高速列車空心軸表面裂紋前緣應力強度因子解析模型

周素霞，盧術娟，趙興晗，王宇桐，郭子豪

(1.北京建筑大學機電與車輛工程學院，北京 100044； 2.北京建筑大學城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點實驗室，北京 100044)

隨著高速列車的快速發展，列車運行速度大幅提高，增加了車軸遭受異物高速沖擊的概率，沖擊位置是否會萌生裂紋成為備受關注的問題。當前關于車軸表面裂紋應力強度因子的研究多數是對實心軸展開的，然而目前高速列車上，空心軸的使用越來越廣泛，采用空心軸是實現列車輕量化的重要舉措，可以大幅度地提高列車運行安全，所以空心軸裂紋擴展的問題成為研究的重點之一，其表面裂紋應力強度因子的解析具有重要意義。

國內外學者對車軸疲勞問題進行了大量研究。文獻[1]提出一個基于Lemaitre和Chaboche開發的非線性連續損傷力學模型。考慮不同載荷水平下的材料損傷演變，通過與實驗對比，表明其結果在復雜載荷序列下預測疲勞壽命時與實驗結果具有良好的一致性。文獻[2]對裂紋擴展問題進行了研究，其研究方法基于歐洲缺陷評估程序SINTAP，應用NASGRO軟件。文獻[3]研究車軸輪座處的應力與壽命關系，通過車軸疲勞試驗以及統計相關的車軸裂紋檢查資料，最終結果表明其萌生壽命分布近似于正太分布。文獻[4-5]基于疲勞損傷理論，研究了車軸的額定壽命，并提供了一種用于車輛壽命設計的計算方法。文獻[6]運用斷裂力學的思想及理論對車軸的缺陷演變及其服役性能進行研究評估，考慮裂紋深度的問題，得到不同狀態下的應力強度因子曲線，結果表明車軸在一圈的旋轉過程中其裂紋的應力比在逐漸減小。

高速列車運行中其車軸可能受到硬物的高速沖擊造成缺口，由于缺口所造成的應力集中會在車軸表面萌生疲勞裂紋，如果沒有及時發現而繼續使用，車軸會受到擾動載荷的作用，表面裂紋不斷擴展，直至發生斷裂，危及列車運行安全。因此，為了解決含裂紋的空心軸是否能夠繼續使用的問題，有必要對其擴展壽命進行預估。應力強度因子可以用來判斷裂紋是否會發生

及其擴展規律，在進行車軸斷裂分析時，其可以作為重要指標。關于其求解方法的研究也一直是研究的重點。光彈法、線彈性方法、有限元法、工程估算法、虛擬裂紋擴展方法、邊界元法等[7-8]可以用來求解應力強度因子，在過去的研究中已經得到了很多典型解。由于空心軸的應用比實心軸的應用時間更晚，關于其性能的研究比較少，并且由于空心軸與實心軸相比結構有所不同，裂紋情況也更加復雜，不能直接使用實心圓柱體的解。所以對空心軸進行裂紋研究，確定其應力強度因子的解既是重點問題也是難點問題。本文采用一種新的解析方法研究空心軸的解，該方法基于實心圓柱體的解，通過修正系數進行修正。

1 應力強度因子求解

圖1為三維裂紋模型。圖1中，x為裂紋表面的正前方；y為裂紋表面的法線方向；z為裂紋表面上點的切線方向。

圖1 三維裂紋模型

選取一個位置在極坐標(r，θ)靠近裂尖的單元，根據線彈性力學理論，其應力場可以表示為

( 1 )

該單元位移場可以表示為

( 2 )

式中：r，θ與u，v，w分別為該單元在圖1中所示的局部坐標系與直角坐標系上不同方向的分量；u，v，w分別為x，y，z上的位移分量；k是與材料和泊松比有關的常數，對于平面應變問題k=3-4μ，σz=μ(σx+σy)，對于平面應力問題k=(3-μ)/(1+μ)，σz=0；G為剪切彈性模量；KⅠ為Ⅰ型應力強度因子；KⅡ為Ⅱ型應力強度因子；KⅢ為Ⅲ型應力強度因子。

由式( 1 )及裂紋上的點垂直于平面的位移，可以整理出其裂紋應力強度因子公式為

( 3 )

Ⅰ型是在車軸受到彎曲載荷作用時裂紋擴展的主要方式，所以在本文中主要研究的是Ⅰ型表面裂紋。由于平面應力狀態只有一個很小的區域存在，而這個區域緊靠在自由表面上，所研究的范圍大部分為平面應變狀態，因此，KⅠ與裂紋面的位移在平面應變狀態有如下關系

( 4 )

根據以上結果可以得出，裂尖的應力(r=0時)趨于無限大，應力奇異點會在裂尖出現；裂尖的應力強度因子是有限的。所以裂尖附近的位移場和應力場奇異性強度的表征可以使用應力強度因子，應力強度因子的值由兩種因素決定，一種是加載在裂紋體上的載荷，另一種是其幾何形狀。對應的應力分量可以用應力強度因子來表示并能夠對裂紋擴展情況進行判斷。

2 空心軸表面裂紋模型

2.1 圓柱體半橢圓表面裂紋應力強度因子解析模型

對于應力強度因子的求解有很多種方法，但這些方法并不能表達空心軸表面各要素之間的關系，因此本文采用解析法進行計算，得到解決問題的表達式。已有的圓柱形表面裂紋解析表達式[9-11]有以下幾種。

關于直裂紋前緣的研究，Daoud and Cartwright提出了在彎曲載荷作用下K的表達式(無量綱)為

16.86(a/D)2-32.59(a/D)3+28.41(a/D)4

( 5 )

