鋼軌模態階數對高速鐵路輪軌高頻動力響應的影響研究

韋 凱 王 平 牛澎波

(西南交通大學， 成都 610031)

我國高速鐵路建設經過多年的創新發展，成功建立了時速250 km與350 km兩個高速鐵路建造體系[1]。隨著行車速度的提高，再加上軌道不平順和軌道結構的變形[2]，輪軌高頻振動也逐漸加劇。

為了分析輪軌系統的高頻振動特性，國內外學者從軌道結構的多個方面做了大量的相關研究。徐志勝[3]等人通過對高速鐵路車輛-軌道耦合振動仿真分析，對比了Timoshenko梁與Euler梁模型對輪軌高頻振動仿真結果的影響。高建敏、翟婉明[4]等人分析了軌道幾何不平順波長變化對高速車輛系統動力響應影響。劉子煊[5]將描述扣件膠墊幅變相關的Berg摩擦模型和頻變相關的分數階Zener模型應用到車輛-軌道耦合系統動力學模型中，對比分析了膠墊的幅頻變特性對輪軌系統動態響應的影響，但是其動力仿真計算模擬的鋼軌模態階數未能準確地反映扣件膠墊幅頻變特性在中高頻的動力特性，導致輪軌系統的動力響應結果偏大。

隨著高速鐵路行車速度的提高，為更準確地分析輪軌高頻動力響應，本文選用能夠更準確描述扣件膠墊高頻動力特性的幅頻變模型模擬其動態力學特性，對比計算了高頻隨機振動激勵下鋼軌模態階數對動力仿真計算結果的影響，為準確的分析在車輛-軌道耦合系統高頻隨機動力學中輪軌系統的動態響應提供參考依據。

圖1 扣件膠墊幅頻變動力性能的力學本構模型圖

1 扣件膠墊幅頻變特性的本構模型

扣件系統中的扣件膠墊屬于粘彈性材料(橡膠材料)，主要表現為與溫度、激振頻率以及激勵振幅的非線性特性[6]。高速鐵路輪軌系統振動為寬頻振動，扣件膠墊變形最大應變可達到30%～40%，這樣的變形已經超出了橡膠材料的線性應變范圍，采用線性模型不能準確表征其動力性能，需在高速鐵路扣件系統中采用更精確的模型去描述扣件膠墊的動力特性。扣件膠墊幅頻變動力性能的力學本構模型，如圖1(a)所示，模型中包括摩擦元件和粘彈性元件，總應力分為摩擦力和粘彈性力，用公式表示為：

F=Fve+Ff

(1)

式中：Fve——頻變相關的粘彈性力;

Ff——幅變相關的摩擦力。

1.1 頻變相關性力的數學描述

本文采用的分數階Zener模型能夠用4個參數有效描述扣件膠墊的頻變動力性能[7]，其模型圖如圖1(b)所示，時域本構方程為：

(2)

式中:Fve(t)——扣件膠墊的粘彈性力;

x(t)——扣件膠墊的位移;

α——分數階數;

τ——高聚物松弛時間;

K0——當激振圓頻率ω趨于0時的儲能剛度;

K∞——當激振圓微率w趨于正無窮時的儲能剛度。

通過進行傅里葉變換得模型的復剛度，表達式：

(3)

由式(3)可得到分數階Zener模型與激振頻率相關的儲能模量與損耗因子。

(4)

(5)

式中：Δt——數值積分步長；

N——積分步數；

Ai+1——Grünwald系數。

Ai+1滿足公式：

(6)

把式(4)、式(5)帶入式(3)中，經化簡得到扣件膠墊粘彈性力的表達式：

(7)

采用分數階Zener模型計算每一個積分步的扣件支反力時，需計算所有時刻扣件膠墊的動態位移，隨著積分步數的增加，會影響數據存儲空間與計算效率。針對此問題Spanos等人指出，在積分計算時，只需求出當前時間步之前160步的位移，便能得到滿意的結果[9]。基于此，本文在用式(7)積分計算時，當總積分步數小于160時，取N=N；當積分步數大于160時，取N=160。

