上海七年級學生“平行”概念表征與轉譯的調查研究——基于數學核心素養的視角

陳志輝，孫 虎，周芳芳

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上海七年級學生“平行”概念表征與轉譯的調查研究——基于數學核心素養的視角

陳志輝1，孫 虎2，周芳芳3

（1．華南師范大學，廣東 廣州 510631；2．上海市嘉定區震川中學，上海 201805；3．上海市普陀區曹楊中學，上海 200333）

基于數學表征與轉化的能力水平劃分框架，通過文獻梳理數學概念表征的內涵與可測的表征類型，在參考與改進國外已有測評樣例的基礎上，設計了關于七年級學生對“平行”概念的表征與轉譯的測試題．施測結果顯示，上海七年級學生對平行概念的操作性定義理解較好，對平行概念標準形式下的表征有著良好的識別表現；但在進行不同表征形式存在單向性的轉譯問題，對非標準形式下的概念表征辨識則表現出較大的認知困難．基于此，從關注核心素養發展的角度提出有針對性的概念教學建議．

概念表征；敘述性表征；描述性表征；轉譯；平行；七年級

1 引言

“表征”作為認知過程中的基本單位[1]，其在數學學習心理學與數學問題解決研究領域中占有不可替代的地位，同時也是人們進行復雜數學學習活動和理解概念建構過程的必經途徑[2]．相關研究[3]表明，數學表征在學生理解概念、關系或關聯以及解決問題過程所使用的數學知識方面有著至關重要的作用．有研究者[4]認為，問題解決與知識表征的關系相互依存：對一個給定的問題，如果使用恰當的表征可以極大地簡化問題解決的機制．

2000年，美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）[5]強調，表征體現了數學建構和行為的關鍵特征，比如繪畫圖表和使用語言去表示與解釋分數、比率或乘法的運算．當學生學會多種形式去表示、討論和聯系數學觀點，他們能展示更為深刻的數學理解和更好的問題解決能力．2014年，NCTM在《行動原則：確保所有學生數學成功》（）[6]中指出，有效的數學教學需要使得學生參與到在不同的數學表征中建立聯系，以便促進他們對數學概念和程序規則的理解．學生應學會使用不同的數學表征形式，并在各種形式之間建立聯系．

此外，包括德國、新加坡等也在其官方數學課程標準中都將表征列為學生應當培養的重要能力．而在中國新一期課程改革中，關于“數學表征與轉換”也已擬定為中國六大數學學科核心能力框架模型的內容之一，數學表征能力將是學生應獲得重點培養的素養內涵[7-9]．在此背景下，有研究者[10]類擬PISA所提出的數學素養，制定以情景、內容、能力為測評框架，對八年級學生的數學表征能力展開大規模的施測．幾何在數學課程體系中占據著特殊的位置，它將物理世界的點線面進行抽象而作為內容．而自范希爾夫婦提出幾何思維水平理論以來，有關幾何概念教學的認知過程受到越來越多的關注與重視．

通過文獻梳理發現，國內外關于數學表征方面的研究在主題與方法上有許多的共同之處，也存在著不少的差異．總體來說，都非常關注幾何表征在教學過程的意義與實踐；而區別在于，國外研究比較側重于對表征認知過程的描述刻畫，試圖建立媒介（如計算機等）與表征轉換的聯系以及對影響表征的因素[11]進行探索，改善教學的任務設計與學生的學習困難[12]等，而國內研究則較多從整體上去關注學生表征，以及其它核心能力上存在的差異，而微觀層面上，對學生在具體概念進行表征時呈現的特點或遇到的困難的關注較少．

表征作為一個復雜而微妙的概念，也是學生概念學習與掌握過程中的關鍵變量．通過概念表征的測試研究，有助于一線教學工作者提升對學生思維特點的認識，進而制定相應的教學策略，提高教學質量；也有助于教育研究者和政策制定者深刻了解不同年齡階段學生對概念理解的水平，為課程內容的設計，課程培養目標的設置等提供參考．因此，以幾何中的“平行”概念為例，對學生對其理解及表征形式轉換的表現進行測試，試圖獲得某一地域學習群體對此概念進行表征時呈現的特點，為理解學生在平行概念的構建過程，并為前線教師對學生學習困難的指導提供策略依據．

