基于幾何計算的CT系統參數標定研究

侯燕

摘 要：本文在合理的假設下對二維CT系統進行參數標定，通過CT重建算法重現物體。主要解決了探測器單元之間的距離、旋轉中心在正方形托盤中的位置以及該CT系統使用的X射線的180個方向參數標定的問題。首先，利用CT系統旋轉時的三種特殊情況下的各自探測器單元的間距的平均值求出探測單元間的間距為0.2786mm。其次，考慮有特殊的探測單元必過旋轉中心，求出此探測單元與坐標原心的距離，結合探測單元之間的間距，寫出表達式，得其位置為（﹣1.3800，﹣1.9320）。最后，通過計算不同方向X射線與x軸的夾角，來表示其方向。

關鍵詞：CT系統； 參數標定；幾何計算

社會的需要是技術發展的動力。CT技術自產生以來，廣泛應用于醫療、軍事、安檢等多個領域。計算機斷層掃描成像技術（CT）系統運行原理是對發射器的X射線經過待重建物體后強度變化的信息進行采集，進而運用對應的成像算法進行圖像重建，得到具有物體內部信息的像素灰度圖[1]。

1 探測單元距離求解

已知探測器中的每一個單元等距排列。通過分析CT系統的旋轉投影規律，可從CT系統的X射線垂直于所建坐標系的x軸和垂直于所建坐標系的y軸兩個方向分析和求探測單元之間的距離。

當CT系統的X射線垂直于所建坐標系的x軸時，探測器的投影情況可分為橢圓和小圓兩種情況進行分析，如圖1所示。

當X射線垂直于所建坐標系的x軸時，根據小圓的投影情況來計算單元之間的距離，從而得出探測單元之間的距離可由圖1中的小圓的直徑d1除以數據中探測器得到數據的探測單元的個數m1 ，可以得到探測單元之間的距離X1：

通過MATLAB 編程，從相關數據中找出最大值141.7794 ，其所在位置為第151（EU ）個方向，第223 個探測器。此處位置從數據中可知，直面照射小圓得到有數據的探測單元個數m1 為29，且已知小圓的直徑d1 為8.0000mm ，從而代入上式求得探測單元之間的距離：

2 CT系統旋轉中心求解

結合CT系統的工作原理和已知數據的分析，旋轉中心在正方形托盤中的位置的求解過程如下：

（1）首先，確定旋轉中心。結合相關信息，圖像面積可用探測單元的180個方向的數值累加求得。用MATLAB 編程可得在第228個探測單元所求得的圖像面積最大。所以第228個探測單元必過旋轉中心。

（2）其次，理想的CT系統的旋轉中心應在被投影物體的中心。但在CT系統運作過程中，探測系統要旋轉，存在機械誤差，因此會發生偏轉。所以在計算旋轉中心在正方形托盤中的位置時，需要借助坐標系，已知x軸，y 軸分別對應的探測單元，設旋轉中心在正方形托盤中的位置為點（x，y） ，分別計算出旋轉中心到x 軸，y 軸的距離，再利用已求得的探測單元之間的距離，即可求得x，y 的值。求解如下：

a.計算x 的值，y 軸對應于探測器中的第223 個探測單元，離第228個探測單元必過的旋轉中心有5個探測單元的距離，且在y 軸的左邊，故x 的值：

b.計算y 的值，x軸對應于探測器中的第235個探測單元，離第228個探測單元必過旋轉中心有7個探測單元的距離，且在x軸的下方，故y 的值：

故旋轉中心在圖1的位置坐標為（﹣1.3800，﹣1.9320），如圖2所示：

3 X射線180個方向求解

設每一個方向X 射線與x軸的夾角為 ，轉動變化次數Ci（i=1，2，…，180） 。具體步驟如下：

（1）首先，計算出每一次轉動 X射線與x 軸的夾角變化的角度。X 射線與x 軸的夾角分別為270°和180°，表示為θ151 和θ61 ，假設每次旋轉角度變化是均勻變化的。每一次轉動方向， X射線與x 軸的夾角變化的角度△θ 等于整個發射-接收系統繞旋轉中心逆時針旋轉過程中轉動的角度△θ 除以方向變化的次數Ci ，即每一次轉動角度變化的表達式為：

其次，解出初始位置X射線與x 軸的夾角θ1 。從初始位置到末位置轉動了60次，故初始位置X射線與x軸的夾角為：

把數值代入上式，求得初始位置X射線與x軸的夾角為：

最后，求出每一個方向 X射線與x 軸的夾角θi（i=1，2，…，180）。

結論：

在本文參數標定中，根據不同的幾何參數選取不同的投影方向和表達方式，針對性強且誤差較小。尤其是在計算探測單元之間的距離時，分析CT系統的三種不同情況，求其平均值，以此減小機械誤差。同時，在尋找旋轉中心時，利用平行束CT系統的特性，即必有一個探測單元對應的X射線在旋轉中一直垂直于旋轉中心，來確定旋轉中心，避免了插值擬合帶來的誤差，得到旋轉中心的偏移量更客觀合理。

參考文獻：

[1] 饒松. 工業X射線CT用ART算法圖像重建及誤差分析[D].蘭州大學，2016：3-5

[2] 盧彥斌. X射線CT成像技術與多模態層析成像技術研究[D].北京大學，2012.