基于機床運動學模型的加工面形誤差影響因素??

王鵬飛 王建鋒 王晉鵬 李 勇 劉守法

(①西京學院機械工程學院，陜西西安710123；②西北工業(yè)大學陜西省機電傳動與控制工程試驗室，陜西西安710072；③寶雞機床集團有限公司，陜西寶雞721013)

幾何誤差是導致機床加工誤差的主要因素之一，顯著影響著機加工質(zhì)量[1]。高精度是現(xiàn)代制造業(yè)的基本要求之一，如何在多軸機床的設(shè)計、制造、裝配階段，甚至日常操作和維護階段減小或消除幾何誤差成為一個關(guān)鍵問題[2-3]。因成本及技術(shù)因素限制，難以補償所有的幾何誤差，只能對加工精度影響較大的幾何誤差進行控制和補償。如何評估單個誤差元對機床加工精度的影響成為一個關(guān)鍵問題[4]。

多年來，許多科研人員對機床的誤差模型進行了深入研究。 常見的是利用 HTM[5，6]、D-H[7]、MD-H[8]或MBS[9]理論建立誤差模型來研究刀具位置和方位誤差。文獻[10]通過建立包含刀具位姿誤差和所有誤差參數(shù)的誤差模型，利用靈敏度分析方法研究了機床誤差和工件誤差間的關(guān)系。文獻[11-12]利用偏微分法推導了機床固定位置的運動學正解模型，只能對少量點位或刀具路徑進行研究，這種方法不能夠完全評估工作空間中的所有幾何誤差間的關(guān)系。文獻[13]提出了一種基于機床體誤差模型的頻域多尺度面形誤差預測方法，通過構(gòu)建機床誤差元與加工面形誤差間的直接關(guān)系進行了面形誤差的預測研究。文獻[14]提出一種基于三維矢量鏈的機床空間誤差模型，并利用單元誤差的作用規(guī)律研究了誤差累積的規(guī)律及計算方法。

鮮有文獻針對機構(gòu)的組裝誤差進行探討，本研究推導了5-DOF串并聯(lián)機床的逆解誤差運動模型和正解誤差運動模型，并預估了機床的各位置誤差項和角度誤差項，通過Matlab軟件進行編程并代入預估值，研究了機床的各誤差項對加工面形誤差的影響，為后期研究誤差補償打下基礎(chǔ)。

1 串并聯(lián)機床及其誤差參數(shù)

串并聯(lián)機床結(jié)構(gòu)如圖1所示，由三自由度的并聯(lián)機構(gòu)搭載旋轉(zhuǎn)軸A和轉(zhuǎn)臺C軸形成五自由度串并聯(lián)機床。該機床機構(gòu)參數(shù)定義如圖1和圖2所示，三組絲杠螺母中心至基座坐標原點的垂直距離定義為SA、SB和SC，三組滾珠絲杠軸線至機架中心距離均為R，刀座平臺幾何中心與水平轉(zhuǎn)軸A軸的垂直距離為ht；A軸至刀具末端垂直距離為t，刀具可繞A軸旋轉(zhuǎn)角度α為0～90°，旋轉(zhuǎn)平臺可繞C軸旋轉(zhuǎn)角度γ為0～360°；hs為絲杠軸線至虎克鉸中心的垂直距離，LA、LB和LC分別為立柱A、B和C上3個連桿的長度，rOR為基座坐標原點至的轉(zhuǎn)臺坐標原點間距離，rRW表示轉(zhuǎn)臺坐標原點至工件坐標原點間的距離。

圖3所示為立柱A各誤差項定義示意圖，絲杠滑塊(Slide)X和Y向的定位誤差為ΔXAS和ΔYAS，絲杠滑塊的X、Y和Z向的角度誤差分別為 ΔΓAS、ΔΨAS和ΔφAS，虎克鉸 (U-J) 定位誤差為 ΔXAUJ和 ΔZAUJ，虎克鉸角度誤差為ΔΓAUJ，刀座(T-F)定位誤差為ΔXATF和ΔYATF，連桿長度誤差為 ΔLA。

2 運動學逆解誤差模型

建立刀座坐標(XYZ)7相對于基座坐標(XYZ)0的齊次轉(zhuǎn)換矩陣，運動鏈A的坐標轉(zhuǎn)換式為:

式中:

式(1)經(jīng)變換后可得:

式(11)等號左邊表示為:

式(11)等號右邊表示為:

將式(12)和式(13)代入式(11)，可得到位置逆解關(guān)系:

得到運動鏈A驅(qū)動軸進給量SA:

同理可得運動鏈B和運動鏈C的逆解誤差模型。

3 運動學正解誤差模型

建立刀座平臺上 3個虎克鉸端點 (OU-J)′A，(OU-J)′B和(OU-J)′C相對于基點坐標(XYZ)0的齊次轉(zhuǎn)換矩陣，運動鏈A的虎克鉸坐標為:

