例談求參數(shù)范圍問題中邊界值的取否

張輝

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2019）03-0147-01

高中數(shù)學(xué)的問題中，有一類題目我們認(rèn)真做完以后感覺肯定是對的，但結(jié)果往往與正確答案差之毫厘，那就是求參數(shù)的取值范圍問題，這種問題涵蓋了高中數(shù)學(xué)的主干知識，涉及函數(shù)、不等式等重點(diǎn)和難點(diǎn)知識，正因如此，我們都很重視，但在實(shí)際的做題過程中，我們往往會得到一個和結(jié)果差不多的答案，最大的差別就是和正確答案在邊界值的是否可取上，其實(shí)這是最可惜的，為什么信心滿滿的我們會做出一個與正確答案差之毫厘的結(jié)果，那么這種問題是如何產(chǎn)生的？我們怎樣做才能避免這種錯誤呢？下面，我想結(jié)合具體的實(shí)例來加以明確的分析。

例一：已知點(diǎn)P在曲線y=x3-3x+1上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處的傾斜角為α，則α的取值范圍是.答案：[0，π2）∪[2π3，π）.

這道題在實(shí)際解題過程中，同學(xué)們出現(xiàn)的錯誤答案有好多種，錯誤率較多的如：（0，π2）∪[2π3，π），（0，π2）∪[2π3，π]，（0，π2]∪[2π3，π]等，比較一下正確答案和同學(xué)們的錯誤答案，很明顯發(fā)現(xiàn)都是因?yàn)檫吔缰档娜》瘢敲醋屑?xì)分析了一下造成這種錯誤的原因，很明顯能夠得到這個錯誤答案就根本不是該題目是否會做的問題，而是對于基礎(chǔ)知識，基本概念掌握不牢所導(dǎo)致的，同學(xué)們對于直線傾斜角的范圍是[0，π）這個知識點(diǎn)掌握不牢產(chǎn)生了錯誤，因此，要想避免這種錯誤就必須要扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識.

例二：已知函數(shù)f（x）=1mx2+mx+1的定義域?yàn)镽，則m的取值范圍是.答案：[0，4）.

本題主要錯誤答案有：（0，4）（錯誤率最高），[0，4].

本題同學(xué)們出現(xiàn)這種邊界值錯誤的原因主要是因?yàn)榭紤]問題不周到，根號里面mx2+mx+1，這個形式不一定是二次的，需要分情況討論，而同學(xué)們往往先入為主，看到這種形式就直接當(dāng)做二次來求解，從而導(dǎo)致錯誤，還有第二個問題就是在考慮V時(shí)，到底是V<0還是V≤0，往往同學(xué)們分辨不清，甚至還有同學(xué)認(rèn)為是V>0，V≥0，出現(xiàn)此類錯誤主要是對這種問題的模糊認(rèn)知，見大忘小.要想杜絕這種錯誤，那么在做題的時(shí)候一定要多留一個心眼，多考慮一下細(xì)節(jié)！

例三：對任意的x∈（-4，1），的不等式x2-4a（x-2）<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：a≤-23.

本題80%的錯誤答案都是a<-23，為何都不取等號，分析原因我覺得還是對于題目的理解不夠深刻，由于是關(guān)于二次函數(shù)的恒成立問題，所以一般選擇最值計(jì)算（其他函數(shù)首選參變分離），函數(shù)小于零恒成立，只要他的最大值小于零即可，這里開口向上，所以最大值在端點(diǎn)取，代入計(jì)算求不等式解集即可，從而得到a<-23這個錯誤答案，其實(shí)就整個題目的分析過程，很完美，那究竟錯在哪個地方呢？其實(shí)代入的時(shí)候，就是對這種問題的理解不深，由于條件中x的兩個邊界值都取不到，因此函數(shù)在該區(qū)間上的最大值也是取不到的，所以代入計(jì)算時(shí)就是最大值小于等于零.

例四：已知函數(shù)f（x）=Inx+2ax，a∈R.若f（x）在的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案：（-∞，1].

變式：已知函數(shù)f（x）=Inx+2ax，a∈R.若f（x）在的單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案：（-∞，1].

這兩個題目條件有些許的變化，但是對結(jié)果卻沒有任何影響，但許多同學(xué)的錯誤答案都是（-∞，1].究其錯誤的原因主要在問題轉(zhuǎn)化時(shí)產(chǎn)生的偏差，這是由于我們對該問題和該知識的理解不到位所產(chǎn)生的.課本上利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間步驟如下：求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）>0，求出該不等式在定義域內(nèi)的解集即是該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，這個知識點(diǎn)是函數(shù)的重點(diǎn)知識，也是高中函數(shù)的必備和必考知識，因此同學(xué)們就在反復(fù)的演練中根深蒂固于自己的腦海，因此在本題中，這種根深蒂固就變成了函數(shù)在[2，+∞）上遞增，所以f′（x）>0對于任意的x∈[2，+∞）恒成立，從而得到上面錯誤的答案. 其實(shí)如果仔細(xì)思考，認(rèn)真領(lǐng)悟，單調(diào)區(qū)間在邊界點(diǎn)取與不取都是正確的，如前面三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是寫成閉區(qū)間，所以對于求單調(diào)區(qū)間而言，邊界值取與不取只需看定義域；反過來，針對本題，已知函數(shù)的在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于零恒成立，因此我們做這些題目時(shí)不能想當(dāng)然的一知半解，必須在平時(shí)的學(xué)習(xí)中充分體會和領(lǐng)悟知識的內(nèi)涵和知識點(diǎn)之間的關(guān)系，才能突破這些難點(diǎn)，達(dá)到會且對的效果.

當(dāng)然，在實(shí)際的做題過程中，我們還會犯諸如看錯題目：把“≥”看成“>”，造成邊界值沒有取得的錯誤；還有在謄抄答案時(shí)將“≥”抄錯成“>”這樣的尷尬錯誤，因此認(rèn)真審題和細(xì)致答題這個做題的萬能法寶我們時(shí)刻不能丟！

對于求參數(shù)的取值范圍這樣的問題，在實(shí)際解答的過程中，我們需要細(xì)心和專心，結(jié)合多個視角、多個側(cè)面來深入思考、分析、作答，如函數(shù)本身的性質(zhì)、題目的特定要求以及隱含的種種要素，如果真的不好判斷的話有些問題我們還可以直接將邊界值代入進(jìn)行驗(yàn)證是否滿足. 這樣，碰到關(guān)于這一類題型的問題我們就可以做到不留遺憾，百戰(zhàn)百勝！