電磁航天器編隊懸停魯棒協(xié)同控制方法

張亞博， 師鵬，*， 張皓， 趙育善

(1. 北京航空航天大學 宇航學院, 北京 100083； 2. 中國科學院空間應用工程與技術中心中國科學院太空應用重點實驗室， 北京 100094)

編隊懸停是指空間中的多個伴隨航天器在控制力或自然力的作用下，相對參考航天器或其他自然天體保持相對靜止的狀態(tài)。編隊懸停技術在航天器在軌服務、深空探測、航天器跟蹤監(jiān)視等領域有著廣泛的應用[1-3]。

航天器懸停編隊的實現(xiàn)依賴于準確的軌道和姿態(tài)控制。在近距離懸停時，傳統(tǒng)基于沖量原理的推力器會造成羽流污染，某些任務甚至會嚴格限制目標與懸停航天器連線方向的點火[4]；再者編隊中成員航天器懸停軌道通常具有強非開普勒性，要求推力器長時間工作[5]，必然導致傳統(tǒng)航天器編隊壽命有限。因此利用庫侖力[6]、洛倫茲力[7]和電磁力[8]等非接觸力實現(xiàn)航天器無工質編隊的控制受到了眾多學者的關注。相比于星間庫侖力、洛倫茲力，通電電磁線圈間能夠產生任意方向的電磁力，可以實現(xiàn)更多的控制自由度，本文選擇星間電磁相互作用來實現(xiàn)航天器編隊的控制。電磁航天器通過改變其上安裝的3個正交電磁線圈的電流以改變航天器受到的電磁作用，進而實現(xiàn)航天器編隊的相對軌道控制[9]。

通過引入電磁相互作用之后較好地解決了傳統(tǒng)推力器存在的問題，但電磁作用固有的非線性、相互性以及空間環(huán)境的不確定干擾決定了電磁航天器編隊控制具有強非線性、強耦合性以及不確定性的特點[10]。此外，電磁力是系統(tǒng)內力，無法實現(xiàn)編隊質心的機動。這些因素對控制的設計提出了更高的要求。

針對電磁航天器編隊的動力學與控制問題，國內外學者進行了豐富的研究。就雙電磁航天器編隊控制，Elias等[11]引入雙電磁航天器編隊動力學非線性模型并對其進行了線化，分析了線性模型的閉環(huán)穩(wěn)定性和可控性，設計了最優(yōu)線性反饋控制律。黃渙等[12]基于Kane方法建立了電磁航天器六自由度耦合非線性動力學模型，分析了3種平衡態(tài)構型的控制需求，并設計了線性二次型調節(jié)器(LQR)控制器。徐增文等[13]針對雙星電磁航天器構型保持設計了自適應控制律，并給出了雙星磁矩配置解析表達式。邵龍飛等[14]將雙星編隊運動規(guī)劃問題轉化為標準優(yōu)化問題進行了求解，并指出多電磁航天器的編隊控制可以轉化為分階段的雙電磁航天器控制。Kwon等[15]用雙星地面實驗驗證了利用超導線圈產生電磁力進而進行位置保持和軌道跟蹤的可行性。

對于多電磁航天器編隊控制，Ahsun和Miller[16]給出了編隊相對運動二維動力學模型，并分別基于人工勢函數(shù)法和最優(yōu)控制方法研究了電磁航天器編隊的構型保持問題。Miller等[17]基于近地軌道動力學模型，采用非線性自適應控制方法研究了電磁航天器編隊的構型保持和重構問題，并提出了通過優(yōu)化配置磁矩的方案。胡敏等[18]分析了地磁場對近地軌道電磁編隊的影響，建立了高精度相對運動動力學模型，在此基礎上提出了一種非線性反饋控制方法。Zeng和Hu[19]在動力學模型存在不確定性和外部攝動的情況下，設計了電磁航天器編隊軌道跟蹤的線性終端滑模控制。Zhang等[20]建立了六自由度電磁航天器動力學模型，給出了航天器軌道姿態(tài)控制的自適應終端滑模控制。

