顧及有色噪聲的卡爾曼濾波在多路徑誤差削弱中的應(yīng)用

李川,魏世玉,劉星,劉戀,胡祝敏

(1.重慶市地質(zhì)災(zāi)害自動(dòng)化監(jiān)測(cè)工程技術(shù)研究中心, 重慶 401120;2.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400044)

0 引 言

衛(wèi)星信號(hào)在發(fā)射和傳播過(guò)程中受環(huán)境等因素影響產(chǎn)生的反射信號(hào)將使直射信號(hào)能量發(fā)生衰減且相位產(chǎn)生延遲,這種現(xiàn)象稱(chēng)為多路徑效應(yīng),由此產(chǎn)生的定位誤差為多路徑誤差[1]．多路徑效應(yīng)為一時(shí)空環(huán)境效應(yīng),其誤差大小與衛(wèi)星高度角、天線周?chē)h(huán)境、反射面至接收機(jī)距離及天線性能等相關(guān),難以構(gòu)建準(zhǔn)確誤差模型對(duì)其進(jìn)行改正．此外,多路徑在基線兩端不具有空間相關(guān)性,通過(guò)現(xiàn)有差分技術(shù)也很難對(duì)其進(jìn)行削弱．分析表明:多路徑效應(yīng)對(duì)C/A碼測(cè)量影響可達(dá)150 m,P碼達(dá)10 m,對(duì)L1、L2載波造成的測(cè)距偏差最大分別為4.8 cm和6.1 cm[2]．可見(jiàn),多路徑誤差是GNSS高精度定位中主要誤差之一[3]．

國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要從4個(gè)方面研究多路徑誤差削弱方法:1) 選擇良好的觀測(cè)環(huán)境,如遠(yuǎn)離電磁干擾、大面積水面、高大墻體及山坡等[4]．該方法簡(jiǎn)單有效,但實(shí)際觀測(cè)中,某些觀測(cè)點(diǎn)不可避免地位于觀測(cè)環(huán)境較差的地方,故該方法存在一定局限性;2) 改善接收機(jī)天線硬件,如設(shè)置抑徑板或抑徑圈、天線極化法、天線增益法[1]等．該方法能在一定程度上削弱多路徑誤差,但改進(jìn)的接收機(jī)往往體積大、造價(jià)高、不便于野外作業(yè);3) 改進(jìn)接收機(jī)信號(hào)處理,如窄相關(guān)技術(shù)[5]、多路徑估計(jì)技術(shù)(MET)[6]、多路徑消減延遲鎖相環(huán)技術(shù)(MEDLL)[7]、CADLL技術(shù)[8]等,上述方法可有效削弱長(zhǎng)延遲多路徑誤差,對(duì)于短延遲多路徑誤差,效果不顯著;4) 觀測(cè)數(shù)據(jù)后處理,如天線陣列法、反射信號(hào)計(jì)算法、信噪比法、多路徑重復(fù)性方法[9]等,該方法可同時(shí)削弱長(zhǎng)延遲和短延遲多路徑誤差,且數(shù)據(jù)處理方法靈活多樣,但計(jì)算相對(duì)復(fù)雜、實(shí)時(shí)性較差．

經(jīng)大量學(xué)者的研究,多路徑誤差削弱方法已取得長(zhǎng)足進(jìn)展,但在精密工程變形監(jiān)測(cè)、海洋測(cè)繪、精密動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位[10]等應(yīng)用領(lǐng)域中, 多路徑誤差削弱一直是未能很好解決的問(wèn)題．本文從觀測(cè)數(shù)據(jù)后處理入手,以監(jiān)測(cè)站坐標(biāo)時(shí)間序列中多路徑誤差為研究對(duì)象,建立多路徑誤差狀態(tài)空間模型,采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波和顧及有色噪聲的卡爾曼濾波方法,從監(jiān)測(cè)站第一天雙差固定解的坐標(biāo)殘差序列中估計(jì)多路徑誤差序列,并根據(jù)多路徑誤差周日重復(fù)特性,利用第一天得到的改正模型對(duì)之后各天坐標(biāo)序列進(jìn)行改正,對(duì)比分析兩種估計(jì)方法的優(yōu)越性．

1 卡爾曼濾波

1.1 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波

為解決線性高斯系統(tǒng)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題,卡爾曼等[11]于1960年提出一種遞推式濾波算法,即卡爾曼濾波(KF),其遞推公式如下[12-15]:

