一種考慮過濾的短纖維增強復合材料RVE建模方法

劉豐睿， 駢瑢， 趙麗濱， 張建宇

(1. 北京航空航天大學 宇航學院, 北京 100083； 2. 重慶大學 航空航天學院, 重慶 400044)

短纖維增強復合材料具有比強度高、比剛度高和可設計性強等特點，在航空航天[1-2]、建筑[3]、汽車[4]、醫療[5]、船舶[6]等領域應用廣泛。其彈性模量的預測是重要的研究內容，主要的預測方法有均勻化法[7]、代表性體積單元(Representative Volume Element,RVE)法[8-10]等。其中，RVE法考慮因素多，能全面預測材料特性，是常用的預測方法。高效地建立RVE是進行材料性能預測的第一步，也是研究難點。

目前建立短纖維增強復合材料RVE的方法有：隨機順序吸附(Random Sequential Adsorption, RSA)方法[10-12]、基于RSA的纖維生長法[13]、分子動力學方法[14]、粒子群優化算法[15]、蒙特卡羅方法[16]和圖像重建技術[17]等。其中，RSA方法憑借其操作簡單、計算量小的優點被廣泛應用。該方法的核心是每次在RVE區域內生成位置隨機、取向按給定函數隨機分布的一根纖維后，判斷新纖維與已存在纖維是否相交，僅當不相交時認為新纖維可以存在于RVE中，循環此過程直到纖維體積分數達到規定值為止[10]。纖維相交與否關系的判斷通常通過幾何方法實現[18]。考慮到幾何方法計算復雜且計算量大，Liu等[19]采用布爾運算方法判斷纖維是否相交，進而提出了基于布爾運算的隨機順序吸附(Boolean Operation based Random Sequential Adsorption,BORSA)方法。但是，布爾運算判斷法耗時也較長，并且對一些非常容易判斷位置關系的纖維進行布爾運算判斷影響了RVE的建立效率。

本文對Liu等[19]的方法進行了改進，在對纖維進行布爾運算判斷前，加入了新纖維與已存在纖維的形心距計算，當形心距小于規定距離時不進行布爾運算，直接重新隨機生成纖維位置，這相當于過濾掉了部分隨機生成的新纖維，進而提出了考慮過濾的隨機順序吸附(Filter based Random Sequential Adsorption,FRSA)方法。然后，采用RVE生成算例驗證了方法的先進性。

1 BORSA方法

1) 生成第1根纖維fi(i=1)。隨機生成符合均布函數的纖維形心位置參數(x1,y1,z1)，隨機生成符合相應函數的取向參數(θ,φ)，并在模型中生成纖維。

3) 隨機生成纖維fi的參數(xi,yi,zi,θi,φi)。設定布爾運算次數T=0。

4)T=T+1，將纖維fi向(±L,0,0)，(0,±W,0)，(0,0,±H)，(±L,±W,0)，(0,±W,±H)，(±L,0,±H)，(±L,±W,±H)共26個方向復制。然后執行布爾運算：用27個新纖維fi減現有的i-1根纖維，當i-1根纖維的剩余體積小于(i-1)Vf時，表明纖維間有相交關系，進行步驟5)；當i-1根纖維的剩余體積等于(i-1)Vf時，認為纖維fi與纖維fj(j=1,2,…,i-1)均不相交，進行步驟6)。

5) 當T

6) 保存纖維fi的信息，返回步驟2)。

由上述過程可見，每生成一根纖維或對纖維進行一次平移，均需進行一次布爾運算。由于纖維位置是隨機生成的，其中必然存在新生成的纖維形心位置與現有纖維形心非常接近的情況，比如小于纖維直徑，此時的新纖維必然與現有纖維相交。如果通過設置過濾函數使得對這部分新纖維不需要進行布爾運算，則可以提高RVE生成速度。

2 FRSA方法

2.1 FRSA方法原理

為了實現纖維過濾，定義新生成纖維與現有纖維形心距最小值di為

di=min(dij)

(1)

式中：dij為纖維fi和fj的形心距離,定義為

(2)