盡管以上研究較好地解決了電磁航天器編隊的相對構型保持和軌道姿態(tài)跟蹤問題，但文獻中采用的動力學模型大多數(shù)只考慮了外部攝動的不確定性，而未考慮動力學模型的內部不確定性和參數(shù)攝動，在實際的任務中該參數(shù)攝動是不可避免的。再者，當參考軌道是橢圓時，系統(tǒng)呈現(xiàn)動態(tài)時變特性，文獻中設計的控制律均需要參考軌道實時的準確信息，獲取這些信息一些情況下是十分困難甚至是不可能的。此外，文獻中設計的控制律并未考慮編隊成員航天器之間的信息交互，導致編隊的協(xié)同能力較差并產生冗余控制。

考慮到上述問題，本文針對電磁航天器編隊近地軌道懸停控制，提出了一種在缺少參考軌道準確信息時的協(xié)同控制方法。首先，用TH方程描述航天器間的相對運動，選擇與參考軌道同周期的圓軌道作為標稱軌道，將參考軌道相對于標稱軌道的偏差、地球非球形引力、大氣阻力以及其他天體引力等參數(shù)單獨歸類，視其為不確定量，構成不確定系統(tǒng)。然后，針對動力學方程存在內部和外部不確定性，通過引入滑模控制理論和一致性理論，就電磁航天器編隊懸停的目標設計了魯棒協(xié)同控制律。最后，考慮到能量消耗最優(yōu)和均衡以及軌道姿態(tài)解耦的問題，給出了通過優(yōu)化進行磁矩配置的方案，并進行了數(shù)值仿真驗證。

1 電磁航天器編隊動力學建模

1.1 電磁遠場作用模型

電磁航天器通過其上安裝的3個正交電磁線圈產生電磁相互作用，如圖1所示。圖中i1、i2為線圈電流；a1、a2為線圈半徑；dl1、dl2為線圈長度微元；d為線圈微元間的距離；s為線圈2的微元于線圈1的中心的距離。可以采用畢奧-薩伐爾定律精確計算2個通電線圈之間的電磁力和電磁力矩，設線圈2位于線圈1的電磁場中，對線圈2上的電流微元在線圈1的電磁場中進行積分，即可求得線圈2受到線圈1的電磁力F2和力矩T2分別為

(1)

(2)

式中：μ0=4π×10-7N/A2為真空磁導率。

式(1)、式(2)形式復雜，不易在工程中直接應用。研究發(fā)現(xiàn)[21]，2個線圈之間的距離大于5倍的線圈半徑時，將線圈視為偶極子得到的遠場電磁力模型誤差在10%內，能夠基本滿足精度需求。遠場電磁力模型如圖2所示。該模型將線圈電磁場視為偶極子，其大小和方向用磁矩描述，磁矩的求解公式為

μ=nISl

(3)

式中：n為線圈的匝數(shù)；I為電流值；S為線圈的面積；l為載流平面法線方向單位向量，服從右手定則。

圖1 電磁線圈相互作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic coil interaction

圖2 磁偶極子相互作用示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetic dipole interaction

遠場模型下，兩線圈之間的電磁力和電磁力矩可以分別為

(4)

(5)

由式(4)、式(5)可以看出，遠場模型下電磁力是線圈磁矩和線圈之間距離的強非線性函數(shù)，這使得在電磁力已知的情況下，求解磁矩變得較為困難。從式(4)和式(5)也可以看出，電磁力和電磁力矩是耦合產生的，在多航天器編隊(航天器數(shù)量大于2的編隊)中，這種耦合性將導致設計控制律時產生控制欠驅動問題。本文設計控制律時，采用軌道優(yōu)先策略對其進行解耦，將電磁力矩考慮為干擾因素，其可以用反動量輪或力矩陀螺進行消除。本文研究重點是電磁航天器編隊的軌道懸停控制，因此不考慮其姿態(tài)控制，并假設航天器的姿態(tài)已經調整到了期望的狀態(tài)。

