數學教師KCS與學生認知的一致性研究——以“概率”內容為例

何聲清

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數學教師KCS與學生認知的一致性研究——以“概率”內容為例

何聲清

（上海師范大學 數理學院，上海 200234）

以北京市28名七~九年級數學教師（教師端數據）及該市某校204名七~九年級學生（學生端數據）為被試，以“概率”內容為載體，通過對比學生的作答數據與教師對學生作答的預測數據，考察數學教師KCS與學生認知的一致性．結果表明：教師對學生作答的預測大都與學生的實際作答相去甚遠，他們對學生概率認知的水平估計過高；鮮有教師給出的預測得分率排序與學生的實際作答完全一致；教師對學生在不同問題中可能出現的困難有不同的預測，而這些預測與教師對任務本身的認識有關．對教師的建議有：深入分析影響概率問題難度的潛在因素；站在學生的立場，了解學生概率思維的特征．

七~九年級；數學教師；KCS；概率認知

1 問題提出

概率素養（probability literacy）是大數據背景下數學素養的重要方面[1]．新課程于2001年才正式將概率內容納入義務教育階段[2]，這意味著很多教師在其自身的基礎教育階段并沒有接觸過多的概率知識[3]．實證研究也表明，一線教師自身對概率知識的理解也常常存在偏差[4]，他們在教學實踐中常常感到“概率難教”[5]．按照Hill等人“數學教學知識框架”（framework of mathematics knowledge for teaching，MKT）中的觀點，前者是對教師內容知識（content knowledge，CK）的挑戰，后者則是對教師關于學生和內容知識（knowledge of content and students，KCS）的挑戰．從涉及范圍來看，KCS主要包括教師對學生常見錯誤的了解，對學生問題解決策略及步驟的了解，對學生概念發展過程的了解等知識[6]．以概率內容為例，除了自身概率知識過硬以外，教師還應關注學生是如何認識和理解概率的[7]．

2012年頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》對義務教育階段概率內容的學段目標和內容難度等做了進一步調整[8]：對概率內容的設置做了整體延后，第二學段才初步接觸簡單的隨機現象及其可能性大小等內容，第三學段才學習列舉法求事件的概率．例如，人民教育出版社出版的數學教材在九年級才設置“用列舉法求概率”的內容[9]．換言之，義務教育階段的概率內容更多地是從定性認識著手，對概率的定量認識則并未做過高要求．這樣的處理是基本合理的：概率的定量計算是建立在學生對樣本空間的理解之上的[10]，而復雜樣本空間的構建通常對學生組合運算能力提出了較高要求[11]．實證研究一再表明，學生在組合運算時不僅難于找到一個可靠的規則或清晰的順序以做到不重不漏地列舉[12]，他們對隨機試驗“基本事件”（elementary event）的理解也十分模糊，從而對樣本空間的理解存在巨大偏差[13]．除了上述方面以外，學生的概率認知還受直覺因素和樸素經驗的干擾[14]，學界相關實證研究已就學生對概率的錯誤認知進行了深入和持續的探討[15-19]．然而問題是，教師對學生的概率認知有怎樣的認識（教師的概率KCS如何）？教師的概率KCS與學生的概率認知有多大程度的一致性？研究者曾對七~九年級學生概率認知的策略及其典型錯誤進行了考察[20]，獲取了學生在概率比較任務中作答表現的相關數據．在前研究的基礎上，考察數學教師概率內容KCS與學生概率認知的一致性，以期對該領域內容的教學實踐及教師專業發展提供有益建議．

2 研究設計

2.1 被試

教師被試．北京市28名七~九年級數學教師參與了此次測試．其中男性教師7名，女性教師21名；本科學歷的教師23名，研究生學歷的教師5名（均為碩士學位）；七年級、八年級及九年級教師的人數分別為9名、10名及9名；10年以下教齡、10~20年教齡及20年以上教齡的教師分別為12名、9名及7名；職稱為中學二級、中學一級及中學高級的教師分別為8名、9名及11名．

學生被試．學生被試與文[20]中的被試完全一致：北京市某校204名七~九年級學生參與了此次測試．其中男生113人，女生91人；七年級、八年級及九年級被試人數分別為69名、74名及61名．該數據庫的部分數據在文[20]中已經報道（如“每個題目的作答得分率”），其它數據將結合該研究的需要做進一步挖掘（如“每個題目各選項的百分比”）．