從式(7)可以看出，分數階數值積分不僅與當前積分步的值緊密相關，且整個積分過程中每一步的計算結果緊密相關，所以能更好地描述扣件膠墊的動力學特性。

1.2 振幅相關性力的數學描述

M Sjoberg[10]等人認為表現為振幅相關性的力主要是橡膠內部大分子運動之間的摩擦造成的，表現為摩擦力。這種摩擦力僅與振幅有關，與激振頻率無關。本文對扣件膠墊中的摩擦力采用Berg摩擦模型進行表征，其表達式為：

(8)

式中：ffmax——扣件膠墊的最大摩擦力;

x2——摩擦力達到最大摩擦力一半大小時板的最大位移;

ffs——摩擦力；

xs——每次位移方向發生變化參考點的位移。

1.3 模型參數

文獻[7]測試了Vossloh300型扣件系統的動態粘彈性動力性能。根據試驗結果對幅變相關的Berg摩擦模型和頻變相關的分數階Zener模型的參數進行識別，得到較好的擬合結果。本文在其基礎上采用同樣的測試方法，在忽略扣件膠墊幅變特性的情況下，將實測力認為是粘彈性力，直接用分數階Zener模型對實測數據進行擬合，用于對比分析有無幅變摩擦特性對扣件膠墊動力特性的影響。有無幅變摩擦特性對測試結果進行參數識別結果，如表1所示。

表1 幅頻變模型參數識別結果

2 鋼軌模態階數對車輛-軌道垂向耦合系統高頻振動的影響

本文以我國高速鐵路無砟軌道為例，建立車輛-軌道垂向耦合動力學模型，如圖2所示。其中車輛選用我國CRH380型高速客車，軌道選用長枕埋入式無砟軌道型式。以本文選用的分數階Zener模型和Berg摩擦力模型計算扣件膠墊垂向支反力，計算分析了車輛-軌道垂向耦合系統高頻隨機振動仿真分析中鋼軌模態階數對輪軌系統振動響應的影響。

圖2 車輛-軌道垂向耦合動力學模型圖

2.1 計算工況

將高速客車簡化為垂向具有10個自由度的車體模型，鋼軌采用離散點支承的有限長Euler梁模型模擬。車輛和軌道的動力參數可參考文獻[11]。在輪軌垂向耦合系統中，輪軌關系采用Hertz非線性彈性接觸理論進行計算。

本文模擬高速客車運營車速350 km/h，軌道不平順采用TB/T 3352-2014《高速鐵路無砟軌道不平順譜》進行仿真計算。該不平順譜波長范圍為2～200 m，激振頻率最高只有48.6 Hz，遠不能滿足本文研究的頻率范圍，因此，將最短波長延伸到0.1 m，使激振頻率最高達到972.2 Hz，然后再對輪軌動力響應進行計算。

圖3 不同模態階數下的輪軌力幅值

2.2 模態階數的選取

已有的文獻研究結果表明，鋼軌模態階數與軌道扣件支點數Nf存在某種匹配關系[12]。本文先數值計算了鋼軌模態階數取扣件支點數的0.4～1.5倍范圍內的輪軌力最大值變化曲線，如圖3所示。從圖中可以看出，當模態階數從0.4Nf增大到0.8Nf時，輪軌力最大值從144.9 kN減小到了95.8 kN，減小幅度為33.9%；當模態階數從0.8Nf增大到1.5Nf時，輪軌力變化幅值不大。因此，本文在動力仿真中，選取鋼軌模態階數0.5Nf、Nf、1.5Nf3種計算工況，對比分析不同鋼軌模態階數對輪軌系統仿真計算的影響。

