應用假設法快速求解關聯氣體問題

金柏嬌

(佛山市第二中學 廣東 佛山 528000)

高中《物理·選修3-3》部分氣體實驗定律是Ⅱ級考試要求．《2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱》[1]對Ⅱ級知識點這樣描述：“對所列知識要理解其確切含義及與其他知識的聯系，能夠進行敘述和解釋，并能在實際問題的分析、綜合、推理和判斷等過程中運用．”同時，關于物理學科的“分析綜合能力”要求為：“能夠獨立地對所遇到的問題進行具體分析、研究，弄清其中的物理狀態、物理過程和物理情境，找出起重要作用的因素及有關條件；能夠把一個較復雜問題分解為若干較簡單的問題，找出它們之間的聯系；能夠提出解決問題的方法，運用物理知識綜合解決所遇到的問題．”

關聯氣體[2]是由兩個或者兩個以上氣體組成的系統，它們之間存在力的聯系或者能量傳遞．關聯氣體問題既是考查的重點也是難點，《物理·選修3-3》熱學部分內容中關聯氣體問題是歷年高考的常見出題點之一．關聯氣體問題難點在于對它非平衡過程之后的平衡狀態的判斷，即如何確定它的末狀態．

本文提出應用假設法快速求解關聯氣體問題的方法，該方法根據關聯氣體的非平衡狀態變化對末狀態進行合理假設，然后通過計算分析判斷假設是否成立，進而快速確定末狀態，從而順利解題．最后，通過快速求解2017年高考全國Ⅰ卷理科綜合第33題，證明本文方法的可行性．

1 應用假設法快速求解關聯氣體問題的思路

1.1 確定研究對象和初始狀態

根據題目中設置場景的不同，題目的研究對象通常分為兩種，分別是力學研究對象和熱學研究對象．常見的力學研究對象包含活塞、液柱等，熱學研究對象即封閉的理想氣體．

初始狀態的確定是解題的出發點，解題時首先應根據題意確定研究對象的初始狀態參量.對封閉氣體來說，為壓強(p)、體積(V)和溫度(T)，對活塞等力學研究對象來說，則為其初始受力情況及壓強分析．

1.2 根據非平衡狀態變化對末狀態提出假設

根據題意，確定打破初始平衡狀態的條件，分析非平衡狀態下研究對象狀態的變化過程，例如氣體膨脹、活塞下移等等．在高中階段的出題中，這個氣體變化過程往往是等壓變化、等容變化、等溫變化之一．力學研究對象在兩個平衡態之間通常會出現一個非平衡的變化過程，對這個過程的受力情況和壓強變化做出合理的分析是解題的關鍵．

根據上述變化對末狀態(即下一個平衡狀態)提出假設，例如氣體充滿整個氣缸、活塞移動到了氣缸底部等等．假設的提出，一般要參考臨界條件．

1.3 對假設是否成立進行判斷

明確所假設的末狀態的狀態參量，結合過程分析列出理想氣體狀態方程，求出臨界條件下研究對象的狀態參量．把得出的狀態參量與實際情況(或假設狀態)進行比較，從而判斷假設是否成立．若判斷出結果符合實際情況，則假設成立．若不符合實際情況，表示假設不成立．

1.4 快速確定末狀態

若假設成立，則末狀態已確定．若假設不成立，則說明在假設的末狀態到達之前已達到了平衡狀態．此時，已經可以排除所假設的臨界狀態，使得研究對象的熱學和力學狀態更加明了．進一步運用理想氣體狀態方程和受力分析快速確定末狀態以便快速解題．

2 實例分析

以2017年全國Ⅰ卷理科綜合第33題前兩問為例，應用本文提出的解題方法進行求解分析.在解題過程中應用假設法判斷氣體末狀態，巧妙分析關聯氣體問題中非平衡狀態過程的力學變化，從而更快速地解題．

2.1 題干

【題目】如圖1所示，容積均為V的氣缸A和B下端有細管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細管的中部，A，B的頂部各有一閥門K1，K3，B中有一可自由滑動的活塞(質量、體積均可忽略)．初始時，3個閥門均打開，活塞在B的底部；關閉K2和K3，通過K1給氣缸充氣，使A中氣體的壓強達到大氣壓p0的3倍后關閉K1．已知室溫為27 ℃，氣缸導熱．