2.2 問卷

為了考察教師端數據和學生端數據的一致性，問卷沿用了文[20]的設計．該問卷共包含5個“摸球”問題，各題目按照“球的總個數”“球的顏色種類”“盒子個數”等變量區分出不同的問題情境．與文[20]不同的是，該研究不要求教師對題目本身進行作答，僅要求他們依據其對所教年級學生能力水平的判斷，預測學生作答時的可能表現并寫出判斷的依據．各題目題干、問題情境等如下．

題干：

一個（兩個）不透明的盒子里（分別）有×個白球、×個黑球（和×個綠球），它們除顏色外都相同．閉上眼睛，搖一搖盒子后，從盒子里摸出2個球（各摸出1個球）．

問題情境：

Q1，盒子里裝有1個黑球和2個白球，摸出2個球；Q2，盒子里裝有2個黑球和2個白球，摸出2個球；Q3，盒子里裝有1個黑球、1個綠球和2個白球，摸出2個球；Q4，左邊盒子里裝有1個黑球、1個白球．右邊盒子里也裝有1個黑球、1個白球．同時從左邊、右邊盒子里各摸出1個球；Q5，左邊盒子里裝有1個黑球、2個白球．右邊盒子里裝有1個綠球、1個白球．同時從左邊、右邊盒子里各摸出1個球．

學生問卷（針對Q1~Q5，分別作答）：

摸出的這2個球，是“1個黑球和1個白球”的可能性大？還是“2個白球”的可能性大？還是一樣大？（ ）

（A）“1個黑球和1個白球”的可能性大

（B）“2個白球”的可能性大

（C）一樣大

（D）不確定

教師問卷（針對Q1~Q5，分別作答）：

（1）我預測，對于年級學生來說，有%的學生會作答正確；

（2）我預測，該年級學生最容易選擇的錯誤選項是，他們誤選該選項的原因可能是：；

（3）我預測，對于該年級學生來說，他們在這5道題目上的得分率從高到低依次是：

問題＞問題＞問題＞問題＞問題．

需要指出的是，該研究設計上述系列問題的初衷在于逐步增加問題難度以使被試作答有循序漸進的步次．然而數據表明[20]，上述5個題目的難度并非按照題序逐級遞增：前4題得分率基本相當（Q1~Q4的平均得分率分別為30.4%、37.8%、34.8%及33.3%），第5題得分率最高（64.2%）．

2.3 方法

鑒于該研究中教師被試數量有限，研究者一方面對教師端及學生端數據的一致性做描述性統計分析，一方面對教師作答的理由做具體分析以考察其概率內容的KCS．

3 研究結果

3.1 “教師對學生概率任務得分率的預測”與“學生實際得分率”的一致性

就各年級教師對所在年級學生在不同題目上得分率的預測數據進行統計（教師端數據），并將其與學生實際的得分率數據（學生端數據）[20]進行對比（表1）．結果表明，除了Q5外，各年級教師對學生在各個題目上得分率的預測均與學生的實際得分率相去甚遠．具體而言，對于七、八年級教師，其對學生在Q5中得分率的預測與學生實際得分率基本接近，對學生在Q2~Q4中得分率的預測基本是學生實際得分率的兩倍（及以上），而對學生在Q1中得分率的預測甚至達到學生實際得分率的3倍；對于九年級教師，其對學生在Q5中得分率的預測與學生實際得分率也基本接近（甚至略有低估學生的能力水平），對學生在Q2~Q4中得分率的預測基本高于學生實際得分率20%左右，而對學生在Q1中得分率的預測則高于學生實際得分率35%以上．

以上表明：（1）各年級教師對其所在年級學生在Q5上得分率的預測基本與學生實際作答一致．結合學生端數據可以發現，七、八年級學生對該題的理解基本處于同一水平，九年級學生較前兩個年級在得分率上有15%左右的提升．（2）各年級教師對其所在年級學生在Q1上得分率的預測過于樂觀．（3）各年級教師對其所在年級學生在Q2~Q4上得分率的預測也過高，但他們對3個題目相對難度的估計和學生實際作答基本一致．具體而言，七、八年級學生在Q3和Q4上的得分率基本持平，該年級教師對學生在Q3和Q4上得分率的預測也基本持平；七、八年級學生在Q2上的得分率基本高于Q3和Q4，該年級教師對學生在Q2上得分率的預測也基本高于Q3和Q4；九年級學生在Q2~Q4上的得分率基本持平（50%~55%左右），該年級教師對學生在Q2~Q4上得分率的預測也基本持平（70%~75%左右）．這說明，盡管教師對學生在這些問題上的得分率估計過高，但他們對這些問題相對難度的把握基本合理．

