淺談函數的發展史與高中函數概念的教學

郭志平

高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，而且還用集合與對應的語言刻畫函數，這也是高中數學教學中難以理解的概念之一。回顧函數概念的發展史，從中探尋函數概念的教學規律，對我們高中函數概念的教學無疑是有益的。

一、從函數發展史突出函數概念的“變量”的思想

數學由常量數學進入變量數學是人類認識的飛躍，同時也是學生轉變認識對象的巨大鴻溝。變化是函數產生的原因和源頭，也是函數概念的重要突破口。讓學生結合實例，從兩個變量聯系的角度理解兩個變量的關系，完成對函數概念內涵的抽象認識。

例 指出下列變化過程中的變量和常量，并用適當的形式表達變量間的關系。

（1）一個水滴落到平靜的湖面上鎖形成的一系列圓的面積S與圓半徑r的關系

（2）氣體的質量m一定時，它的體積V與它的密度p之間的關系

（3）銳角 與銳角 互余，則 與 的關系

通過以上問題的思考，學生對變量間的共同屬性有了進一步的認識， 同時學生也對函數“變量說”有了清晰的認識，形成了函數概念：在一個變化過程中的兩個變量x與y，如果對于x的每一個值與之對應，那么說x是自變量。y是x的函數。使得學生從原來地常量、代數式、方程和算式地靜態關系中過渡到變量。函數這樣地表示量與量之間地動態關系的思維方式上，從而使他們的認識達到飛躍。

二、從函數發展史突出函數概念本質

函數的發展至今經歷了幾百年的孕育、形成、確定、發展的過程，可知函數的概念是千錘百煉，精益求精。同時它涉及的概念眾多，而且抽象度相當的高，如變量、對應、定義域、值域等。這些都是學生學習函數概念之前應該盡早的向學生滲透的概念，例如，在講高一教材中的函數概念的定義；設兩個變量x，y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么稱y是x的函數，其中x叫自變量。，x的取值范圍叫做函數的定義域；與x相對應的y值叫做函數值。函數值的集合叫做函數的值域。

例 y=1（ ）是否函數？

解因為在實數集R范圍內的任何一個數x，無論怎么變化，按對應法則“函數值總是1”，在y中都有唯一確定的值1與它對應，所以y是x的函數。

例 已知函數 ，求 ，

解 ；

；

首先要讓學生明確函數符號 中的f表示對應關系，在不同的函數中， 的具體含義不一樣。例如，在函數 中的對應關系 表示的是“函數值自變量的3倍”；而在函數 中對應關系f表示“函數值是自變量的倒數”所以理解函數概念要把握三點：（1）一個變化過程，（2）兩個變量，（3）一種對應關系，判斷兩個函數是否具有函數關系可以根據這三點為依據。

三、正確引導學生從函數的一種概念過渡到另一種概念

函數概念從最初孕育發展到集合說，在這個過程中數學家們不斷地對函數概念進行打磨，修飾，希望其能夠盡善盡美。教材也要遵循歷史發展的規律，在初中將函數的概念描繪成“變量說”，這樣容易被學生接受，在高中階段，為了以后進一步學習的需要，我們又將函數概念描繪成為“集合說”。

高中教材給出如下的函數概念：設A，B是非空的數集，如果按某個確定的數f（ ）和它對應，那么就稱f：A，B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（ ）， 這樣就出現了一個概念前后描繪方式不統一的現象，，學生就會想：為什么同一概念會有不同的描繪方式？哪一種描繪才是正確的呢？為了解決學生的疑問，我們在引入“集合說”的時候向學生說明引入這種說法的原因。

四、從函數發展史的“對應說”完成對函數內涵的第二次抽象認識

通過實例，讓學生對函數概念的認識從變量間的相互依賴關系過渡到兩個變量的對應系 ，而函數概念內涵是對應的關系。

例（1）分段函數 ，其定義域A= ，f的作用是對自變量根據其是否大于1進行不同的變換，如果 ，則f將 變為1，否則，f將 變為其本身。

（2）設 ，求

解由 及 可知 的定義域A= 。 ， = = ，易知對應規律 ： ，即 把自變量平方后加1再取倒數。也就是 ： ，所以 = ， 。

所以對類似上述具體函數的分析，能進一步理解函數y= 中對應規律 的作用，從而加深對函數概念實質的理解。這樣設計的函數概念的教學，目的是讓學生沿著數學家探索函數概念所走過的路，經歷了“一次一次地推翻概念“的研究過程，讓學生對函數概念的發展、內涵與外延認識更加的深刻。

五、總結

綜合上述，函數概念是高中數學中重要的概念之一，函數概念發展已經經歷了認識不斷上升的三個階段，重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的。函數概念對數學發展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情。它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，所以函數思想要做到及早滲透；形成變量觀是理解函數概念的起始和基礎；函數概念的教學要循序漸進、數形結合，并注意應用變式。結合函數發展史，不僅能夠進一步加深對函數概念的認識與把握，也是深入了解函數思想和整個數學理論發展的重要途徑。給函數的教學帶來了較大的益處。