(i)打開K2，求穩定時活塞上方氣體的體積和壓強；

(ii)接著打開K3，求穩定時活塞的位置；

(iii) 再緩慢加熱氣缸內氣體使其溫度升高20 ℃，求此時活塞下方氣體的壓強．

圖1 題圖

2.2 求解分析

應用本文方法，分步解答．

(1)確定研究對象和初始狀態

本題的力學研究對象是一個活塞，熱學研究對象是活塞分隔開氣缸中的兩部分理想氣體．

初始狀態時左邊氣體的壓強為大氣壓強，右邊氣體壓強為3p0，溫度同為室溫，體積均為V．由于活塞不計重力，此時活塞受到的氣體壓力和底部對它的支持力為一對平衡力．

解析：(i)設打開K2后，穩定時活塞上方氣體的壓強為p1，體積為V1．依題意，被活塞分開的兩部分氣體都經歷等溫過程．對活塞上方氣體由玻意耳定律得

p0V=p1V1

(1)

對于活塞下方氣體和A端氣體

3p0V=p1(2V-V1)

(2)

聯立式(1)、(2)得

(3)

p1=2p0

(4)

(2)根據非平衡狀態變化對末狀態提出假設

打開K3后，活塞上方與大氣連通，壓強變為大氣壓強．根據式(4)可知，活塞下方氣體壓強大于大氣壓強，活塞必定向上運動．這個運動過程的非平衡狀態是一個等溫過程．

活塞向上運動過程中受到了上下兩部分氣體的壓力，上部分氣體壓強為大氣壓強，即上部分氣體對活塞向下的壓力大小不變；活塞下方氣體初始狀態壓強為3倍的大氣壓，說明下方氣體對活塞向上的壓力更大，但隨著活塞的上升，下方氣體壓強逐漸降低，直至活塞在某位置再次達到受力平衡狀態．

活塞的受力平衡位置可能出現兩種情況：一種情況是在活塞沒有達到氣缸頂部的過程中下方氣體壓強已經減小到了和大氣壓強相同的大小，這樣達到受力平衡；另外一種情況是活塞上升過程中下方氣體壓強始終大于大氣壓強，導致活塞上升到氣缸的最頂端，此時活塞除了受到上下氣體壓力外還受到氣缸邊緣的壓力達到受力平衡．不確定的活塞平衡位置，導致不能確定氣體末態的狀態參量，解題出現難點．

通過上述分析，不難發現，臨界條件就是活塞的位置達到頂部時，據此對末狀態提出假設．假設再次達到平衡狀態時，活塞位于B的最頂端．該假設蘊含了一個條件，即要求活塞運動到B的頂部時活塞下方氣體壓強不小于外界大氣壓強．

(3)對假設是否成立進行判斷

活塞位于B的最頂端時，活塞下方氣體及A內氣體的總體積為2V．結合波意耳定律，對活塞下方氣體及A內氣體列等式求解．具體步驟如下.

(ii)設再次達到平衡狀態時活塞下方氣體壓強為p2

3p0V=p2·2V

(5)

(6)

對末狀態的確定，本題標準答案給出的方法是用體積作為約束條件來判斷不等式，具體參考答案如下：

打開K3后，由式(4)知，活塞必定上升．設在活塞下方氣體與A中氣體的體積之和為V2(V2≤2V)時，活塞下方氣體壓強為p2，由玻意耳定律得

3p0V=p2V2

(7)

由式(7)解得

(8)

(4)快速確定末狀態

2.3 討論分析

對于本題第2問，標準參考答案的解法對于考生來說不是很容易想到，需要很縝密的思維能力才能從容應對．本文給出的假設法解題對學生的思維水平要求不會很高，只要平常備考時加以訓練，就能輕松掌握．而且臨場應試時間緊迫，應用假設法可以更簡潔迅速地解題．

對于本題來說，應用假設法解題,如果按式(5)計算出來的壓強小于大氣壓強，此時假設不成立，說明活塞在未到達頂部的某個位置達到了平衡狀態，這時活塞下方氣體壓強為p0．也由對活塞的受力分析可知，沒到頂部的活塞受到上下兩部分氣體的壓力，即下方氣體壓強與大氣壓強相同，活塞受力平衡．進一步運用理想氣體狀態方程把下方氣體壓強代入p0，應用波意耳定律就可以解出下方氣體體積進而明確活塞的位置．

3 結論

本文提出了應用假設法快速求解關聯氣體問題的方法，并提出具體的解題步驟，最后應用該方法對2017年的高考物理真題進行了快速的判斷和求解．在解題時詳細地分析了關聯氣體問題非平衡狀態過程的力學變化．本文方法對理想氣體狀態方程應用中難點的突破有所幫助．