1)狀態(tài)向量一步預(yù)報(bào)值及其方差矩陣:

(1)

(2)

2)狀態(tài)向量濾波值及其方差矩陣:

(3)

(4)

式中:Xk、Xk-1為狀態(tài)向量;Φk/(k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Ωk-1為動(dòng)態(tài)噪聲;Γk-1為噪聲耦合矩陣;Lk為觀測(cè)向量;Bk為觀測(cè)矩陣;D(Δk為觀測(cè)噪聲;Jk為濾波增益矩陣;具體形式為

(5)

3)濾波初始狀態(tài)條件

(6)

KF假設(shè)系統(tǒng)在每一時(shí)刻的后驗(yàn)概率密度均是高斯型的,它用均值和方差對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行描述．對(duì)于線性的、正態(tài)分布的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題,KF能夠很好地解決．當(dāng)過(guò)程噪聲或觀測(cè)噪聲為有色噪聲,濾波可能會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象．

1.2 顧及有色噪聲的卡爾曼濾波模型

GNSS數(shù)據(jù)處理中,相鄰歷元間隔較短,多路徑誤差在歷元間具有一定的相關(guān)性,致使系統(tǒng)過(guò)程噪聲可能為有色噪聲．如果把有色噪聲當(dāng)作白噪聲處理,勢(shì)必造成濾波估計(jì)精度下降,甚至濾波結(jié)果發(fā)散．因此,探索顧及有色噪聲的卡爾曼濾波方法對(duì)提高多路徑誤差估計(jì)精度具有重要意義．

Γk/(k-1)Ωk.

(7)

(8)

(9)

于是有:

(10)

(11)

因?yàn)橛?

(12)

則:

-(I+Jk-1Bk-1Γk-1)D(Ωk-1,k-2).

(13)

2 基于卡爾曼濾波的多路徑誤差估計(jì)

2.1 多路徑誤差狀態(tài)空間模型建立

(14)

式中:Δt為相鄰歷元時(shí)間間隔;Ωk為系統(tǒng)在tk時(shí)刻的動(dòng)態(tài)噪聲．

記tk+1時(shí)刻有觀測(cè)向量Lk+1=mk+1,則系統(tǒng)在tk+1時(shí)刻的觀測(cè)方程可表示為

(15)

式中,Δk+1為系統(tǒng)在tk+1時(shí)刻的觀測(cè)噪聲．

2.2 濾波初始值的確定

(16)

(17)

同時(shí)得擬合殘差中誤差:

(18)

擬合系數(shù)協(xié)方差矩陣:

(19)

取第N點(diǎn)處狀態(tài)為初始狀態(tài),從N+1點(diǎn)處開(kāi)始進(jìn)行濾波遞推,即:

(20)

(21)

式中,

載波相位測(cè)量中,相位測(cè)量精度一般為波長(zhǎng)的百分之一,即σ=λ/100．由于雙差觀測(cè)值為4個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值線性組合,雙差解算結(jié)果的觀測(cè)噪聲方差陣為

D(Δk)=4σ2.

(22)

若將多路徑誤差在相鄰歷元間加速率的變化看作隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),有系統(tǒng)過(guò)程噪聲[10]:

D(Ωk)=36Δt-6·D(Δk)

(23)

式(14)和式(15)構(gòu)成了多路徑誤差估計(jì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程．式(20)和式(21)構(gòu)成了濾波初始值及協(xié)方差,式(22)和式(23)為系統(tǒng)觀測(cè)噪聲和過(guò)程噪聲．

2.3 多路徑誤差估計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

采用雙差固定解算模型,逐歷元解算出監(jiān)測(cè)站各天的坐標(biāo)序列并計(jì)算殘差序列后,提取首日多路徑誤差模型后,將之后各天的坐標(biāo)序列向前平移,利用相關(guān)系數(shù)最大法確定最佳平移時(shí)間,最后將第一天得到的多路徑誤差改正模型對(duì)平移后的坐標(biāo)序列進(jìn)行改正,以此削弱具有周日重復(fù)性的多路徑誤差．其詳細(xì)步驟如下:

1)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備．利用GNSS接收機(jī)獲取基準(zhǔn)站和監(jiān)測(cè)站連續(xù)多天同步觀測(cè)數(shù)據(jù)．