表1 教師對學生在各題目上得分率的預測與學生實際得分率對比

3.2 “教師對概率任務相對難度的預測”與“學生得分率排序”的一致性

就教師對各題目相對難度的預測與學生實際作答得分率的排序進行對比（表2）．從學生端數據來看，3個年級學生在各題上的得分率排序基本類似但也表現出一定的差異：七年級學生的排序是Q5＞Q2＞Q1＞Q3＞Q4，八年級學生在Q1中的相對得分率有所降低，九年級學生在Q2中的相對得分率有所降低．概言之，各年級學生在Q3、Q4及Q5中的相對得分率基本一致，而Q1對于八、九年級學生而言在5個題目中“難度”最大，九年級學生在Q2中的得分率也處于5個題目的較低水平．

從教師端數據來看，教師對學生在概率任務中得分率的預測與學生的實際作答通常差距甚遠．主要結果概括如下：（1）七年級教師中僅教師5給出的得分率排序與學生實際作答基本一致，而八、九年級教師中幾乎沒有與學生作答基本一致的預測．（2）多數教師傾向于認為Q5是一個難度較大的任務，分別有6名、7名及5名七~九年級教師預測學生在Q5中得分率最低，而學生在該題上的得分率恰恰是最高的．（3）多數教師傾向于認為Q1是一個難度較小的任務，分別有6名、7名及5名七~九年級教師預測學生在Q1中的得分率最高，而七年級學生在該題中的得分率僅處于5道題目的中等水平，八、九年級學生在該題中的得分率甚至處于最低水平．該題涉及的球的個數是最少的，所有可能的組合也僅有3種情況（即“黑白1、黑白2、白1白2），但該題對學生的迷惑性也較大：直觀上白球比黑球多，這使得沒有找到可靠策略的學生常常據此作出直覺的判斷．教師之所以傾向于認為學生在該題的得分率最高，或許正是考慮到該問題情境相對簡單，而這也恰恰反映了他們沒有真正從學生的視角出發，缺乏對學生思維特征和水平的合理估計．（4）分別有2名、5名及3名七~九年級教師按照題序對各題的得分率進行排序，這再一次說明了他們對學生了解不夠，沒有深及問題的實質和學生的思維．

表2 教師對各題目相對難度的預測與學生實際得分率排序對比

3.3 教師對學生典型認知錯誤的認識

就各年級教師對其所在年級學生在各題目上最易誤選選項的預測進行了統計，并將其與學生實際作答中錯誤選項的百分比排序進行了對比（表3）．從學生端數據來看，各年級學生在所有題目中最易誤選的選項幾乎均是“（C）一樣大”（八年級學生在Q5中的作答除外）．

