籠型無刷雙饋電機穩態下轉矩角的物理含義

白崟儒，王淑紅，張愛玲，劉昊青

(太原理工大學 電氣與動力工程學院，太原 030006)

相比于有刷雙饋電機，無刷雙饋電機省去了電刷和滑環，故其可靠性高、維護成本低，在風力發電等領域具有光明的應用前景[1-4]。無刷雙饋電機的轉子可采用籠型結構、磁阻式結構及混合式結構[5-9]。文獻[10]指出籠型無刷雙饋電機在穩態運行時的電磁轉矩與功率繞組電流、控制繞組電流及轉矩角(或稱功角)正弦值三者的乘積成正比，在文獻[11]中，具有相同的結論，但現有文獻均未能清楚地說明轉矩角的物理含義，也未能給出轉矩角的簡潔計算公式。無刷雙饋電機內部含有兩個極數不同的磁場，其內部磁場異常復雜，如果能清晰地闡明轉矩角的物理含義，則有助于更深入地理解無刷雙饋電機穩態工作時的內部能量轉換機理，進而為無刷雙饋電機的研究、技術改進提供一定程度的理論依據。同時，獲得轉矩角的計算公式也有助于簡化無刷雙饋電機穩態仿真過程。

本文從籠型無刷雙饋電機的內部磁場角度入手，推導無刷雙饋電機在穩態電磁轉矩的解析表達式，進而獲得轉矩角的表達式，在此基礎上分析轉矩角的物理含義，最后分析結果被有限元仿真所驗證。

1 推導

為了簡化推導過程，假設：

1) 不考慮各部件的剩磁、飽和、磁滯和渦流效應；

2) 定子繞組電流產生的氣隙磁場在空間中按正弦分布；

3) 不計定、轉子表面齒、槽的影響；

4) 忽略轉子電阻；

5) 轉子同心多環單元被簡化為單環單元，如圖1所示。

圖1 轉子導條的簡化Fig.1 Simplification of rotor winding

圖2 t=0時定、轉子參考系的位置關系Fig.2 Position relation between the stator and rotor reference frame when t=0

所研究的無刷雙饋電機的定子含有A，B，C三相功率繞組和U，V，W三相控制繞組。設定子參考系的坐標原點位于功率繞組A相軸線上，功率繞組與控制繞組軸線之間的角度差為(機械角度)α；轉子參考系的坐標原點位于第一個線圈組的中心線上(軸線)，由于在穩態狀態下，轉子以角速度ωr轉動，因此定子坐標軸與轉子坐標軸之間的相對位置在不斷變化，設0時刻的時候，定子參考系的坐標原點超前轉子參考系的角度為ε.圖2顯示了該假設條件下定、轉子參考系的位置關系。設籠型無刷雙饋電機在穩態狀態下功率繞組電流為

(1)

設籠型無刷雙饋電機在穩態狀態下亞同步狀態時控制繞組電流為

(2)

設籠型無刷雙饋電機在穩態狀態下超同步狀態時控制繞組電流為

(3)

式中：γ與β是各自電流在0時刻下的初始相位角；IspM和IscM是各自電流的幅值；ωp和ωc是各自電流的角頻率。在定子坐標系下，功率繞組電流產生的磁密為

(4)

在亞同步狀態下，定子坐標系下的控制繞組電流產生的磁密為

(5)

在超同步狀態下，定子坐標系下的控制繞組電流產生的磁密為

(6)

式中：pp是功率繞組極對數；pc是控制繞組極對數；BspM是功率繞組電流所產生的磁密的幅值；BscM是控制繞組電流所產生的磁密的幅值；θ0是在定子坐標系下的位置坐標。轉化為轉子坐標系時，定子繞組不再靜止，而是以-ωr的速度旋轉，則容易得知

θ0=θ+ωrt-ε.

(7)

式中，θ是在轉子坐標系下的位置坐標。將式(7)代入式(4)可以得到轉子坐標系下功率繞組電流產生的磁密為

bsp=BspMcos[ωt+γ-pp(θ-ε)] .

(8)

將式(7)代入式(5)和式(6)，并將亞同步和超同步的公式形式統一化，則在轉子坐標系下控制繞組電流所產生的磁密為

bsc=BscMcos[ωt+(-1)j·β+pcα+pc(θ-ε)] .