1.2 相對運動動力學模型

為描述航天器之間的相對運動，首先引入2個參考坐標系，即地心慣性坐標系Si和參考軌道坐標系SO′。如圖3所示，地心慣性坐標系坐標原點位于地球中心，X軸位于赤道平面，指向春分點方向，Z軸垂直于赤道平面，指向北極為正，Y軸與X軸、Z軸構成右手系。參考軌道坐標系坐標原點位于參考航天器質心，x軸沿徑向，從地球中心指向參考航天器質心，y軸在軌道平面內與x軸垂直，指向參考航天器前進方向，z軸與x軸、y軸構成右手坐標系。

圖3 航天器編隊懸停參考系Fig.3 Spacecraft formation hovering coordinate system

假設對參考航天器不施加控制且編隊中成員航天器之間的距離遠小于航天器質心到地心的距離，則在參考軌道坐標系下，懸停編隊中的成員航天器相對參考航天器的線性相對運動動力學方程為

(6)

式中：下標i=1,2,…,N為懸停編隊中航天器的編號；ρi=[xiyizi]T為懸停航天器i在參考軌道坐標系SO′中的位置；umhi為懸停航天器i受到的遠場電磁力；udhi為懸停航天器i受到的外部攝動，包括電磁力建模誤差、氣動力、太陽光壓以及地磁場和其他天體引力引起的攝動；udo參考航天器受到的外部攝動，包括氣動力、太陽光壓攝動以及其他天體引力。式(6)中的各系數(shù)矩陣為

(7)

(8)

2 電磁航天器編隊懸停控制方法

2.1 魯棒協(xié)同控制律設計

滑模控制能夠有效克服系統(tǒng)的不確定性，對干擾和未建模動態(tài)具有很強的魯棒性，且具有響應迅速、物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點。本文將以滑模控制方法為基礎實現(xiàn)航天器的懸停。

對于一般的橢圓參考軌道，式(6)表示的相對運動動力學模型是一個系數(shù)時變的微分方程，式中變化的參數(shù)都與參考軌道相關，若按式(6)設計控制律將需要獲得參考軌道實時的準確參數(shù)，帶來很多的不便。本文擬將一個與參考軌道同周期的圓軌道作為基準，將參考軌道和標稱圓軌道的偏差、地球非球形攝動以及其他各種攝動單獨歸類，作為不確定量進行處理，由此得到的動力學方程為

(9)

式中：udi=udhi-udo為懸停航天器相對參考航天器的外部不確定量；ΔD為橢圓軌道相對于圓軌道的偏差以及動力學方程的參數(shù)攝動；ΔK為參考軌道相對于圓軌道的偏差、地球非球形引力攝動以及動力學方程的參數(shù)攝動。與橢圓軌道同周期的圓軌道的半徑為橢圓的半長軸a，因此矩陣Dc、Kc的值為

(10)

(11)

不確定矩陣可表示為

(12)

(13)

|udi|≤fi(x,t)fi(x,t)≥0

(14)

式中：Ei、Fj為已知矩陣，存在參數(shù)攝動的位置元素為1，其余元素為0；αi、βj為不確定矩陣ΔD、ΔK對應位置的攝動參數(shù)；ai、bj分別為αi、βj模的上界；f(x,t)為外部不確定量udi模的上界;k、h分別為矩陣ΔD、ΔK不為零的元素的個數(shù)。