從教師端數據來看，教師對學生在各題目上最易誤選選項的預測差強人意．主要結果概括如下：（1）教師對于學生在不同題目中最易誤選的選項有不同的預測．例如，八年級教師在Q2及Q4中預測正確的人數高達90%，而在其余題目中預測正確的人數則不多．Q2及Q4的特點均是“兩種顏色球個數相同”，已有研究恰恰表明，這種“高度對稱”的問題背景在直觀上更容易誘導學生的“等可能性偏見”[21]．換言之，教師對學生在該問題上的預測基本合理，也基本能夠解釋學生認知錯誤的潛在原因．例如，一位七年級教師對其在Q2中的預測解釋道：“覺得白球和黑球一樣多，沒有理性的思考”；另一位七年級教師則認為：“條件中各是2個球，也是摸2個球，而對摸到一黑一白的情況不能有效進行分類，故而選C．”學生在Q2中容易誤選C的原因遠不止上述方面，也有一些教師給出了其它的解釋，例如有九年級教師指出：“學生可能認為白白的情況只有一種，白黑的情況也有一種，沒考慮球的個數，將球編號．”該教師認為學生對樣本空間的理解不當是造成學生概率計算錯誤的主要原因，這是基本合理的：已有研究表明，在較復雜的概率問題中，學生常常難于找到可靠的策略對結果進行不重不漏的組合并列舉所有可能的結果（樣本空間）[20]．即便學生能夠意識到從樣本空間出發，他們也常常忽略了將“重復樣本”進行區分（例如，他們常常將“黑1白1、黑1白2、黑2白1、黑2白2”籠統地合并為1個結果，即“1個黑球和1個白球”）[13]．（2）有部分教師認為學生在Q3中最可能誤選的選項是“（B）‘2個白球’的可能性大”．盡管教師的預測和學生實際作答有一定差距，但他們的預測也有其合理性．例如，一位七年級教師解釋道：“條件中有2個白球，數量最多，問題也是摸2個球，故而學生認為摸2個白球可能性大．”事實上，選項（B）也確實是該年級學生比較容易誤選的選項（百分比為24.6%），這說明教師對學生在該問題上的作答表現有較好的認知．（3）比較遺憾的是，尚有部分教師自身都沒有對某些問題作出正確判斷．以七年級為例，有22.2%的教師認為學生在Q1中最容易誤選的選項是“（A）‘1個黑球和1個白球’的可能性大”，另有22.2%的教師認為學生在Q5中最容易誤選的選項是“（B）‘2個白球’的可能性大”，而這兩題的正確答案恰恰分別是（A）和（B），可見部分教師自身對概率知識也沒有較好的掌握．當然，這或許與他們作答時的粗心有關．

4 討論與建議

4.1 主要結論

各年級教師對學生在各個題目（除Q5外）中得分率的預測均與學生的實際得分率相去甚遠，他們對其所教年級學生概率認知的水平估計過高．

從對各題目預測得分率的排序來看，鮮有教師給出的預測得分率排序與學生的實際作答完全一致；僅有部分教師對某些問題得分率的相對排序符合學生實際，但大都將Q5的得分率排在最低；甚至有的教師直接按照題序對各題的預測得分率進行排序．

從對各題目最易誤選的選項預測來看，教師對學生在不同問題中可能出現的困難有不同的預測，而這些不同的預測與教師對題目本身特點的認識有關；尚有部分教師自身都沒有對某些問題作出正確判斷．

4.2 教師預測偏差的原因分析

教師對學生作答情況的預測與學生的實際作答有較大偏差，這主要有如下兩個方面的原因：第一，教師對概率任務的分析不到位．如前所述，5個概率任務的難度并非是依次遞增的，且給學生作答造成困難的原因也是多方面的．例如，Q1對學生而言是一個相對容易出錯的任務，然而教師常常難于意識到該題給學生造成的困擾所在．事實上，盡管Q1涉及的“球的個數”“球的顏色種類”均是相對較少的，這使得問題情境看上去不那么復雜，但即便九年級學生的得分率也尚未達到50%．通過分析學生端數據發現，七~九年級學生分別有50.7%、56.8%及39.3%的被試在該題上選擇了“（C）一樣大”，分別有21.7%、10.8%及11.5%的被試選擇了“（B）‘2個白球’的可能性大”．這說明，學生對該問題的理解及作答遇到了困難，其中最大的誤區是認為“兩種情況的概率相等”，即便是九年級學生也有近40%的被試持有這類錯誤認識．第二，教師對學生的概率思維缺乏認識．例如，多數教師傾向于認為Q5是一個難度較大的任務，而學生在該題上的得分率恰恰是最高的．Q5不僅涉及到兩個盒子，而且球的總個數也是最多的，而學生在該題中的得分率反而最高，這似乎也有其合理性：首先，由于是“分別”從兩個盒子里“各”摸出一個球，這在很大程度上提示了學生采取“分步”的方法進而對球進行兩兩組合[20]；其次，該題中白球的個數為3個而黑球僅1個，這直觀上也提示了學生摸出“2個白球”似乎更容易．可見，教師的預測大多沒有從題目本身出發，也沒有深及學生的立場去考察，而僅僅停留在問題情境的表面．

