less, and the level of knowledge was obviously low. In contrast, many other countries pay great attention to the complex numbers curriculum of high school. They all agreed that the complex numbers knowledge was the basic content of applying for mathematics, science and technology. China, the United States, Singapore, Britain, Australia, these five countries were representative in the development of education, this paper compared the complex contents of high school mathematics curriculum standards in these countries, It could provide experience for the selection and setting of complex numbers content of high school. The research showed that the curriculum objectives of the complex numbers of the five countries were basically the same, The distribution of some complex numbers knowledge was the same and the other parts were different.

curriculum standards; the complex numbers; comparison

2018–11–01

遼寧省教育科學“十三五”規劃課題——高中生數學核心素養測評與提升（JG17CB358）

彭艷貴（1982—），男，吉林梨樹人，東北師范大學博士生，鞍山師范學院講師，主要從事數學教育研究．

G632.3

A

1004–9894（2019）01–0049–06

彭艷貴．“中國”“美國”“新加坡”“英國”“澳大利亞”高中數學課程標準復數內容比較研究[J]．數學教育學報，2019，28（1）：49-54．

[責任編校：陳雋、陳漢君]