2)數(shù)據(jù)解算．將觀測(cè)數(shù)據(jù)導(dǎo)入到GNSS數(shù)據(jù)處理軟件,采用雙差固定解算模型,逐歷元解算出監(jiān)測(cè)站各天坐標(biāo)序列．

3)計(jì)算殘差序列．將監(jiān)測(cè)站的已知坐標(biāo)與解算出的坐標(biāo)序列求差,得到監(jiān)測(cè)站各天的坐標(biāo)殘差序列．

4)多路徑誤差估計(jì)．利用上述濾波估計(jì)模型,從第一天的殘差序列中剝離出觀測(cè)噪聲的影響,得到多路徑誤差改正序列．

5)多路徑誤差改正．利用第4)步得到的多路徑誤差改正模型對(duì)之后各天坐標(biāo)序列進(jìn)行修正,以此削弱多路徑誤差．

3 實(shí)驗(yàn)分析

在距離約300 m的兩樓頂分別架設(shè)GNSS接收機(jī)進(jìn)行相對(duì)定位觀測(cè)．選擇視野開(kāi)闊,觀測(cè)條件良好處為基準(zhǔn)站,如圖1所示．選擇周邊多路徑效應(yīng)顯著(北側(cè)50 m處為高大建筑)處為監(jiān)測(cè)站．同時(shí),為更加凸顯多路徑效應(yīng)的影響,人為地在監(jiān)測(cè)站東側(cè)1.5 m處設(shè)置一多路徑反射面,監(jiān)測(cè)站及周邊環(huán)境如圖2所示．

圖1 基準(zhǔn)站及周邊環(huán)境

圖2 監(jiān)測(cè)站及周邊環(huán)境

設(shè)置高度截止角10°,釆樣間隔5 s．自2017年3月1日(doy60)開(kāi)始連續(xù)觀測(cè)至3月3日(doy62),選擇雙差固定解模式,逐歷元解算出監(jiān)測(cè)站各天N、E方向的坐標(biāo),同時(shí)得坐標(biāo)殘差序列,圖3示出了監(jiān)測(cè)站連續(xù)3天N方向坐標(biāo)殘差序列．由于基線長(zhǎng)度非常短,差分解算后,坐標(biāo)殘差序列中主要包括不具有空間相關(guān)性的多路徑誤差和高頻隨機(jī)噪聲．

為驗(yàn)證兩種方法在多路徑誤差估計(jì)中的準(zhǔn)確性和可靠性,分別利用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波和顧及有色噪聲的卡爾曼濾波,對(duì)監(jiān)測(cè)站第一天(doy60)N方向的坐標(biāo)殘差序列進(jìn)行濾波處理,得到兩種多路徑誤差改正模型．圖4和圖5分別示出了兩種模型的狀態(tài)估計(jì)(包括多路徑誤差大小、變化速率及加速率)．

圖3 監(jiān)測(cè)站N方向各天殘差序列

由圖4及圖5可知,多路徑誤差對(duì)N方向定位結(jié)果影響在2 cm以下,且具有一定的周期性和頻率特征．另外,多路徑誤差在歷元間存在一定變化速率和加速率(加速率較小),由此驗(yàn)證了多路徑誤差在歷元間的時(shí)變特征．

最后,為分析兩種模型估計(jì)出的多路徑誤差序列對(duì)原始坐標(biāo)序列的改正效果,根據(jù)多路徑誤差的周日重復(fù)特性(相鄰兩天提前約236 s重復(fù)出現(xiàn)),對(duì)第二天和第三天坐標(biāo)殘差序列向前整體平移(平移時(shí)間為150～350 s),平移步長(zhǎng)為1 s．每完成一次平移,將平移后的殘差序列與前一天相對(duì)應(yīng)的殘差序列求互相關(guān)系數(shù),以互相關(guān)系數(shù)最大所對(duì)應(yīng)的平移時(shí)間來(lái)確定多路徑重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間．表1示出了最大相關(guān)系數(shù)與對(duì)應(yīng)平移時(shí)間的統(tǒng)計(jì)情況．

