磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的比較分析*

遲 鋮,呂俊偉

(1.海軍潛艇學(xué)院,山東 青島 266199; 2.海軍航空大學(xué),山東 煙臺(tái) 264001)

現(xiàn)代艦船大多由鋼鐵材料制成,放置于地磁場(chǎng)中,不可避免地會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)磁性,因此可以通過對(duì)目標(biāo)磁場(chǎng)的測(cè)量來對(duì)艦船目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)、識(shí)別和定位。磁探測(cè)[1]作為一種被動(dòng)的目標(biāo)探測(cè)方法,具有隱蔽性好、定位精度高等特點(diǎn),是探測(cè)艦船目標(biāo)的重要手段,已經(jīng)成為各國海軍研究發(fā)展的重點(diǎn)。目前常用的磁場(chǎng)探測(cè)方法主要有:磁場(chǎng)總場(chǎng)以及分量場(chǎng)探測(cè)、磁場(chǎng)總場(chǎng)梯度探測(cè)、磁梯度張量探測(cè)等。

磁梯度張量探測(cè)[2]最大的優(yōu)點(diǎn)是能克服地磁場(chǎng)的干擾,提高目標(biāo)的定位精度。目前常用的磁梯度張量系統(tǒng)主要由超導(dǎo)磁力儀[3]、磁通門磁力儀組成。磁通門磁力儀具有價(jià)格低、實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注,目前較為常見的基于磁通門磁力儀的磁梯度張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式主要有十字形[4-5]、三角形[6]、正方形、正六面體[7-8]等,文獻(xiàn)[9]采用磁偶極子模型對(duì)不同結(jié)構(gòu)形式的磁梯度張量系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析,但是磁偶極子模型是簡(jiǎn)化模型,文獻(xiàn)[10]指出近距離時(shí),磁偶極子模型不能成立,本文采用更接近艦船目標(biāo)磁場(chǎng)的橢球體與磁偶極子陣列混合模型[11-12]對(duì)幾種典型結(jié)構(gòu)形式的磁梯度張量系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析,并對(duì)影響測(cè)量精度的因素進(jìn)行分析。

1 磁梯度張量

磁梯度張量的定義為磁場(chǎng)三分量沿著空間三個(gè)方向的變化率,即

G=B=

(1)

在沒有空間電流的區(qū)域,磁場(chǎng)的散度和旋度都為零,因此可得如下關(guān)系:

(2)

由上式可得磁梯度張量九個(gè)分量中只有五個(gè)分量是獨(dú)立的。

2 橢球體與磁偶極子陣列混合模型

首先利用橢球體模型對(duì)艦船目標(biāo)中均勻磁化鐵磁物質(zhì)產(chǎn)生磁場(chǎng)進(jìn)行模擬,利用磁偶極子陣列對(duì)艦船目標(biāo)的局部磁場(chǎng)進(jìn)行模擬。橢球體與磁偶極子陣列混合模型如圖1所示,設(shè)一個(gè)長半軸為a,短半軸為b的繞長半軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體,磁化強(qiáng)度為M,坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置于橢球體的中心點(diǎn)位置處,設(shè)有N個(gè)磁偶極子位于橢球體長軸的軸線上,間隔距離為d。

圖1 橢球體與磁偶極子陣列混合模型

橢球體模型產(chǎn)生磁場(chǎng)如式(3)所示:

(3)

式中，

位于(xi,0,0)的第i個(gè)磁偶極子在(x,y,z)坐標(biāo)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

(4)

式中,ri=(x-xi,y,z)為第i個(gè)磁偶極子指向測(cè)量點(diǎn)的距離矢量,mi為第i個(gè)磁偶極子的磁矩。

橢球體與磁偶極子陣列混合模型的磁場(chǎng)為橢球體磁場(chǎng)與N個(gè)磁偶極子產(chǎn)生磁場(chǎng)的矢量合成,由上述磁場(chǎng)的三個(gè)分量分別對(duì)x、y、z三分量求偏導(dǎo)即可得到磁梯度張量的理論值。

