階梯圓環(huán)盤橫向彎曲振動(dòng)特性研究??

肖龍勇 祝錫晶 馬傳杰 丁 磊

(中北大學(xué)山西省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西太原030051)

超聲振動(dòng)加工是在工具或者工件的某一特定的方向施以超聲頻機(jī)械振動(dòng)來進(jìn)行加工的一種先進(jìn)加工方法。超聲振動(dòng)珩磨加工方法是超聲振動(dòng)加工技術(shù)在珩磨中的運(yùn)用。超聲振動(dòng)珩磨相比于普通珩磨具有珩磨力小、加工溫度低、油石不容易堵塞、加工質(zhì)量和加工精度高等諸多長處，該加工方法對零部件的精密加工有著非常重大的意義[1]。由換能器、變幅桿、彎曲振動(dòng)圓盤、撓性桿-油石座與工具振動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)成的聲振系統(tǒng)是超聲振動(dòng)珩磨設(shè)備的核心，其中彎曲振動(dòng)圓盤的作用是將縱向振動(dòng)轉(zhuǎn)化為橫向彎曲振動(dòng)，傳遞給撓性桿，該零件設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，直接影響到變幅桿的振動(dòng)可否經(jīng)過它傳遞給撓性桿-油石座和工具構(gòu)成的振子系統(tǒng)[2]，所以分析彎曲振動(dòng)盤的固有頻率和動(dòng)力學(xué)特性對超聲珩磨振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化非常重要。超聲振動(dòng)珩磨加工中，為了讓彎曲振動(dòng)圓盤、撓性桿-油石座和工具構(gòu)成的振子系統(tǒng)能夠有優(yōu)異的振動(dòng)效果，以達(dá)到最佳的加工質(zhì)量，彎曲振動(dòng)圓盤必須要作零節(jié)徑的軸對稱橫向彎曲振動(dòng)[3]。一般可將彎曲振動(dòng)圓盤簡化成階梯圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)，根據(jù)環(huán)盤厚h徑d比大小分為薄環(huán)盤(一般厚徑比h/d≤1/10)和厚環(huán)盤。其中厚環(huán)盤又分為中厚環(huán)盤和強(qiáng)厚環(huán)盤。中厚板理論最早由Mindlin提出，它是在Kirchhoff薄板理論的基礎(chǔ)上考慮了一階剪切變形，其適用范圍為厚徑比h/d≤1/2.5～1/2，該理論兼容薄板理論[4]。彎曲振動(dòng)圓盤的厚徑比基本都在Mindlin理論的適用范圍內(nèi)，可以用該理論對其進(jìn)行求解。

學(xué)者們對圓板和圓環(huán)板的動(dòng)力學(xué)分析作了大量研究。Hosseini-Hashemi等[5-6]對密度均勻變化的功能梯度階梯圓盤板與圓環(huán)板的自由振動(dòng)解析解作了研究。潘曉娟等[7]根據(jù)Mindlin理論，推導(dǎo)出了厚圓盤彎曲振動(dòng)的橫向和徑向位移模型，并得出了邊界分別為固定、簡支和自由狀態(tài)時(shí)厚圓盤的頻率方程，理論求解結(jié)果與有限元分析結(jié)果基本吻合。李向鵬等[8]利用Mindlin理論建立了中厚圓環(huán)板結(jié)構(gòu)在自由邊界狀態(tài)時(shí)的橫向彎曲振動(dòng)的頻率方程模型，并將計(jì)算結(jié)果與有限元和模態(tài)試驗(yàn)作了對比，驗(yàn)證了模型的正確性。張寧寧[9-10]等基于Mindlin理論分別建立了厚圓環(huán)和階梯圓盤在不同邊界時(shí)的頻率方程模型，并將計(jì)算結(jié)果與有限元和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，得出理論的正確性。上述研究針對的是圓盤和圓環(huán)板的振動(dòng)特性。本文以階梯圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)為研究對象，基于Mindlin理論，建立了階梯圓環(huán)盤的橫向彎曲振動(dòng)頻率方程，編寫了頻率方程的Matlab求解程序，并對計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行了對照，求解精度高，表明了模型正確性，為彎曲振動(dòng)圓盤的理論設(shè)計(jì)提供了參考。

1 階梯圓環(huán)盤橫向彎曲振動(dòng)數(shù)學(xué)模型

彎曲振動(dòng)圓盤的結(jié)構(gòu)可視為階梯圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)，以環(huán)盤中性面z=0處為原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系，環(huán)盤的上下表面分別為z=±h2/2，圖1所示為彎曲振動(dòng)圓盤模型及其在(r，z，θ)柱坐標(biāo)系中的表示。其中:d1為階梯圓環(huán)盤中心孔直徑；d2為階梯圓環(huán)盤階梯處直徑；d3為階梯圓環(huán)盤底座直徑；h1為階梯圓環(huán)盤底座厚度；h2為階梯圓環(huán)盤總厚度。

