小學數(shù)學教學中運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題案例剖析

■福建省泉州市豐澤區(qū)第五中心小學 蔡海蘭

作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。如何運用數(shù)形結(jié)合思想，讓學生在“畫”中學，在學中悟，感悟數(shù)學思想方法的價值，體會數(shù)學的美、增強學生的數(shù)學觀念和數(shù)學意識，形成良好的思維素質(zhì)，這是一個值得我們探討的問題。

一、體驗圖形在解決問題中的價值

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”從而可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學的學習中是多么重要。

案例：北師大版六年級上冊第二單元《分數(shù)混合運算》中“分數(shù)混合運算（一）”的學習。在出示例1，明確已知條件和要求后：

1.提問：航模小組有多少人？你是如何思考的。

2.學生獨立完成，解決問題。

3.教師重復(fù)問題后，要求學生：（1）獨立思考，找出單位“1”，畫線段圖分析數(shù)量關(guān)系。（2）列出解決問題的算式。（3）與同桌說說自己的解題思路并列式計算。

4.在教師的引導下，借助線段圖清楚地表示題目意思及題目中各部分之間的關(guān)系。

剖析：分數(shù)應(yīng)用題向來是小學數(shù)學學習中的一大難點。如何運用畫線段圖，提取有價值數(shù)學信息、使數(shù)量關(guān)系明朗化，變得尤其重要。在《數(shù)學課程標準》提出的課程目標中，把解決問題作為重要的課程目標，并指出：要使學生面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。畫圖策略是眾多解題策略中最基本的、也是一個很重要的策略。在這個知識內(nèi)容的學習，通過師生共同合作學習，將題目中的三個興趣小組以下面的這個簡要線段圖表示出來：

這樣一來，學生便能清楚地理解題目中各個量之間的關(guān)系，也能容易理解這兩種列式的意思。學生通過畫線段圖這一過程，實踐了讀題——明確問題——尋找條件——再把文字轉(zhuǎn)化成圖畫，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，最后將圖畫轉(zhuǎn)成思維，這一系列腦力活動完整地搭建了這個從“外化”到“內(nèi)化”過程，進一步驗證了畫圖在解決問題中的價值。而這個思維變化的過程會伴隨著一些數(shù)學思想的滲透，鍛煉并提高學生的數(shù)學思維能力。

二、運用畫圖法優(yōu)化解決問題的策略

學生學會畫圖，體會畫圖的作用能促使學生主動應(yīng)用畫圖方式來解決問題。

案例：在三年級上冊第七單元《一天的時間》中，教學重點是讓學生認識24時計時法，并對24時計時法和普通計時法進行換算。

在教學時，如果教師單純借助時鐘進行教學，雖能直觀地讓學生感受“一天時間”的變化，但在難點上難以突破。如果再輔以“一天有24小時”“為什么是24 小時”“如何記錄24 小時”等作為教學的主線，借助學生的經(jīng)驗載體“鐘表”，將“一天的時間”半抽象出“時間尺”，借助畫圖幫助學生建立24時計時法的概念。

剖析：在這部分教學中，顯然將“時間尺”這一線段圖引入教學能夠更準確地把握知識內(nèi)涵，突破難點。在這一過程中，學生體會借助圖還可以解決原本抽象的知識，從而在解決問題策略方面為學生的思考方向開拓出另一個方向。

三、巧用數(shù)形結(jié)合感受解題策略的多樣

在教學中，運用畫圖的方式體會數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢。并不是只有線段圖這一方式，它是靈活多樣的，除了線段圖外，還有平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計圖，還包括學生運用自己的方式給出圖形表征。在教學中可引導學生根據(jù)自己的需要畫出不同的圖來幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題。

案例：北師大版五年級的《雞兔同籠問題》。雞兔同籠，有8個頭，26條腿，那么雞、兔各多少只？如果單從題目的字里行間去理解題意對很多學生來說是一件十分頭疼的事。

剖析：不論教師引導學生用假設(shè)、方程等各種方法進行學習，相信還是有很多學生對此感到一知半解。但如果引入“數(shù)形結(jié)合”思想，將本題轉(zhuǎn)化為圖形來解決，相信很多學生都能輕松理解。不論是用畫“頭”裝“腳”，還是畫“腳”湊“頭”等，學生可以根據(jù)自己的需要畫出不同的圖幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題。

四、結(jié)語

因此教師應(yīng)鼓勵學生運用多種圖的形式來分析和解決問題。著重培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思維（畫圖策略），使學生能夠進行知識及數(shù)學思維的遷移，將“畫圖”策略貫穿于整個小學數(shù)學解決問題的教學中。