小偏心率參考軌道本質是時變的，動力學模型中存在真近點角，涉及到實時進行開普勒方程的求解，同此還涉及到線性時變系統(tǒng)的控制，在設計控制律時存在著一定的難度。這里通過用一個同周期的圓參考軌道代替這個小偏心率橢圓，使得系統(tǒng)由非定常變成定常，分析設計比較方便。這么一來，就會出現(xiàn)一個小周期項的動力學偏差，這里把它也作為不確定性進行處理。另外，由于文中把時變的部分都當作了小擾動，那么即使對參考衛(wèi)星的建模存在一定誤差，上面設計的控制仍然可以保證不錯的效果。因此，基于式(9)的模型設計的控制律將具有更強的魯棒性。

選取滑動面為

(15)

式中：Λ=diag{λr}，λr>0，r=1,2,3，顯然滑動面上的狀態(tài)運動是穩(wěn)定的。接下來設計到達運動，對式(15)的滑動面函數(shù)求導，得

(16)

(17)

選擇到達控制律為

(18)

式中：Hi和εi為對角元素均為正的對角矩陣，且Hi，εi∈R3×3。為了消除滑動運動在滑模面上的抖顫，在此處選擇飽和函數(shù)sat(x)代替符號函數(shù)：

(19)

式中：φ為飽和函數(shù)邊界層厚度。對比式(17)、式(18)得到等效控制為

(20)

式(20)控制中存在不確定參數(shù)，無法直接使用，為消去不確定參數(shù)，首先任選2個向量z1i、z2i，構造式(21)作為實際控制：

umhi=-Hisi-εi·sat(si)+

(21)

為確定z1i、z2i，將式(21)代入式(17)中得

(22)

又滑模控制到達條件為

(23)

將式(22)代入式(23)之后寫成分量形式得

(24)

式中：上標r=1,2,3為向量的第r個分量；vr(*)為矩陣(*)的第r行，若取z1i、z2i為式(25)、式(26)。將式(25)、式(26)代入式(24)，比較各項大小，消去不確定項，可使得到達條件式(23)得到滿足。

(25)

(26)

式(21)～式(26)構成航天器編隊懸停的控制律，該控制律已經能夠實現(xiàn)航天器編隊的懸停任務，且由于動力學模型中考慮了航天器可能受到的所有的誤差，同時給出了模型誤差的上界。因此上面給出的控制對不確定干擾具有較強的魯棒性，但該控制律只考慮了編隊中成員航天器自身的位置和速度偏差信息，沒有用到其他航天器的狀態(tài)信息，從編隊系統(tǒng)層面上來看，所設計的控制律只能夠達到局部的良好性能，從全局視角審視，存在控制的浪費，因此對該控制律進行改進，以利用航天器之間的信息交換實現(xiàn)全局協(xié)同。

為了清晰地描述航天器編隊中成員航天器之間的關系，在此引入圖論的相關概念。一個加權無向圖G(V,E,A)由節(jié)點集V={1,2,…,N}，邊集E?V×V和加權鄰接矩陣A=a[ij]∈R組成。節(jié)點表示編隊中的成員航天器，邊表示編隊中成員航天器之間的通信關系，鄰接矩陣表示編隊中成員航天器的通信性能。無向圖中若兩航天器i、j之間可以通信，則邊(i,j)∈E、(j,i)∈E且aij=aji>0，否則aij=0。一般認為航天器和自身不存在通信，即aii=0。如果圖中的任何2個節(jié)點之間存在路徑，則稱該無向圖是連通的。

在上述圖論的基礎上，考慮到編隊中成員航天器之間的信息交互以及通信延時，對上述魯棒控制器增加一協(xié)同項，得到協(xié)同控制器如式(27)所示：

(27)

式中：τij為電磁航天器i、j之間的通信延時。

2.2 魯棒協(xié)同控制器穩(wěn)定性證明

本節(jié)分析和證明上述控制器(27)的穩(wěn)定性，選取Lyapunov函數(shù)為式(28)，將其對時間求導得到式(29)。將式(22)、式(25)、式(26)代入式(28)，可以得到式(29),雙畫線部分小于等于零，因此對于Lyapunov函數(shù)的證明只需要求證后面部分，即式(30)。