由Mindlin中厚板理論可知，圓板在柱坐標(biāo)系中作橫向振動(dòng)的振型基本方程為[4]:

方程(1)的一般解可寫成:

經(jīng)過簡化，階梯圓環(huán)盤的振型表達(dá)式變成:

由于階梯圓環(huán)盤作軸對稱的橫向彎曲振動(dòng)，所以繞軸的形變?yōu)榱恪Ｒ虼耸?3)中的φθ恒等于零，可以忽略。

若不考慮盤的擠壓變形，其內(nèi)力表達(dá)式可以表示成:

式中:Mr與Mrθ為彎矩；Qr為剪力。 同理，由于階梯圓環(huán)盤作軸對稱的橫向彎曲振動(dòng)，Mrθ恒等于零，可以忽略其影響。將式(2)分別代入到式(3)與式(4)中，可以得到階梯圓環(huán)盤作橫向彎曲振動(dòng)時(shí)的振型表達(dá)式與內(nèi)力表達(dá)式。

圖1所示的階梯圓環(huán)盤可以看成是由內(nèi)徑d1、外徑d2、厚度h2的內(nèi)圓環(huán)盤 A 與內(nèi)徑d2、外徑d3、厚度h1的外圓環(huán)盤B兩部分組成的。A與B在直徑d2處的位移與力應(yīng)是連續(xù)的，即A與B在直徑d2處的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩與剪力應(yīng)對應(yīng)相等，所以內(nèi)圓環(huán)A與外圓環(huán)B在直徑d2處有如下連續(xù)性方程:

在設(shè)計(jì)過程中，可以將彎曲振動(dòng)圓盤看成內(nèi)外邊界處于自由狀態(tài)，即階梯圓環(huán)盤的邊界條件為內(nèi)外自由，此時(shí)有如下邊界條件:

將式(3)與式(4)代入到式(5)和式(6)中，經(jīng)整理后，可以獲得階梯圓環(huán)盤橫向彎曲振動(dòng)的頻率方程:

式中:[K]為階梯圓環(huán)盤的剛度矩陣，{δ}為階梯圓環(huán)盤的振型向量。

因?yàn)榇ㄏ禂?shù)中含有角頻率ω，即待定系數(shù)不全為零，所以頻率方程有非零解的必要充分條件為剛度矩陣的行列式K=0。采用數(shù)值解法，以特定的步距在圓頻率ω的給定區(qū)間內(nèi)搜索求解，當(dāng)ω的值可以使K=0，則此時(shí)的ω即為頻率方程的數(shù)值解，以此類推，便可以求解出在給定區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值解。

如果已知階梯圓環(huán)盤的圓頻率ω，階梯圓環(huán)盤只有某一尺寸為未知，也可以以特定的步距在給定的區(qū)間內(nèi)搜索求解該尺寸，當(dāng)尺寸值能使K=0，則此時(shí)的尺寸值就是所要求解的數(shù)值解。

2 計(jì)算實(shí)例與有限元驗(yàn)證

以圖1所示階梯圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)為例，任意設(shè)定一組參數(shù)值，通過理論計(jì)算與有限元仿真來驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性。 設(shè)d1=10 mm，d2=40 mm，d3=100 mm，h1=10 mm，h2=12 mm。階梯圓環(huán)盤的材料選為45號鋼，密度ρ=7 810 kg/m3，彈性模量E=209 GPa，泊松比v=0.29。利用Matlab編寫求解程序?qū)κ?7)進(jìn)行數(shù)值求解，以頻率f為變量，頻率搜索區(qū)間取為0～70 kHz，行列式K的值隨頻率f值的不同而變化，當(dāng)f的取值能使K=0，則此f便是頻率方程的解，如圖2所示。經(jīng)計(jì)算可得該階梯圓環(huán)盤的前三階零節(jié)徑軸對稱橫向彎曲振動(dòng)的頻率依次為:8 895 Hz、31 845 Hz、62 095 Hz。