3 磁梯度張量系統(tǒng)

磁梯度張量系統(tǒng)的工作原理為利用相鄰兩個(gè)三軸矢量磁力儀的差值與矢量磁力儀之間距離的比值來近似求取磁梯度張量。差分計(jì)算公式如下:

(5)

式中,ΔBi為兩個(gè)矢量磁力儀i分量之間的差值,Δrj為兩個(gè)矢量磁力儀在j方向之間的距離差值,該距離定義為系統(tǒng)的基線距離。

不同的磁梯度張量系統(tǒng)的示意圖及磁梯度張量的計(jì)算公式如下所示。

3.1 十字形磁梯度張量系統(tǒng)

十字形磁梯度張量系統(tǒng)由四個(gè)磁通門磁力儀組成,系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2所示,1號(hào)與3號(hào)磁力儀位于x軸上,2號(hào)與4號(hào)磁力儀位于y軸上。

圖2 十字形磁梯度張量系統(tǒng)

根據(jù)差分方程(5),可得十字形磁梯度張量系統(tǒng)的計(jì)算公式如下:

(6)

式中,Bx1代表標(biāo)號(hào)為1的磁力儀所測(cè)量的x分量,d為系統(tǒng)基線長度,即同一坐標(biāo)軸方向上的兩個(gè)磁力儀之間的距離,十字形磁梯度張量系統(tǒng)不能測(cè)量磁梯度張量的全部九個(gè)分量,?所表示的分量可由式(2)求解得到。

3.2 三角形磁梯度張量系統(tǒng)

三角形結(jié)構(gòu)所需要的磁通門磁力儀的數(shù)量最少,系統(tǒng)誤差也相對(duì)較少,因此成為研究的熱點(diǎn)。三角形測(cè)量系統(tǒng)由三個(gè)磁通門磁力儀組成,分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。其磁梯度張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 三角形磁梯度張量系統(tǒng)

根據(jù)差分方程(5),三角形磁梯度張量系統(tǒng)的計(jì)算公式如式(7)所示：

(7)

式中,Bx1代表標(biāo)號(hào)為1的磁力儀所測(cè)量的x分量,d為系統(tǒng)基線長度,即等邊三角形的邊長,?所表示的分量可由式(2)求解得到。

3.3 正方形磁梯度張量系統(tǒng)

正方形磁梯度張量系統(tǒng)由四個(gè)磁力儀組成,分別位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處,而正六面體磁梯度張量系統(tǒng)的每個(gè)平面可以看作一個(gè)正方形磁梯度張量系統(tǒng),因此本文以正方形結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行分析,正方形結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

圖4 正方形磁梯度張量系統(tǒng)

原點(diǎn)o處的磁梯度張量值為

(8)

式中，Bx1代表標(biāo)號(hào)為1的磁力儀所測(cè)量的x分量,d為系統(tǒng)基線長度,即正方形的邊長,?所表示的分量可由磁梯度張量的對(duì)稱性和無跡性求得。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真條件設(shè)定如下,建立如圖1所示的坐標(biāo)系,混合模型中的橢球體長半軸設(shè)為10 m,短半軸設(shè)為4 m,磁化強(qiáng)度的大小為1 A/m,在橢球體長軸的軸線上布置7個(gè)磁偶極子,相鄰磁偶極子間的距離為3 m,磁偶極子的磁矩為(50,20,-50) Am2,磁梯度張量系統(tǒng)的基線距離為0.5 m,磁力儀的精度為0.1 nT,仿真實(shí)驗(yàn)時(shí),將磁梯度張量系統(tǒng)從點(diǎn)(-15,1,5)出發(fā),沿著x軸正方向,每隔1 m取一個(gè)點(diǎn),測(cè)量得到的磁梯度張量Frobenius范數(shù)的測(cè)量誤差如圖5所示。