2 研究設計

2.1 概念界定

關于“表征”的內涵，向來眾說紛紜，如從哲學的角度出發，Marr D[13]將“表征”定義為“一個表示某種明確主體或信息類型的形式系統，以及包括表示這種系統所用的方式”．而從心理學角度，Christopher H[1]則將表征看作是一種“表征主體”（the represented entities）與“表征客體”（the representing entities）的一種映射，也將其作為結構化的同構方法．Palmer（1978）開發了一個一般的表征理論，該理論依據兩個功能獨立的“世界”：“被表征的世界”（represented world）和“表征的世界”（representing world）．從文獻梳理出發，唐劍嵐[14]認為，在認知科學、教育心理學等領域中的含義是指用某一種形式（物理的或心理的），將一種事、物、想法或知識重新表示出來．徐斌艷[7]則將數學表征能力界定為，用某種形式，例如書面符號、圖形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達要學習的或處理的數學概念或關系，以便最終解決問題．綜上所述，關于“表征”的內涵，至少應包括對內容進行表示的形式以及呈現這種形式的過程兩個方面．

對于表征的分類，研究者較為認可和廣泛運用的分類法如下，按表征活動發生位置分為內部表征（internal representation）和外部表征（external representation）；按表征所用形式可分為敘述性表征（descriptive representation）和描述性表征（depictive representation）等．內部表征是指個體的認識圖式或心象結構，通常不可觀察得到；外部表征則是能被觀察的物理性表達的系統，如文字、圖表、圖片、方程或計算機微型世界[15]．兩種表征相互影響，相輔相成，但給直接施測觀察帶來許多不便．而另一種分類法則將話語文本、書寫文本、數學公式和邏輯表示均歸屬為敘述性表征；而描述性表征包含圖示符號，它允許人們從中析取關系信息，但不含有反映關系的各種符號[16]．由于其具備方便直接測量的優點，為許多研究者所廣泛采用．有研究者[17]為測量敘述性表征和描述性表征兩種不同方式對學生在問題解決過程中的影響效果，研究發現，圖像表征的方式更加接近于學生的現實生活習慣．

2.2 研究問題及方法

在核心素養內涵構建的背景下，有研究者[10]類比PISA所提出的數學素養，制定以情景、內容、能力為測評研究框架，對八年級學生的數學表征能力展開大規模的施測．其中，表征轉換能力分為系統間表征和系統內表征，系統間表征是指在書面符號、幾何圖形（表）、語言文字（口頭）以及操作性表征4個數學表征系統之間進行的表征轉換；系統內表征包括變量替換，初等幾何變換，恒等變形，映射變換4種．并將數學表征與轉換能力簡單劃分為再現、聯系和反思3個水平層次．

表1 數學表征與轉換能力的水平劃分

注：圖表來源——徐斌艷，朱雁，鮑建生，等．我國八年級學生數學學科核心能力水平調查與分析[J]．全球教育展望，2015，44（11）：57-67，120．

誠然，宏觀上的能力測試雖對學生培養目標的設置有著重要的參考價值，然而對教學實踐層面而言，如何根據某一群體的概念表征特點判斷他們的概念理解程度，形成有效的教學設計和策略，有著更為現實的意義．因此針對個體表征的特殊性與多樣性，關于某一年齡階段的學生對某個概念如何進行表征，表征過程呈現出什么樣的特點進行調查研究，對于一線教師來說其價值更為關鍵．

GA Goldin和JJ Kaput[15]均認為，表征往往不是獨立存在的，而是屬于結構化程度較高的系統，通常具有來自個體、文化和符合習慣的特點．因此，學生在接觸特定的數學概念初期對其理解及進行表征時呈現的特點，以及其對概念的理解程度的對應關系則為研究所關注的問題．

Duval R[18]認為，表征是不依賴于真實個體意識的深層意識結構運作所呈現出來的僅有的表層結果，能通過學生的表征了解其知識獲取的過程并找到導致其學習困難的原因．因此，將以表征作為變量測量學生對概念理解的水平程度，首先，由表征的內涵出發，可知其涵括對內容進行表示的“形式”及其“過程”的雙重含義，因此，在設計問題的過程中著重將學生對“平行”的表達及對其表達的過程作為觀測內容．

