基于優化K-GM(1，1)在橋梁變形預測中的應用研究

羅少歡，豆紅磊

(1.珠海市測繪院，廣東 珠海 519000； 2.湘潭大學土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105)

1 引 言

變形監測是對監視對象或物體進行測量，以確定其空間位置隨時間的變化特征[1]。橋梁工程變形監測是為了及時了解在施工過程中支護結構和鄰近建(構)筑物的變形規律及動態發展趨勢，并對橋梁體系的穩定性、可靠性和安全性進行預測預報。分析變形監測的方法很多[2～5]，其中灰色系統GM(1，1)模型[6]以其顯著的優勢被廣泛應用于變形監測中，并取得了顯著的效果。文獻[7]指出，在穩定的數據序列中，采用傳統GM(1，1)模型預測，可以很好地反映數據序列的變化趨勢。文獻[8]指出傳統GM(1，1)模型，數據序列初始值過舊導致預測精度不高，采取更新數據序列的初始值對傳統模型進行了改進，建立新陳代謝GM(1，1)模型，雖然驗證了方法的可行性，但是對于原始序列呈現波動較大的情況下，依然存在問題。文獻[9～11]基于傳統GM(1，1)模型建模機理，從原始序列、初始值、背景值等方面對其優化，但該方法對含噪聲較大的數據擬合精度并不高。卡爾曼濾波是一種能夠從觀測量中估計出所需數據信號的濾波算法，對數據具有消噪和平滑作用，能對動態系統進行實時數據處理，該濾波最大的特點是剔除隨機干擾噪聲[12]。本文參考了文獻[13，14]的設計思路，利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪能力，對原始數據進行濾波降噪處理，基于灰色模型建模機理，分別對濾波后的初始值、背景值進行優化，建立了基于K-GM(1，1)模型，以角比西大橋沉降監測數據進行預測分析，并與傳統GM(1，1)模型進行對比，工程實例分析表明，基于優化K-GM(1，1)模型的預測精度高于傳統GM(1，1)模型，為以后同類橋梁變形監測提供參考。

2 模型分析

2.1 卡爾曼濾波模型

不考慮控制作用，離散系統卡爾曼濾波方程可表示為：

(1)

式中：Xk是系統的n維狀態序列；Zk是系統的m維觀測序列；Wk-1是p維系統過程噪聲序列；Vk是m維觀測噪聲序列；Φk，k-1是系統的n×n維狀態轉移矩陣；Γk，k-1是n×p維噪聲輸入矩陣；Hk是m×n維觀測矩陣。系統過程噪聲和觀測噪聲的統計特征為：

(2)

式中：Qk是系統過程噪聲Wk的p×p維對稱非負定方差矩陣；Rk是系統觀測噪聲Vk的m×m維對稱正定方差矩陣；δkj是Kronecker-δ函數。

狀態一步預測：

(3)

狀態估計：

(4)

2.2 傳統GM(1，1)模型的建立

(3)建立影子方程

(5)

式中參數a為發展系數，反映x的發展趨勢；b為灰作用量，反映數據間的變化關系。

(6)

(7)

(5)對式(7)進行累減，得到原始序列x(0)的還原式：

(8)

2.3 優化GM(1，1)模型[15]

2.4 GM(1，1)模型的精度檢驗

為判斷GM(1，1)模型進行預測的可靠性，需要對模型精度進行檢驗，常用的灰色預測模型檢驗方法一般有殘差檢驗合格模型、均方差比合格模型和小誤差概率合格模型。

(1)殘差檢驗合格模型

殘差序列：

(9)

相對誤差序列：

(10)

(2)均方差比和小誤差概率合格模型

分別為殘差的均值、方差。

精度檢驗等級參照表 表1

3 實例分析

角比西大橋位于蘇洼龍水電站工程區上游角比西村溝口上游約 500 m處。主橋設計為三跨預應力混凝土連續鋼構橋，3號4號橋墩為主橋橋墩，承臺高 73 m。以2017-8-1～2017-8-9監測點實測數據為例，選取具有代表性的CT3監測點9期數據進行分析，第一步對原始序列進行卡爾曼濾波降噪處理，第二步對處理后的數據按照文獻[15]對初始值、背景值進行改進，建立優化的K-GM(1，1)模型，最后以前5期監測數據作為建模數據，后4期數據進行模型預測，并與傳統GM(1，1)模型預測結果對比，分析監測點CT3的沉降變化趨勢，兩種模型對監測數據擬合預測結果如表2所示。其中實際觀測數據為累計沉降值，單位為mm。

監測點CT3擬合預測結果檢驗表 表2

在沉降監測建模過程中，卡爾曼濾波模型認為監測點位移速度的均值不變，并在濾波中將監測點的位置及其位移速度作為狀態參數，將唯一加速度視為動態噪聲[16]，設tk時刻監測點的位移量為xk，位移速度向量為uk，位移加速度為Wk，則卡爾曼濾波方程為：

(11)

其中△tk=tk-tk-1，式中，I為單位矩陣，當其為一維向量時I=1。本文取初始參數Qk=1，Rk=1，初始狀態向量X0=[2.06，0]T初始估計誤差協方差陣為P0=[0.01，0；0，0.001]，利用Matlab編程[17]并執行卡爾曼濾波，計算結果如表2所示，單位為mm。

監測點CT3的預測效果精度評定表 表3

圖1 CT3實測值與擬合預測值對比圖

圖2 CT3兩種模型的殘差曲線

4 結 論

(1)本文通過用卡爾曼濾波對原始沉降數據進行降噪處理，基于灰色模型建模機理，對降噪后的數據序列分別進行初始值和背景值的優化，建立優化的K-GM(1，1)模型，并與傳統GM(1，1)模型進行對比分析，確定了優化的K-GM(1，1)模型應用于橋梁變形監測的可行性。

(2)結合工程實例分析，兩種模型預測值與實測值的殘差基本都在零附近波動，優化的K-GM(1，1)模型精度高于傳統灰色模型，更具有動態變形的適應性，提高了橋梁變形預測與變形分析的可靠性。