圖5 磁力儀精度為0.1 nT、基線距離為0.5 m時(shí)的仿真結(jié)果

由圖5可得,十字形磁梯度張量系統(tǒng)與正方形磁梯度張量系統(tǒng)的誤差相對(duì)較小,最大的測(cè)量誤差不超過1.5 nT/m,三角形磁梯度張量系統(tǒng)的誤差最大,最大的測(cè)量誤差超過3 nT/m。

仿真分析當(dāng)磁力儀精度變?yōu)?.01 nT時(shí),基線距離為0.5 m時(shí),不同磁梯度張量系統(tǒng)的Frobenius范數(shù)測(cè)量誤差如圖6所示。

由仿真結(jié)果可得,隨著磁力儀精度的提高,測(cè)量誤差的波動(dòng)變小,十字形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量結(jié)果最優(yōu),測(cè)量誤差的最大值為1.2 nT/m,正方形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量誤差最大值為1.4 nT/m,三角形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量精度最低,測(cè)量誤差最大值為2.8 nT/m。

仿真分析當(dāng)系統(tǒng)基線距離變?yōu)? m時(shí),磁力儀的測(cè)量精度為0.1 nT,不同磁梯度張量系統(tǒng)的Frobenius范數(shù)測(cè)量誤差如圖7所示。

圖6 磁力儀精度為0.01 nT、基線距離為0.5 m時(shí)的仿真結(jié)果

圖7 磁力儀精度為0.1 nT、基線距離為1 m時(shí)的仿真結(jié)果

由仿真結(jié)果可得,基線距離增加到1 m之后,不同結(jié)構(gòu)形式的磁梯度張量系統(tǒng)都出現(xiàn)了較大的測(cè)量誤差,十字形磁梯度張量系統(tǒng)測(cè)量誤差的最大值為4.7 nT/m,正方形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量誤差最大值為5.4 nT/m,三角形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量誤差最大值為5.7 nT/m。

為了更直觀地看出不同系統(tǒng)的測(cè)量誤差的大小,根據(jù)相對(duì)誤差計(jì)算公式：

(9)

式中,‖Gm‖F(xiàn)為實(shí)測(cè)值的Frobenius范數(shù),‖Gt‖F(xiàn)為理論值的Frobenius范數(shù),n為采樣點(diǎn)數(shù),利用式(9)得到不同磁梯度張量系統(tǒng)的相對(duì)測(cè)量誤差對(duì)比表如表1所示。

由表1可得,十字形磁梯度張量系統(tǒng)的相對(duì)測(cè)量誤差最小,正方形磁梯度張量系統(tǒng)的相對(duì)測(cè)量誤差略大于十字形磁梯度系統(tǒng)的相對(duì)測(cè)量誤差,三角形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量相對(duì)誤差最高,隨著磁力儀精度的提高,不同結(jié)構(gòu)形式的磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量誤差都減小,隨著基線距離的增大,測(cè)量誤差都增大。

表1 不同磁梯度張量系統(tǒng)相對(duì)測(cè)量誤差對(duì)比表

5 結(jié)束語

本文首先介紹了常見的幾種磁梯度張量系統(tǒng),接著利用更符合實(shí)際艦船磁場(chǎng)的橢球體與磁偶極子陣列混合模型對(duì)不同結(jié)構(gòu)形式的磁梯度張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)誤差進(jìn)行仿真分析。通過分析可得,十字形磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)最優(yōu),正方形結(jié)構(gòu)次之,三角形磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量誤差最大,但是三角形結(jié)構(gòu)具有所需磁力儀最少,且需要校正的系統(tǒng)誤差最少等優(yōu)點(diǎn),因此需要結(jié)合實(shí)際情況來對(duì)磁梯度張量系統(tǒng)的搭建進(jìn)行選擇。仿真分析得到磁梯度張量系統(tǒng)的測(cè)量誤差隨著磁力儀精度的提高、基線距離的減小而減小,本文的研究結(jié)果可為后續(xù)的磁梯度張量系統(tǒng)的搭建提供理論參考。