其次，數學上多元表征的轉換能力也是包括中國在內的世界許多國家課程的重要培養目標之一．唐劍嵐[14]認為，多元表征的恰當運用能在一定程度上降低數學理解的難度，而且使得數學更具吸引力和趣味，同時其認為，不單純是表征，各種表征間的轉換與轉譯是解決問題的關鍵．尤其對幾何概念來說，“幾何圖形”通常是指屬于言語表征與視覺表征的聯合體，盡管根據數學活動時僅有一種能突顯其作用．因而Duval R等人[20]認為：“對于幾何概念來說，非常有必要聯合至少兩種或以上的表征方式，一種言語表達屬性或數量表達式屬性，另一種則為可視化（形象化）．”

結合施測操作的客觀性，選取敘述性表征與描述性表征的轉換作為測試目標，分別以正逆兩個方向的轉換進行測試題設計．

最后，結合表征與轉換能力的水平劃分過程中涉及關于情景的標準化與非標準化的區別，因此，設計了一系列關于“平行”概念的表征，包括標準化與非標準化的表達方式，主要借鑒相關研究[19]中采用的方法，呈現不同畫法標準下的“平行”概念，用開放題的形式測試學生對不同標準下“表征”的識別和論證．

綜上所述，將確定的研究問題具體如下．

（1）七年級學生如何對“平行”概念進行操作性的“表征”？

（2）七年級學生在對“平行”概念進行表征轉換時表現如何？是否存在轉譯困難？

（3）該群體是如何對標準化和非標準化的“平行”概念表征進行識別的？

根據以上問題進行測試題設計與編制，最終確定3道大題，共10道小題，均以開放題和半開放題為主，施測前通過教師和學生的訪談并對測試問題進行部分調整．確保測量的有效性之后，便開始對樣本學生進行施測．

2.3 正式測試實施過程

2016年4月11日下午，測試問卷投放于上海市嘉定區震川中學進行施測，在七年級普通班中抽取了兩個班共66名學生（學生的年齡及性別信息如圖1所示），進行了長約40分鐘的測試．在測試的一周前，他們已經學習了平行線的概念以及與平行線相關的基本特征．

圖1 測試學生樣本的性別年齡比例分布

3 研究結果

通過對測試卷進行回收并對所測結果編碼分類，得到的結果如下．

（1）七年級學生基本能根據概念特征作圖描述“平行”，并標出關鍵的符號．

為了觀測學生對“平行”概念的直接表征，設計了平行線作圖，要求敘述作圖過程，試圖通過學生對符號以及工具的使用，尋找處于該年齡段學生對“平行”概念的表達與其認知思維的關系．

測試題樣例1：“請在以下方框中畫出一對平行線，并在右邊的方框中寫出你的作圖步驟．（工具不限）”（后面給出空白的“作圖區域”和“作圖過程區域”）

樣本學生的表現如圖2所示．

圖2 學生在平行線作圖測試的表現

通過對數據結果分析發現：①樣本中近70%的學生能夠按照要求畫出平行線，標記關鍵符號，并說明作圖方法．他們基本能借助尺、筆等作圖工具畫出“平行”的直線或線段，并在圖上標注能說明所畫的直線相互平行的依據，例如標記出“兩條直線”同時垂直于第三條直線的符號或者所作直線均與第三條相交，并表明此時與之相關的同位角或內錯角大小相等．②約17%的學生對幾何概念的表征習慣仍停留在相對的“直觀感覺”上，認為只要畫出的直線“看起來”平行則能表達出幾何中“平行”的含義，并且能從數據中看到，這部分學生不能很好地進行數學概念操作方面的話語交流（話語表征），不能很好地描述對應的作圖過程．

（2）七年級學生對平行概念進行敘述性表征與描述性表征存在單方向的轉譯困難．

為了觀測學生對平行概念敘述性表征和描述性表征的轉換，設計了兩個單方向轉譯測試題，也即文字表征向圖形表征轉譯和反方向轉譯，重點分別關注學生轉譯過程中對點線的位置感以及關系描述．

測試題樣例1：請根據要求完成圖形繪畫或文字描述．

a. 請根據下面的敘述，在作圖區域中畫出相應的圖形：作圖區域 已知在長方形ABCD中，E是BC邊所在直線上的一點，F是AD邊所在直線上一點，且AE∥CF，G是線段AE上一點，H是線段CF上一點，且GD∥BH.