并在進行布爾運算前判斷di是否小于一個常數dc(dc為臨界距離)。當di

2.2 臨界距離dc對FRSA方法的影響

空間中2個纖維的距離dij存在2個特殊情況：

1) 當dij=D時，以fi形心為球心的纖維內切球體與以fj形心為球心的纖維內切球體相外切，如圖1所示。

根據上述2種情況可以將纖維之間的相交關系分為必然相交、必然不相交和可能相交3種情況：

1) 當0≤dij

則dc的取值會導致4種過濾狀態：

1) 當0

圖1 fi內切球體與fj內切球體相外切Fig.1 Circumscribed inner spheres of fi and fj

圖2 fi外切球體與fj外切球體相外切Fig.2 Circumscribed outer spheres of fi and fj

2) 當dc=D時，過濾掉的fi是一定與fj相交的，并且一定與fj相交的fi均被過濾掉。

由上述分析可知，如果dc

2.3 FRSA方法步驟

FRSA方法將生成RVE的步驟4)改為：計算fi與fj(j=1,2,…,i-1)形心距的最小值di。當di

需要指出的是，為了避免降低計算效率，上述方法中計算di時沒有對跨邊界纖維進行特別處理。

3 FRSA方法先進性驗證

3.1 典型參數下的FRSA方法先進性驗證

考慮到過濾法是通過減少布爾運算次數提高建模效率的，圖3給出采用BORSA方法和FRSA方法，各生成1個RVE模型時，生成每根纖維的布爾運算次數。

采用2種方法各生成10個RVE。計算生成一個RVE的總布爾運算次數，并對10個RVE取平均值，可知BORSA方法和FRSA方法生成一個RVE的平均布爾運算次數分別為87.5和61.8次，改進后FRSA方法布爾運算次數降為BORSA方法的70.6%。

建模效率的最好指標是建模時間。比較2種方法各生成10個算例的總時間，發現BORSA方法耗時1 079 s，改進后FRSA方法耗時921 s，可見建模時間降為原方法的85.4%，明顯提高了RVE的建模效率。

采用FRSA方法生成的一個RVE如圖4所示，可以用來進行后續的材料性能分析。

圖3 改進前后2種方法在一個RVE算例中每根纖維的布爾運算次數Fig.3 Number of Boolean operation times per fiber in one RVE example with two methods before and after improvement

3.2 RVE參數和方法參數對FRSA方法先進性的影響

圖4 FRSA方法生成的RVEFig.4 RVE generated with FRSA method

表1 不同情況下的RVE建模效率對比Table 1 Comparison of RVE modeling efficiency for

3.2.2dc對建模效率的影響

分別計算2種方法生成一個RVE所需時間的比值t′/t″，并對10次模擬數據取平均值，結果如表2所示。

3.2.3AR對建模效率的影響

取AR=4、6和8 3種情況分別進行RVE生成模擬，以驗證FRSA方法在不同AR取值下的改進效果。RVE建模所需時間的比值的10次模擬平均值如表3所示。

結合表1、表2和表3，AR=4、6和8 3種情況下結果可見，FRSA方法生成RVE的用時比BORSA方法均有所減少，驗證了FRSA方法在不同AR取值下均具有先進性。并且，相同的dc取值條件下，AR取值越小,建模時間減少越明顯，建模效率提高的程度越大。AR取值越大,建模效率改進效果降低，是因為在相同dc取值條件下，當AR取值增大時，臨界距離dc與纖維外切球直徑的比值減小，導致過濾程度降低，從而導致了方法改進效果的下降。

表2 不同dc情況下的RVE建模時間比Table 2 Ratios of RVE modeling time for various dc

表3 不同AR情況下的RVE建模時間比Table 3 Ratios of RVE modeling time for various AR

4 結 論

本文通過在BORSA方法進行布爾運算前引入纖維形心距判斷，過濾掉大量可能與已存在纖維相交的新纖維，提出了FRSA方法。在不同RVE參數和方法參數下對比了2種方法的纖維布爾運算次數和建模時間，證明了FRSA方法的先進性。主要結論如下：

1) 依據形心距可將纖維位置關系分為必然相交、必然不相交和可能相交3種情況。

2) 可通過纖維形心距判斷，過濾掉所有必然相交和部分可能相交的纖維。

3) FRSA方法能夠提高RVE的建模效率，且效率提高程度隨纖維體積分數增大而增加，隨纖維長徑比增大而減少。

4) 增大臨界形心距可以增加改進效果，但是更易出現纖維擁塞現象。