James and Mills提出了軸向載荷作用下K的表達式(無量綱)為

26.42(a/D)2-78.48(a/D)3+87.9(a/D)4

( 6 )

關于圓形裂紋，Forman等提出在拉彎載荷作用下K的表達式為

[0.923+0.199(1-sin(πa/2D))4]

( 7 )

[0.752+2.02(a/D)+0.37(1-sin(πa/2D))3]

( 8 )

( 9 )

Ⅰ型擴展是車軸在彎矩下其表面裂紋的主要擴展形式。此時θ=0，通過近似分析可以求其應力強度因子[12]。即在此處，假設名義應力在彎曲載荷與拉伸載荷作用下是相同的[7-8]，則有

(10)

當截面無裂紋時σ0=32M/(πd3)，σ0=6M/(td2)。

因此可得

(11)

0.949(a/b)3-0.28(a/b)4]×[1+

0.157(2a/d)-0.634(2a/d)2+

4.59(2a/d)3-6.628(2a/d)4]

(12)

1.628(a/d)3-7.035(a/d)4+13.27(a/d)5

(13)

21.72(a/d)3+30.39(a/d)4

(14)

式中：a為裂紋深度；b為半橢圓裂紋長半軸；d為圓柱直徑或長條板的寬度。所以圓柱體表面裂紋最深點處的K值可以根據情況，將裂紋的實際形狀比、裂紋尺寸的實際深度比以及實際情況下的名義應力代入以上相關的公式中進行求解。

2.2 空心軸半橢圓表面裂紋應力強度因子的解析模型

空心軸在結構上與圓柱體有較大差異，其應力強度因子解析式與上文中討論的圓柱體的解析式有所不同。由于在空心軸中存在內表面，與實心圓柱體相比，會增加一個自由表面，所以在裂紋擴展到一定深度后其尖端的彈性約束會減少，裂紋更容易發生擴展，K值變大，所以實心圓柱體解析模型并不完全適用于空心軸。空心軸表面裂紋的K值，需通過對圓柱體的公式進行修正得出。可以將其乘以一個修正系數來實現。中心穿透裂紋彈性解的厚度校正系數[16]為

(15)

式中：t為軸的壁厚；a為裂紋深度。裂紋深度與壁厚的比值不同時，校正系數是不同的，即

這是因為在裂紋深度不同時，其受到車軸內孔的影響也不同。在裂紋的截面處有

式中：d，d0分別為車軸的內外直徑；M為彎矩。由此可以得出在θ=0°時，空心軸表面裂紋最深點處K的解析模型為

(16)

3 空心軸半橢圓表面裂紋應力強度因子解析模型驗證

目前，不同學者使用多種方法研究了管道表面的周向裂紋[17-19]，其中CARPINTERI[20]對管道外表面裂紋進行有限元分析以確定應力強度因子在裂紋前緣的分布，并考慮了不同管道厚度下應力強度因子的變化情況，但CARPINTERI只對t=d/2即壁厚與內孔半徑相等這一種情況進行了有限元研究。為了驗證本文的解析模型，同樣僅對t=d/2情況下的模型進行對比。

將不同的a/t和a/b值代入式(16)，計算其對應的K值(無量綱)，所計算的范圍是：裂紋形狀比a/b=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0時，a/t分別為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。將計算出的解析解(無量綱)與有限元結果進行對比，如圖2所示。

(a)a/b=0

(b)a/b=0.2

(c)a/b=0.4

(d)a/b=0.6

(e)a/b=0.8

(f)a/b=1

圖2 解析法與有限元法應力強度因子結果對比

通過圖2可以看出，在不同的情況下，解析計算得到的K值與有限元方法得到的值具有良好的一致性。尤其對于橢圓形裂紋，兩種方法的計算結果幾乎相同。對于圓形裂紋，當裂紋深度達到壁厚的一半時，解析方法和有限元方法的計算結果有些偏差。但是在實際中，表面裂紋不會完全是圓形，而是橢圓形，圓形裂紋只是作為特例在這里進行了計算。對于空心軸表面橢圓形裂紋來說，該解析式有比較高的精確度。

4 結論

本文從線彈性力學的角度出發，分析了裂紋尖端的應變場，分析了應力在空心軸表面裂紋前緣的變化情況，闡述了應力強度因子的求解方法。在解析過程中參考了實心圓柱體的表面裂紋K的解析式。空心軸和實心軸相比，由于內表面的存在，多一個自由表面，所以裂紋的擴展規律與實心軸也有所不同。在空心軸上，裂紋擴展到一定深度時，裂紋尖端與內表面的距離減小，所受到的彈性約束隨之減少，所以裂紋擴展的進一步發生就變得更容易，因此其K值要大于實心圓柱體的K值。通過以上分析，對公式進行修正，得到空心軸上K的解析模型。

通過修正系數的方法對實心圓柱體解析式進行修正。由于在裂紋比較淺的時候，空心軸內孔的影響比較小，所以對不同深度的裂紋采取不同的修正系數。

將本文結果與CARPINTERI利用有限元法得到的應力強度因子進行比較，結果非常相近，尤其對于橢圓形裂紋，兩種方法的計算結果幾乎相同。對于圓形裂紋，當裂紋深度達到壁厚的一半時，解析方法和有限元方法的計算結果有些偏差。但是在實際中，表面裂紋不會完全是圓形，而是橢圓形，圓形裂紋只是作為特例在這里進行了計算。對于空心軸表面橢圓形裂紋來說，該解析式有比較高的精確度從而驗證了解析模型的正確性，為進一步研究空心軸裂紋擴展提供了參考。