測試題樣例2：請在方框左邊空白區域用文字和數學符號敘述方框右邊所給出的圖形．

綜上結果可知，七年級學生對平行概念的多種表征方式進行轉譯時，存在著不平衡的能力發展表現：總體上，由敘述性表征（如文字）向描述性表征（圖形）轉換表現良好，而由描述性表征向敘事性表征反方向轉譯時則存在較大的困難．

（3）七年級學生對平面內“平行”概念表征識別表現良好，但對空間內的概念表征辨識仍存在認知困難．

中國在《義務教育數學課程標準（2011年版）》[20]培養目標中提到，數學課程應當注重發展學生的符號意識、空間觀念、幾何直觀等能力和模型思想．

其中將“空間觀念”描述為“主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等．”

而“幾何直觀”則被描述為：“主要是指利用圖形描述和分析問題．借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果．幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用．”

綜上可發現，中國在課程目標上對培養學生將數學概念與現實世界建立聯系十分重視，尤其對幾何概念在培養學生的數學觀念和能力上給出了具有針對性的論述，即幾何概念并非虛無飄渺和難以捉摸的，而是可以看成是借助于“實際物體”進行“特征抽象”而建立起來的數學模型．這對于研究所關注的“平行”概念表征的“標準”的解讀有著重要的參考價值．

因此，為了觀測學生對于不同標準下所表征的“平行”概念的識別情況，結合課程標準中對空間觀念的培養目標要求，以及Parzysz B[19]等人相關研究中采用的方法，即通過平面表征和空間表征的不同標準對“平行”進行刻畫，在不同的標準下呈現不同透視畫法標準下的“平行”，以開放題的形式讓學生進行判斷并解釋緣由，重點關注學生是否能識別基于不同標準下的“平行”表征，以及標準下的表征方式對學生的思維存在何種程度的定勢影響．

測試題樣例3：發揮你的想象，你認為以下圖形有可能用來表示“平行線”嗎？先作出判斷，再簡述你的理由．

如上所示，以幾何的平行投影畫法為標準，研究設計了圖A、B、E作為表征直線在平面內的圖像形式，而將直線的中心投影畫法以及空間表現形式作為非標準表征的測試內容，研究設計了圖C和D，特別是圖C是從平行線一章的章頁“漸遠的筆直公路”插圖進行抽象而來的，雖說也能夠將其視為平面上即將相交的直線，但對題目要求放寬至開放題的形式，目的也在于測試學生思維的定勢程度．

通過數據回收分析，得到了樣本學生對以上5幅圖能否用來表示“平行”概念的整體結果（如圖5）．結果表明：對于A圖標準下（即平面內）“平行”概念的表征，絕大多數（95%以上）的學生認為該圖能用以表示“平行”，判斷依據主要有“兩線之間的距離處處相等”“兩線沒有共同交點”“作第三條線與它們相交，從同位角或內錯角相等進行判斷”等原因；而對于圖B和圖E，也均有70%的學生認為其不能用來表示“平行”，重要的判斷依據均是“圖中的兩線相交”．以上判斷結果表明，七年級學生基本能對標準表征下的概念特征進行判別，也即理解“平面內兩線是否相交”是判斷它們“是否平行”的重要依據．

圖5 學生在對平行概念的不同標準形式的表征識別表現

對于“平行”在非標準形式下的概念表征，七年級學生對其真實識別率非常低，如表2所示，對于圖C和D，均只約占3%的學生能將其視為“在空間內平行”而作出肯定的判斷，并且可以從其余的判斷依據中發現：標準形式下“平行”概念的特征，對進行非標準下的概念表征有著較大的影響．但考慮到學生對平行概念的學習熟練程度，盡管仍不能很好地運用數學語言進行解釋，還是有部分學生能感覺（或直覺想象）數學概念與現實世界的模型存在一定的關聯，例如，在對學生進行訪談中，他們覺得圖C“看起來像筆直的公路”．

總的來說，七年級學生在初步學習掌握“平行”概念后，大多部分學生基本能理解并識別標準形式下“平行”的概念表征，能依據概念的基本特征進行概念的判別；但對于非標準形式（如空間形式和中心投影畫法）下的“平行”表征的識別仍存在著較大的困難．測試結果表明，七年級學生在對平行概念的理解和表征的表現與數學表征與轉換的核心能力劃分的中低能力水平（水平一、水平二）存在一定程度上的吻合，即對標準化情境下的概念表征能進行較好的判斷，也能進行一些不同表征形式的轉換，但未能達到較高能力水平（反思與拓展）的要求．