表1 計(jì)算值和有限元(FEM)結(jié)果比較

為了驗(yàn)證理論求解是否正確，對階梯圓環(huán)盤進(jìn)行有限元分析。在SolidWorks2017中創(chuàng)建三維模型導(dǎo)進(jìn)AnsysWorkbench19.0中，經(jīng)求解得出階梯圓環(huán)盤作軸對稱彎曲振動(dòng)的前三階振型對應(yīng)的頻率(如圖3)依次為:8 865.8 Hz、31 725 Hz、62 077 Hz。 從表 1 的理論計(jì)算值與模態(tài)仿真值的對比中，可以發(fā)現(xiàn)理論模型的正確性。

3 理論求解的精度分析

雖然Mindlin理論放棄了薄板理論的三個(gè)主要假設(shè)，但是它自身也是對三維理論的一種簡化，只是相對于薄板理論，它考慮的因素更多，因此它的求解精度要比薄板理論高，適用范圍要比薄板理論廣[11]。Mindlin理論是在Kirchhoff薄板理論的基礎(chǔ)上考慮了一階剪切變形的影響，其運(yùn)用范圍為厚徑比h/d≤1/2.5～1/2，該理論完全兼容薄板理論。上述計(jì)算實(shí)例中，如果其他尺寸保持固定，僅改變盤的厚度h2的數(shù)值，其一階零節(jié)徑軸對稱彎曲振動(dòng)的理論計(jì)算頻率值與有限元模態(tài)分析結(jié)果見表2。

表2 計(jì)算值與有限元(FEM)結(jié)果隨h2的變化的比較

從表2不難看出，在別的尺寸保持固定的情況下，隨著階梯圓環(huán)盤厚度h2逐漸變大，理論計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果的偏差不斷加大，在h2/d3=1/2.5時(shí)，偏差已到達(dá)25.1%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出所能接受的誤差范圍。究其原因在于階梯圓環(huán)盤的特殊結(jié)構(gòu)，階梯圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)的理論計(jì)算精度不僅受其厚徑比(h2/d3)的影響，也與其總厚度h2與底座厚度h1之差有很大的關(guān)系。保持其總厚度h2與底座厚度h1的差值(h2-h1=2 mm)固定，此時(shí)計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果隨h1、h2的變化情況如表3所示。

表3 計(jì)算結(jié)果和有限元結(jié)果變化情況(h2-h1=2 mm)

從表3看出，在階梯圓環(huán)盤總厚度h2與底座厚度h1的差值(h2-h1=2 mm)一定的情況下，不斷增大總厚度h2的數(shù)值，階梯圓環(huán)盤一階零節(jié)徑軸對稱彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果的偏差呈現(xiàn)微弱增大趨勢，當(dāng)h2/d3=0.52時(shí)，偏差也只有1.09%，在容許的誤差范圍內(nèi)，可以看出理論求解精度很高。彎曲振動(dòng)圓盤的厚徑比一般都在1/2以內(nèi)，即h/d≤1/2，在Mindlin板理論的適用范圍之內(nèi)(厚徑比小于等于1/2)，因此利用Mindlin板理論對彎曲振動(dòng)圓盤進(jìn)行理論設(shè)計(jì)具有很高的精度。

4 結(jié)語

(1)超聲諧振系統(tǒng)是超聲珩磨設(shè)備的核心，而彎曲振動(dòng)圓盤則是超聲珩磨諧振系統(tǒng)中的核心部件。彎曲振動(dòng)圓盤可視為階梯圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)，利用Mindlin中厚板理論，根據(jù)階梯圓環(huán)盤的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的連續(xù)性條件和邊界條件，建立了階梯圓環(huán)盤的橫向彎曲振動(dòng)模型，推導(dǎo)了其頻率方程。總厚度h2和底座厚度h1相等時(shí)，此時(shí)在d2處的連續(xù)性條件便可以不考慮了，方程(5)舍去，此時(shí)階梯圓環(huán)盤變成普通圓環(huán)盤結(jié)構(gòu)，頻率方程(7)變?yōu)槠胀▓A環(huán)盤的頻率方程。

(2)利用Matlab編寫了頻率方程的求解程序，通過理論求解與有限元模態(tài)分析的對比，理論求解精度很高，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

(3)彎曲振動(dòng)圓盤零節(jié)徑軸對稱彎曲振動(dòng)頻率的求解精度不僅受其厚徑比(h2/d3)的影響，也與其總厚度h2與底座厚度h1之差有很大的關(guān)系，在總厚度h2和底座厚度h1的差值(h2-h1=2 mm)一定時(shí)，隨著h1、h2的增大，理論計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果的偏差呈現(xiàn)微弱增大趨勢，當(dāng)厚徑比h2/d3=0.52時(shí)，偏差也僅有1.09%，表明理論計(jì)算的精度很高，為彎曲振動(dòng)圓盤的設(shè)計(jì)指明了理論方向。