2.3 模態階數對輪軌系統仿真計算的影響

通過試算發現，動力仿真中鋼軌模態階數對車輛系統垂向振動產生的影響很小，因此本文著重研究3種鋼軌模態階數取值對軌道結構的動力響應。

(1)輪軌力對比

本文計算了3種鋼軌模態階數取值下輪軌力時/頻域曲線，如圖4、圖5所示。從圖4中可以看出，模態階數取0.5Nf時，輪軌力時域計算值明顯偏大，鋼軌模態階數取Nf和1.5Nf計算得到的輪軌力時域結果相差不大。在頻域結果中，3種計算條件的輪軌力振幅值在1/3倍頻程中心頻率50 Hz以下的頻帶內幾乎沒有變化；而在60 Hz和800 Hz處的主頻范圍，鋼軌模態階數取0.5Nf計算的輪軌力振幅明顯大于取Nf和1.5Nf，特別是在800 Hz處的高頻范圍，輪軌力振幅隨模態階數的取值變化更大。

圖4 輪軌力時域圖

圖5 輪軌力頻域圖

(2)輪對垂向振動加速度對比

輪對垂向振動加速度時/頻域計算結果對比，如圖6、圖7所示，從圖中可以看出，鋼軌模態階數對其仿真結果的影響與輪軌力的影響相似。時域結果的加速度最大值隨鋼軌模態階數的增大而降低；在頻域中，高頻范圍的加速度振級隨鋼軌模態階數的增大而減小。

圖6 輪對垂向振動加速度時域圖

圖7 輪對垂向振動加速度頻域圖

(3)鋼軌垂向響應對比

3計算條件下的鋼軌位移時程曲線，如圖8所示，從圖中可以看出，鋼軌模態階數對鋼軌垂向位移最大值影響不大，且均未超過鋼軌垂向位移基準值1.5 mm和最大允許值2 mm。由于粘彈性材料中內摩擦力的作用，在列車車輪駛過的時刻，鋼軌位移沒能立刻恢復到0 mm。

圖8 鋼軌垂向位移時域圖

鋼軌垂向振動加速度的時域仿真結果，如圖9所示。從圖中可以看出，鋼軌模態階數分別取0.5Nf、Nf和1.5Nf時，計算得到的加速度最大值分別為480.73 m/s2、302.28 m/s2、303.89 m/s2。對比發現鋼軌模態階數取值較小時，計算的鋼軌振動加速度值偏大。鋼軌垂向振動和加速度振級頻域仿真結果，如圖10所示。從圖中可以看出，鋼軌模態階數的取值主要影響中心頻率在400 Hz的鋼軌垂向振動加速度振級。

圖9 鋼軌垂向振動加速度時域圖

圖10 鋼軌垂向振動加速度振級頻域圖

3 結論

為更準確地分析高頻激振條件下的高速鐵路無砟軌道仿真計算的輪軌動力響應，本文通過采用扣件膠墊幅頻變相關的Berg摩擦模型和分數階Zener模型代替傳統的線性模型，建立了高速鐵路無砟軌道的車輛—軌道垂向耦合模型，在此基礎上分析了鋼軌模態階數的取值對輪軌垂向系統時頻域動力響應仿真結果的影響，得出以下主要結論：

(1)在輪軌動力響應的時域仿真結果中，鋼軌模態取值較低會使輪軌力、輪對加速度和鋼軌加速度計算得到的最大值偏大，隨著鋼軌模態階數的取值增大，軌動力響應的最大值逐漸減小并趨于穩定，而鋼軌的垂向位移變化不大。

(2)鋼軌模態階數取值主要影響輪軌系統在中高頻范圍的動力仿真結果。存在高頻激振的情況下，鋼軌模態階數取值的不足，在中高頻段的主頻范圍內使輪軌的動力仿真結果被放大。

(3)由時頻域計算結果可知，為確保輪軌動力仿真得到更加準確的結果，需要根據激振頻率的大小，對鋼軌模態階數進行合理的取值，對于激振頻率較高的高速鐵路動力仿真計算，本文建議將鋼軌模態階數最低取到軌道中的扣件個數。