表3 教師對學生最易錯選的選項預測與學生實際作答中最易錯選的選項對比

4.3 對教師的建議

鑒于教師對學生作答預測的上述偏差，提出以下兩點建議：第一，深入分析影響概率問題難度的潛在因素．例如，學生端數據證實，學生在Q1上的得分率通常遠遠低于預期，甚至在八、九年級的學生中該題的得分率處于5個題目的最低水平．這似乎與研究者的直觀判斷差距較大：畢竟它涉及的球個數最少，顏色種類也僅為兩種．那么，學生為何在該題上的得分率如此之低呢？從問題本身的角度而言，該題涉及的白球為2個而黑球僅為1個，這在直覺上更容易誘導學生認為摸出“2個白球”的可能性大．再例如，為何學生在Q5上的得分率高于其它4個題目呢？這或許是由于其涉及的白球總數明顯多于黑球，加之“從兩個盒子里各摸出1個球”對學生的組合運算有較強的提示且降低了學生列舉所有可能結果的難度．第二，站在學生的立場，了解學生概率思維的特征．概率問題具有較強的直覺性，而學生的概率思維也常常帶有濃重的直覺色彩[14]．在正式接觸概率的計算法則（列舉法求概率）之前，學生或許發展了一定的樸素策略，但這些策略通常源于生活經驗或個人直覺[20]．例如，學生在Q2和Q4中選擇“（C）一樣大”的百分比通常最高，七年級學生選擇該選項的百分比甚至達到了60%以上．究其原因：一方面，這兩題涉及的兩種顏色球均是2個，并且在直觀上是“高度對稱”的，這誘導了學生的“等可能性偏見”；另一方面，學生在列舉所有可能結果時，常常將“黑1白1、黑1白2、黑2白1、黑2白2”（Q2）或“黑1白2、黑2白1”（Q4）籠統地合并為一種情況（即“1個黑球和1個白球”），進而認為試驗所有可能的結果為{2個黑球，2個白球，1個黑球和1個白球}并據此斷定3者的概率相等．可見，除了自身概率知識過硬以外，教師還應能關注學生是如何認知概率的．

5 不足與展望

該研究的局限在于，中小學的數學課程同時涉及了古典概率和頻率概率，并且常見的概率模型有摸球、擲硬幣、擲骰子等，該研究僅以系列摸球問題為測試材料，尚不能較全面地反映學生的概率認知．盡管如此，該研究在設計上與前研究保持連續性，較好地考察了教師端和學生端數據的一致性問題，比較直觀地呈現了教師的概率KCS現狀，也為開展數學教師KCS研究和數學教師專業發展研究等提供了一個參考視角．此外，前研究已經表明：學生在5個問題上的作答表現不佳，出現了“地板效應”．如果采用師生更熟悉的測試問題，或許教師對學生的作答預測也會更好．但需要指出的是，這與該研究的考察目標則有些許不同：該研究之所以沿用學生沒正式學過，教師沒正式教過的內容作為測查材料，其目的是考察教師“是如何認識學生對概率內容的認知”的．更具體地說，其目的是考察“教師對學生概率認知的潛能與局限有怎樣的認識”，而并非考察“教師教完某內容后對學生學習程度的把握”．后續研究一方面將拓展測試材料的考察范圍，一方面將擴大數據規模并進行推斷性統計分析，以期就該領域作更深入和全面的考察．

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The Consistency between Mathematics Teacher’ KCS and Students’ Cognition——Take Probability Knowledge as a Case

HE Sheng-qing

(Mathematics & Science College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

This study selected 28 teachers (teacher’s data) in grade seven and grade nine from Beijing and 204 7thto 9thstudents (student’s data) from one middle school in Beijing as the subjects and focused on teachers’ knowledge on students’ probability cognition through analyzing the consistency between the two set of data. The resulted shown that, teachers’ prediction of students’ performance was far away from students’ performance, but they overestimated students’ understanding of probability. Seldom teacher’s prediction of the relative sequence of difficulty of every items were consistent with that of students’. Teachers’ predictions of the possible difficulties of different items were different and these predictions were related to their understanding of the tasks. Suggestions to teachers were: Analyzing the potential factors impacted the difficulty of the items; Studying the characteristics of students’ probability thinking from their perspective.

7thto 9thgrades; mathematics teachers; KCS; probability cognition

2018–08–04

全國教育科學“十三五”規劃2018年度國家一般課題——中學生合作問題解決中認知互動與社會互動及其關系的實證研究（BHA180157）

何聲清（1988—），男，安徽安慶人，講師，博士，主要從事數學教育研究．

G635

A

1004–9894（2019）01–0025–05

何聲清．數學教師KCS與學生認知的一致性研究——以“概率”內容為例[J]．數學教育學報，2019，28（1）：25-29．

[責任編校：周學智、陳雋]