(9)

式中：當電機處于亞同步狀態時，有ω=ωp-ppωr=ωc+pcωr且j=2；當電機處于超同步狀態時有ω=ωp-ppωr=pcωr-ωc且j=1.對于第k個轉子回路，其所鉸鏈的定子磁通為

sin[ωt+(-1)j·β+pcα+pc(θ1-ε)]} .

(10)

(11)

在忽略了轉子電阻的假設條件下，每個轉子短路環中所鉸鏈的轉子電流磁通與定子電流磁通必然大小相等，方向相反。同時考慮到轉子短路環電流產生的都是矩形磁場，故在轉子坐標系下第k個轉子短路環所在位置處的轉子電流所生成的磁密為

(12)

將式(12)傅里葉分解，其中pp對極磁場分量為

(13)

由式(13)可見，轉子電流所生成的pp對極磁場分量包含兩部分，前一部分由功率繞組電流激勵產生，且與定子電流所生成的pp對極磁場完全反向，因此這一部分不產生電磁轉矩；后一部分由控制繞組電流激勵產生，且與定子電流所生成的pp對極磁場的空間夾角(以電角度計)為

γ-(-1)j·β-pcα+(pc+pp)ε+π .

因此這一部分將與定子電流所產生的pp對極磁場互相耦合產生電磁轉矩。

將式(12)傅里葉分解，其中pc對極磁場分量為

(14)

由式(14)可見，轉子電流所生成的pc對極磁場分量同樣也包含兩部分，后一部分由控制繞組電流激勵產生，且與定子電流所產生的pc對極磁場完全反向，因此這一部分不產生轉矩；前一部分由功率繞組電流激勵產生，且與定子電流所產生的pc對極磁場的空間夾角(以電角度計)為

γ-(-1)j·β-pcα+(pc+pp)ε+π .

因此這一部分將與定子電流所產生的pc對極磁場互相耦合產生電磁轉矩。由電機理論，可以進一步推導得到無刷雙饋電機的電磁功率(限于篇幅，此處省略推導過程)

(15)

式中：Lpm是定子功率繞組的激磁電感，φ=γ-(-1)j·β-pcα+(pc+pp)ε+π.由上述推導可知，轉矩角φ的計算表達式為

φ=γ-(-1)j·β-pcα+(pc+pp)ε+π .

(16)

式(16)有助于在無刷雙饋電機穩態有限元仿真中快速、方便地確定的轉矩角數值、及調整轉矩角，解決了無刷雙饋電機穩態有限元仿真中轉矩角計算繁雜的問題。

2 轉矩角的物理意義

(17)

(18)

為方便，稱該位置為定子磁場反相點，由此可知轉矩角的物理意義：轉子坐標系中定子磁場反相點與轉子導體回路中心線之間的機械夾角與pc+pp的乘積。如果BspM=BscM，則定子磁場反相點的振幅總是零，這類似于駐波的波節；但如果BspM≠BscM，則定子磁場反相點的振幅不為零。設θ'是定子磁場反相點的坐標，即

cos[ωt+γ-pp(θ'-ε)]=-cos[ωt+(-1)j·β+pcα+pc(θ'-ε)] .

(19)

易知

ωt+γ-pp(θ'-ε)-(2m-1)π=ωt+(-1)j·β+pcα+pc(θ'-ε) .

(20)

可以得到

(21)

式中，m=1，2，3…。由式(21)可見，當1≤m≤pc+pp時θ'<2π；當m>pc+pp時，θ'>2π。因此，在氣隙一個完整圓周內，共有pc+pp個定子磁場反相點，這與轉子導體回路中心線的數量相等。由于上述式子都是在轉子坐標系中得到的，因此當無刷雙饋電機運行在穩態時，定子磁場反相點與轉子保持同速旋轉，轉矩角保持不變。當無刷雙饋電機處于電動穩態運行狀態時，如負載轉矩突然增加，則會拉動轉子使得轉子導體回路中心線與定子磁場反相點之間的夾角增大，即轉矩角增大，因而電磁轉矩相應增大，從而重新與負載轉矩相平衡，電機繼續保持原轉速運行。由此可見，定子磁場反相點可以看作是同步電機定子磁場的軸線，轉子導體回路中心線可以看作是同步電機轉子磁場的軸線，則無刷雙饋電機的運行特性與一臺pc+pp對極同步電機相同。