同理可得到運動鏈B運動鏈C的虎克鉸坐標，最后利用機構(gòu)的幾何關(guān)系可以求得刀座平臺的幾何中心位置。

由于添加了誤差參數(shù)，導致刀座平臺出現(xiàn)位移及傾角，利用刀座平臺上的虎克鉸位置可求得刀座平臺平面的法向量:

其中I′、J′和K′為坐標系統(tǒng){P}在X、Y和Z方向的單位向量。因XP′軸與線段平行，且YP′軸與線段垂直，則I′、J′和K′表示為:

式(22)等式右邊為刀座平臺局部坐標{P}相對于基座坐標{0}的K方位分量，即為刀座平臺平面的法向量。可求得刀座坐標點為:

得到刀具端點為:

式中:(OT-E)X′、(OT-E)Y′和(OT-E)Z′分別為刀具端點的X、Y和Z軸坐標，Px7′、Py7′和Pz7′分別為刀座位置坐標，Kx′、Ky′和Kz′則為刀具平臺方位。 引入誤差參數(shù)會導致刀具平臺傾斜，故引入刀具平臺的平面向量方程作為約束條件，使程序能夠收斂至一定范圍。

4 誤差系數(shù)靈敏度仿真分析

設(shè)定機架上立柱A、B或C各誤差項如表1所示。誤差參數(shù)變化會引起機床的定位精度變化，通過Matlab進行誤差仿真分析，可找出影響機床定位精度較大的誤差系數(shù)。設(shè)定理想模型為邊長0.14 m的正方形平面，根據(jù)推導的正解誤差模型進行仿真切削。工作臺參數(shù)為:R=2 m、LA=LB=LC=2.5 m、hs=0.2 m、ht=0.5 m、t=1 m、r0，R=1 m、rR，W=0.2 m。 將程序仿真出的曲面與理想模型曲面進行比對，判斷各誤差參數(shù)對加工誤差的影響。

通過仿真分析可知，表1中列出的11個誤差參數(shù)中，角度誤差引起的面形誤差均大于位置誤差引起的面形誤差，可見角度誤差對面形誤差的影響較大。各角度誤差項引起的面形誤差范圍如圖4所示，各運動鏈對應的角度誤差相差不大，誤差項ΔΨiS引起的工件面形誤差遠遠大于其他誤差項，最大值達到7.7 mm。

圖5和圖6所示分別為運動鏈A中單獨存在誤差ΔΓAS和ΔLA時的面形誤差值，二者面形誤差區(qū)域均呈現(xiàn)左上右下對稱狀。前者越靠近左上和右下，面形誤差越大，面形誤差最小值處于該對角線的中點處，后者大小變化則相反。

圖7和圖8所示分別為單獨存在誤差ΔΨAS和ΔφAS時的形面誤差值，離運動鏈A越遠誤差值越大，呈斜坡狀趨勢，前者梯度線呈左上右下方向的直線，后者梯度線呈以A柱為圓心的水面波紋狀。圖9所示為單獨存在誤差ΔΓAUJ時引起的形面誤差值，誤差值為左下大右上小的斜坡狀，梯度線呈以右上角為圓心的水面波紋狀。圖10與圖11所示分別為誤差值ΔXAS和ΔXAUJ單獨存在時引起的面形誤差，兩圖很相似，由圖3 D-H坐標設(shè)定可看出，坐標系1和坐標系2的X軸方向相同，因此當在X軸方向產(chǎn)生誤差時，它們引起的刀具端點誤差相似。表明位置誤差在每個加工位置上都會引起誤差，且每個加工位置間的誤差量差距較小，因此找不出明顯的規(guī)律，同時從誤差量可看出位置誤差參數(shù)的影響程度比角度誤差參數(shù)小。

表1 誤差參數(shù)設(shè)定值

5 結(jié)語

(1)根據(jù)推導的逆解和正解模型，將設(shè)定的誤差參數(shù)代入Matlab軟件進行仿真，可得到工件面形誤差值。

(2)機床上并聯(lián)的3個連桿上各自對應的角度誤差項引起的工件面形誤差相差不大。

(3)機床上的角度誤差項中，立柱根部Z向角度誤差參數(shù)ΔΨAS引起的面形誤差最大，0.15°的角度誤差引起的工件表面最大面形誤差達7.7 mm。

(4)機床上位置誤差項對工件面形誤差的影響要小于角度誤差項，7項位置誤差項中，立柱根部X向位置誤差ΔXiS引起的面形誤差最大，1mm位置誤差引起的工件表面最大面形誤差為1.374 4 mm。