表2 七年級學生對空間內的平行概念表征的辨識表現

4 結論與建議

通過以上結果分析，得到的基本結論及對應的教學建議如下．

首先，七年級學生對“平行”概念的操作性定義的理解表現良好，但運用數學話語表達的能力仍有待提升．從測試結果來看，大部分學生基本能正確地進行概念的畫圖操作，能借助必要的畫圖工具，正確使用幾何記號，但不能很好地運用語言表征描述其作圖過程，說明關于七年級學生對“平行”的操作性定義有著較好的理解．因此，在關于“平行”概念教學中，建議在鼓勵學生動手操作的同時注意培養學生的數學話語表達能力，加強課堂師生對話交流，引導學生正確使用書面語言對數學思維活動的描述．

其次，七年級學生在進行概念不同表征形式的轉譯時存在單方向性的困難，特別在描述性圖形表征轉化為敘述性文字表征的過程中尤為明顯．前文的論述中也提到，學生的表現差異或許與文化有著密不可分的關系，但總的來說還是與學生受到解題過程中養成的習慣有著密不可分的關聯．有研究者[21]認為，學生的表征能力能夠通過教學得到提高，其具體的策略有：（1）鼓勵有目的的表征選擇；（2）鼓勵通過對話明確表征之間的關聯；（3）對表征之間的聯系作交替性的指導．而國內許多研究[22]也認同，多元表征方式的呈現，無論對問題本身的理解還是促進學生的思維發展，均有著重要的意義．因此，建議在幾何概念教學的過程中采用多元的表征方式，尤其應注意多鼓勵學生進行例如畫圖等描述性表征方式的學習和使用，這將有助于提升學生在數學表征與轉換方面的核心素養．

最后，七年級學生對標準形式下的平行表征基本能進行很好的判別，對非標準形式下的“平行”仍未能很好的辨別．對于該群體學生的測試表現，可能的原因是什么？是這個年齡階段學生的認知思維能力所限，還是課程體制下學生較少接觸課程之外的概念表征形式，抑或還有研究者未考慮過的因素？具體的緣由仍未得到驗證，也將有待于研究的進一步深入探索．而數學概念大多來源于現實，其存在的表征形式有著多樣性，如何把握在理解“教育數學”視角中的概念的同時，又不失割裂對“數學”與“現實”的聯系，同樣值得廣大教育工作者更多地深思熟慮．

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An Investigation on the Representation and Translation of Parallel Conception of Grade 7 Students in Shanghai: Based on the Perspective of Core Competencies of School Mathematics

CHEN Zhi-hui1, SUN Hu2, ZHOU Fang-fang3

(1. South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China; 2. Zhenchuan Middle School, Shanghai 201805, China; 3. Caoyang Middle School, Shanghai 200333, China)

Based on the framework of competency levels of mathematical representation and translation, after reviewing the literatures, we designed a test on the representation and translation of parallel conception for Grade 7 students, which followed similar tests used in researches of geometrical conceptual representation, and made this investigation in a middle school of Shanghai. As presenting in the result, Grade 7 sample students had a good understanding on the operational definition of parallel conception, as well as how they perform in the recognition of standard representation. However, Grade 7 students also got difficulties in translating different presentation forms and recognizing the nonstandard representation of parallel conception. Then several instructional suggestions were come up from the perspective of core Competencies of School Mathematics at the end.

conceptual representation; descriptive representation; depictive representation; translation; parallel conception;grade 7

2018–09–06

上海市嘉定區區級課題——初中數學教學中電子白板對學生幾何思維影響的研究（JB1535）

陳志輝（1987—），男，廣東普寧人，博士后，主要從事數學教學心理、數學教育國際比較研究．

G632

A

1004–9894（2019）01–0037–06

陳志輝，孫虎，周芳芳．上海七年級學生“平行”概念表征與轉譯的調查研究——基于數學核心素養的視角[J]．數學教育學報，2019，28（1）：37-42．

[責任編校：周學智、陳雋]