表1 最大相關(guān)系數(shù)與平移時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

表2 坐標(biāo)序列改正前后均方根誤差統(tǒng)計(jì)cm

利用表2給出的最佳平移時(shí)間,對(duì)監(jiān)測(cè)站第二天(doy61)和第三天(doy62)N方向的坐標(biāo)序列進(jìn)行平移,利用上述兩種多路徑誤差改正模型對(duì)兩天的坐標(biāo)序列進(jìn)行改正．圖7和圖8分別示出了兩種多路徑誤差改正模型改正前后監(jiān)測(cè)站N方向坐標(biāo)序列．

圖7 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波模型改正效果

圖8 有色噪聲卡爾曼濾波模型改正效果

由圖7和圖8可知,坐標(biāo)序列在經(jīng)多路徑誤差改正模型改正過(guò)后,具有時(shí)變特征的多路徑誤差得到大幅度削弱,改正后坐標(biāo)序列中主要為觀測(cè)噪聲的影響．為分析兩種多路徑誤差改正模型對(duì)之后各天坐標(biāo)序列的改正效果,表2統(tǒng)計(jì)兩種多路徑誤差改正模型改正前后坐標(biāo)序列均方根誤差．

由表2可知,經(jīng)多路徑誤差改正模型改正后,坐標(biāo)序列均方根誤差得到大幅度削弱,且利用顧及有色噪聲的卡爾曼濾波提取出的改正模型較標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波效果更優(yōu),另外,兩種模型在第二天(doy61)改正后的均方根誤差均小于第三天(doy62),由此說(shuō)明多路徑誤差的周日重復(fù)特性會(huì)隨著相鄰天數(shù)的增加而減小．

多路徑誤差在歷元間具有相關(guān)性,致使系統(tǒng)過(guò)程噪聲在歷元間也具有相關(guān)性．標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波假設(shè)過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲為不相關(guān)的高斯白噪聲,因此利用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾對(duì)多路徑誤差進(jìn)行估計(jì)時(shí),很難保證其估計(jì)精度．實(shí)驗(yàn)表明,過(guò)程噪聲為有色噪聲時(shí),基于有色噪聲卡爾曼濾波估計(jì)方法優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波估計(jì)方法．同時(shí)結(jié)合多路徑誤差的周日重復(fù)特性,利用第一天多路徑誤差估計(jì)模型對(duì)之后各天坐標(biāo)序列進(jìn)行改正,坐標(biāo)序列均方根誤差得到大幅度削弱,且利用顧及有色噪聲的卡爾曼濾波提取出的改正模型較標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波效果更優(yōu)．

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以坐標(biāo)殘差序列中多路徑誤差為研究對(duì)象,從觀測(cè)數(shù)據(jù)后處理入手,采用卡爾曼濾波和顧及有色噪聲的卡爾曼濾波方法對(duì)多路徑誤差進(jìn)行研究,探討多路徑誤差削弱方法．得出如下結(jié)論:

1)建立了多路徑誤差狀態(tài)空間模型．根據(jù)多路徑誤差在歷元間的時(shí)變特性,以多路徑誤差大小、變化速率、加速率作為狀態(tài)變量,建立多路徑誤差狀態(tài)空間模型,利用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波及顧及有色噪聲的卡爾曼濾波從雙差固定解的坐標(biāo)殘差序列中估計(jì)出多路徑誤差．

2)顧及有色噪聲的卡爾曼濾波誤差估計(jì)方法效果要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波．其主要原因是多路徑誤差在歷元間具有相關(guān)性,致使過(guò)程噪聲在歷元間也具有相關(guān)性．標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波假設(shè)過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲為不相關(guān)的高斯白噪聲,因此利用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波對(duì)多路徑誤差進(jìn)行估計(jì)時(shí),很難保證其估計(jì)精度．

3)多路徑誤差改正方法．本文以GPS載波相位測(cè)量中的多路徑誤差為研究對(duì)象,利用上述多路徑誤差估計(jì)方法從監(jiān)測(cè)站第一天的坐標(biāo)殘差序列中估計(jì)出多路徑誤差,并根據(jù)多路徑誤差的周日重復(fù)特性,對(duì)之后各天的坐標(biāo)序列進(jìn)行改正,以此削弱多路徑誤差的影響． 但多路徑誤差的周日重復(fù)特性是建立在監(jiān)測(cè)站周邊環(huán)境不變或者變化很小的基礎(chǔ)上,因此本文的研究方法僅適用于測(cè)站周邊環(huán)境保持不變或者變化很小的情況,如水庫(kù)大壩、滑坡及高大建筑物等的變形監(jiān)測(cè)．