(28)

(29)

(30)

3 電磁航天器編隊磁矩優(yōu)化配置

2.1節(jié)建立的航天器編隊懸停控制律可以求得航天器在任意位置懸停需要的控制加速度。本節(jié)討論控制加速度的具體實現(xiàn)問題。電磁航天器編隊系統(tǒng)有N個成員航天器，編號為i=1,2,3,…,N，成員航天器均能夠產生任意指向的磁矩。對于編號為i的航天器，其受到的電磁力表達式為

(31)

式中：Fi為編號為i的航天器受到電磁力的合力；Fij為j號航天器對i號航天器的電磁作用；μi、μj分別為i號航天器和j號航天器的磁矩；rij為i號航天器相對于j號航天器的位置，從j號航天器指向i號航天器。由于電磁力為系統(tǒng)內力，故存在式(32)、式(33)成立：

Fij+Fji=0

(32)

(33)

可以看出整個編隊系統(tǒng)受到的電磁力的合力為零，顯然在只有相互作用電磁力的情況下，系統(tǒng)質心無法改變，無法實現(xiàn)任意位置的懸停，為此在系統(tǒng)中任選一顆航天器，在該航天器上施加額外推力，通過該推力來改變質心位置。設推力施加在N號航天器上，則滿足：

(34)

式中：fo為施加在N號航天器上的懸停外力。

從上述分析中可以看出，電磁航天器編隊系統(tǒng)一共受到獨立的約束3N個，但是相互獨立的變量有3N+3(包含3N個磁矩變量和3個外力變量)個，系統(tǒng)的變量有冗余的自由度，因此可以將該問題轉化為帶約束的優(yōu)化問題進行求解。取目標函數(shù)表達式為

(35)

4 數(shù)值仿真

4.1 仿真參數(shù)設置

為驗證所設計控制律的控制性能以及磁矩分配方案的可行性，本文對4顆電磁航天器組成的編隊進行了仿真計算，航天器編隊采用的編隊構型如圖4所示。

初始時刻4顆航天器位于棱長15 m的正四面體的4個頂點上，參考航天器位于正四面體的中心。假設編隊成員航天器的位置和速度在初始時刻受到隨機擾動，在運行期間一直存在低于擾動上限的噪聲。仿真選擇的參考軌道參數(shù)，各個狀態(tài)期望值和初始攝動值分別如表1和表2所示。

成員航天器的質量均為100 kg，線圈半徑均為1 m，線圈匝數(shù)均為100。控制器的參數(shù)選擇為Hi=10-2I3×3，εi=10-7I3×3，Λi=10-2I3×3。不確定參數(shù)上限的選擇參考了文獻[21]，分別取ai=10-5，bj=10-7，fi=10-7。考慮3顆航天器鏈接成環(huán),另外一顆航天器連入該三角形環(huán)的通信拓撲結構,權值均取為aij=10-3。成員航天器通信延時為5 s。在磁矩求解時,考慮到能量最優(yōu)和均衡、電磁力和力矩的解耦以及系統(tǒng)所需外力最小,為使得式(35)每一項的數(shù)量及相當，配置磁矩參數(shù)取值為W1i=10-11I3×3，W2i=10-9I3×3，γi=102，Wo=105I3×3,然后用MATLAB進行仿真。

圖4 電磁航天器懸停編隊構型Fig.4 Hovering formation configuration of electromagnetic spacecraft

表1 參考軌道參數(shù)Table 1 Reference orbital parameters

表2 狀態(tài)初值信息Table 2 Initial value information of state

4.2 仿真結果

仿真結果如圖5～圖11所示。圖5和圖6為相對位置跟蹤誤差曲線，圖7和圖8為相對速度跟蹤誤差曲線。圖9～圖11分別描述了控制磁矩、電磁力、編隊懸停外力的變化規(guī)律。

圖5 AB相對位置跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curves of AB relative position