3 有限元仿真驗證

使用有限元仿真軟件驗證上述分析的正確性。圖3顯示了有限元模型。該模型定子功率繞組為2對極，控制繞組為4對極；當無刷雙饋電機穩態運行時，氣隙磁場由定子磁場與轉子磁場合成，故難以通過氣隙磁密值確定定子磁場反相點。因此，本文采用如下仿真方案來驗證理論分析的正確性：

圖3 籠型無刷雙饋電機的有限元模型Fig.3 Finite element model of a cage brushless double-fed machine

1) 在有限元仿真軟件中，分別建立籠型無刷雙饋電機模型a與模型b。模型a與模型b的各項參數都相同，區別僅在于模型b的轉子導條開路，而模型a的轉子導條正常閉合；

2) 給模型a的定子功率繞組和控制繞組施加電流源，轉子固定轉速旋轉，轉子轉速與定子功率電流、控制電流頻率滿足雙饋運行的約束條件，進行有限元仿真；給模型b施加完全相同的仿真設置進行仿真；

3) 由模型b的仿真結果可以確定氣隙中定子磁場反相點的位置，以及定子磁場反相點到與之相鄰的轉子回路中心線之間的機械角度，從而確定轉矩角；由模型a的仿真結果確定與該轉矩角所對應的電磁功率；

4) 改變轉矩角，得到電磁功率隨轉矩角變化的曲線。

表1分別顯示了不同時刻定子磁場反相點在定子坐標下、轉子坐標系下的坐標，以及磁密值的有限元仿真結果。為了突出定子磁場反相點，特設置BspM≈BscM.由表1可見，定子磁場反相點始終與轉子保持同速旋轉，則易知其與轉子導體回路中心線之間保持相對靜止。圖4顯示了轉子坐標系下不同時刻定子磁場在氣隙中的分布，圖中紅色、藍色和黑色線條分別標記了0.005 s時刻、0.01 s時刻和0.013 5 s時刻定子磁場在氣隙不同位置處的分布，該圖的橫坐標為轉子坐標系下的位置坐標。在圖中黑點標記位置，三條曲線的數值幾乎都為零，易知圖中黑點就是定子磁場反相點位置，由圖可見共有6個磁場反相點，這與理論分析結果一致。圖5 顯示了定子磁場反相點和轉子導體回路中心線之間的電角度夾角取不同值時無刷雙饋電機的電磁轉矩數值，可見電磁轉矩與該角成正弦變化，這表明定子磁場反相點和轉子導體回路中心線之間的電夾角就是無刷雙饋電機的轉矩角。

表1 不同時刻定子磁場反相點的坐標及磁密值Table 1 Coordinates and magnetic density values of the inverse phase of stator magnetic field at different time

圖4 轉子坐標系下不同時刻定子磁場在氣隙中的分布Fig.4 Distribution of stator magnetic field in air gap at different time in rotor coordinate system

圖5 定子磁場反相點和轉子導體回路中心線之間的電角度 夾角取不同值時無刷雙饋電機的電磁轉矩數值Fig.5 Electromagnetic torque value of brushless doubly-fed motor when the Angle of electric Angle between stator magnetic field reverse-phase point and rotor conductor circuit center line is different

4 結束語

本文從籠型無刷雙饋電機的內部磁場角度入手，推導了無刷雙饋電機在穩態運行時電磁轉矩的解析表達式，獲得了轉矩角的計算公式，并揭示了轉矩角的物理含義。理論分析及有限元仿真結果表明：籠型無刷雙饋電機的轉矩角是轉子磁場與定子磁場的空間夾角，同時也是定子磁場反相點與轉子導體回路中心線之間的機械角度與pc+pp的乘積；在機械角度一個完整圓周內，共有pc+pp個定子磁場反相點，當無刷雙饋電機運行在穩態時，定子磁場反相點與轉子保持同速旋轉、相對靜止；穩態運行時，定子磁場反相點可以看作是同步電機定子磁場的軸線，轉子導體回路中心線可以看作是同步電機轉子磁場的軸線。本文的研究結果為更深入地理解無刷雙饋電機穩態工作時的內部能量轉換機理提供了一定的幫助，也有助于簡化籠型無刷雙饋電機穩態仿真過程。