圖6 CD相對位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Tracking error curves of CD relative position

圖7 AB相對速度跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking error curves of AB relative velocity

從圖5、圖6可以看出，在位置初值、速度初值均存在隨機擾動并且狀態(tài)信息存在噪聲的情況下，本文設計的魯棒協(xié)同控制律利用航天器之間的電磁力能夠在700 s內回到期望軌道，且位置跟蹤誤差在10-6數(shù)量級。從放大的結果也可以看出，控制器中的協(xié)同項最終使得編隊中所有航天器的位置跟蹤誤差趨于一致，這有利于誤差的管理。

圖8 CD相對速度跟蹤誤差曲線Fig.8 Tracking error curves of CD relative velocity

圖9 控制磁矩曲線Fig.9 Curves of control magnetic moment

圖10 電磁力曲線Fig.10 Curves of electromagnetic force

圖7和圖8表明，協(xié)同控制律可以使成員航天器對速度的跟蹤誤差達到10-8數(shù)量級，具有較高的精度，同時也說明設計的控制器具有較強的魯棒性和協(xié)同性。

從圖9可以看出,優(yōu)化之后的控制磁矩數(shù)量均小于105，該磁矩可以使用超導線圈實現(xiàn)。圖10表明編隊懸停控制所需的電磁力在10 mN量級,一方面這樣的小推力可以使得控制精度有所提升，另一方面也表明電磁力只能實現(xiàn)近距離的編隊。圖11為編隊懸停時為了改變航天器質心所需要的外力，從圖中可以看出其大小和所需的電磁力相當。

圖11 編隊懸停外力曲線Fig.11 Curve of formation hovering external force

4.3 有無協(xié)同控制效果比較

為了分析在控制律中引入?yún)f(xié)同項的效果，在同樣的初值下對未引入?yún)f(xié)同的情況也進行了仿真。選取文獻[22]中的暫態(tài)構型維持誤差σ作為評價指標，其具體形式為

(36)

式中：σ越小表明暫態(tài)構型維持能力越強。從圖12中可以看出，在編隊成員均存在5 s通信延時的情況下，盡管在200 s附近有無協(xié)同指標略低于有協(xié)同指標的情況，但是從整體趨勢來看，有協(xié)同的控制器表現(xiàn)出了更好的性能。

為分析設計的控制律的能量消耗情況，本文采用系統(tǒng)各成員航天器所受力的模之和作為能量評價指標，記為E。在相同初值下對編隊開環(huán)控制的能量指標進行了計算，結果如圖13所示。

圖12 暫態(tài)構型維持位置誤差曲線Fig.12 Curve of transient configuration position keeping error

以上仿真結果表明本文設計的電磁航天器編隊魯棒協(xié)同控制律能夠有效實現(xiàn)航天器編隊任意位置的懸停，對系統(tǒng)存在的內部和外部不確定性具有較強的魯棒性，文中給出的基于能量最優(yōu)和均衡的磁矩配置方案能夠實現(xiàn)磁矩的有效分配。

圖13 能量消耗對比Fig.13 Comparison of energy consumption

5 結 論

本文針對近地近圓軌道附近電磁航天器編隊懸停問題，設計了一種有效處理絕對軌道信息缺失的控制方法，具體如下所述。在電磁力模型和動力學模型均存在不確定性的條件下, 通過引入滑模控制理論和一致性理論，設計了魯棒協(xié)同控制律。考慮到能量最優(yōu)和控制均衡以及軌道姿態(tài)的解耦，給出了磁矩的優(yōu)化配置方案。分析證明了所設計的協(xié)同控制律的穩(wěn)定性及魯棒性。仿真結果表明，位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差分別能達到10-6、10-8數(shù)量級，所給出的磁矩分配方案能夠實現(xiàn)磁矩的合理分配，控制中引入?yún)f(xié)同項后可以提高編隊的協(xié)同能力，且能平衡各成員航天器之間能量消耗。