齒輪齒條的邊界仿真與定位

王嘉琦，李東平，康賀磊，李 萌，師艷麗

(長春師范大學數學學院，吉林長春 130032)

1 研究背景

在現代電子、電氣技術高度發達的今天，齒輪傳動生產在飛機、輪船、汽車和機床等機械工業領域占有相當大的比重，但相關設計加工一直是制造業的難點。

在齒輪齒條的機械加工過程中，首先要定位，即在機床上獲得一個正確位置。工件的加工就是從定位后的原件表面切割下一部分金屬，如果工件不能正確定位，則切割就會偏離正確位置，導致工件無法按原計劃加工或打磨。因此，在進行工件加工過程中，合理地選擇定位基準對工件加工的尺寸精度和相互位置精度具有重要的影響。本文基于齒輪齒條加工過程中碰到的實際問題，在使用伺服電機驅動加工齒輪工件的過程中對工件的邊界和拐點進行準確模擬定位。建立仿真模擬算法，通過自動檢測實現工件的定位和刀具的加工方向來完成切削、打磨、拋光具有重要的意義，也是未來數控技術的發展趨勢[1]。

2 邊界定位識別算法——試探法

齒輪工件通常是在標準圓形工件的基礎上加工而成，而圓型工件的橫截面的位移軌跡通常呈三角函數形狀[2]，可設其方程為：

(1)

該方程也稱為齒面基本方程。其中，f(x)表示第x結點處的位移，n為工件旋轉一周位移傳感器所采集的結點總數，A、B、C為待定常數。一旦獲得圓型工件的位移傳感數據，利用最小二乘方法[3]即可直接得到A、B、C的值。

齒輪齒條的邊界由圓形截面和切削面構成，所測量的位移數據也因此由圓面位移數據和切削面的位移數據構成，并呈交錯狀態，其中關鍵結點為交錯結點，如圖1所示(某真實齒輪齒條的位移數據圖像)。

文獻[2]利用二次曲線擬合來獲得切削面的函數方程，然后通過求解非線性方程組來確定關鍵結點。但在工件的再加工過程中，切削面并不完全規則或光滑，所測得的位移數據偏差較大，進而導致獲得的關鍵結點產生偏差。為了克服這一困難，本文建立確定關鍵結點的另一類算法——試探法。

圖1 齒輪齒條的位移圖像

圖2 擬合函數和實測位移圖像

試探法的基本思想是先確定一個關鍵結點的分界點m(通常取位移數據值的最小值坐標)，其中m將整個位移區間分成兩部分，分別為[1,m]和[m,n]。從左區間[1,m]的右端點出發，按某個預定的步長h一步一步地向左跨，每跨一步，進行一次關鍵結點的探索，即檢查在結點m-k·h上的函數值f(m-k·h)與測量位移xm-k·h的誤差。一旦發現誤差大于預定的值ε，則需要在縮短步長(通常取原步長的一半)的基礎上再次判斷，以此往復，直至步長為1，左關鍵結點即為當前結點。右關鍵結點的選取方式類似上述過程，僅僅是移動方向不同，這里不再贅述。下面僅列出計算左關鍵結點試探法的計算步驟。

步驟1 輸入位移數據X=[x1,x2,…,xn]，步長h，精度ε，整數m1和m2。

步驟2 計算[M,m]=min(X)。

步驟3 利用位移數據X(m-m1:m-m2)擬合三角函數(1)的表達式。

步驟4 計算k=[(m-m1)/h]，i=m-m1-h，%[.]表示取整。

步驟5 判斷，若abs(f(i)-X(i))<=ε，則i=i-h，循環往復。

若i<1，則無左關鍵結點；否則若abs(f(i)-X(i))>ε，則左關鍵結點位于區間[i,i+h]，那時作如下判斷：

(Ⅰ)取a=i,b=i+h,c=[(a+b)/2]，若abs(f(c)-X(c))<=ε，取b=c，則左關鍵結點位于區間[a,b]內；若abs(f(c)-X(c))>ε，取a=c，則左關鍵結點位于區間[a,b]內。

反復執行過程(Ⅰ)，直至[a,b]長度縮小到允許誤差范圍之內。此時c=[(a+b)/2]，可作為左關鍵結點的坐標。

類似地，可寫出右關鍵結點的計算步驟，其中算法中的前三步與上述過程相同，其余步驟列舉如下：

步驟4’ 計算k=[(n-m-m2)/h]，i=m+m2+h，%[.]表示取整。

步驟5’ 判斷，若abs(f(i)-X(i))<=ε，則i=i+h循環往復。

若i>n，則無右關鍵結點；否則若abs(f(i)-X(i))>ε，則右關鍵結點位于區間[i-h,i]，那時作如下判斷：

(Ⅱ)取a=i-h,b=i,c=[(a+b)/2]，若abs(f(c)-X(c))<=ε，取a=c，則左關鍵結點位于區間[a,b]內；若abs(f(c)-X(c))>ε，取b=c，則左關鍵結點位于區間[a,b]內。

反復執行過程(Ⅱ)，直至[a,b]長度縮小到允許誤差范圍之內，此時c=[(a+b)/2]可作為右關鍵結點的坐標。

上述算法的優點是計算簡便，且收斂性總能得到保證。下面利用圖1的位移數據來驗證算法的有效性。

3 仿真實驗

針對圖1所給出的某齒輪齒條工件的位移數據，借助MATLAB軟件編程實現試探算法對上述數據的仿真模擬。考慮到位移圖像的周期性，僅針對前1000個位移數據中的左右關鍵結點進行定位，其余關鍵結點可利用周期性直接獲得。

取m1=m2=250，根據最小二乘法算法，利用MATLAB軟件[4]可直接獲得函數(1)的擬合表達式，相關擬合系數為：

擬合圖像如圖2所示。圖3為擬合函數與原數據的誤差圖像。從圖3可以看出，擬合函數和實測位移對應部分幾乎重合，誤差幾乎在x坐標軸上，說明擬合效果較好，即三角函數可較為準確地描述圓型位移圖像的變化規律。

圖3 擬合函數和實測位移的誤差圖像

通過MATLAB軟件編程實現試探法對左右關鍵結點的定位，其中左關鍵結點的坐標為(133,1669)，右關鍵結點的坐標為(899,1950)，位置如圖4所示。從圖像可見，算法能準確確定工件的關鍵結點。

4 結語

本文構造了一類能夠確定齒輪齒條工件關鍵結點的定位算法——試探法。該算法具有穩定性和收斂性特點，能準確有效地識別工件的關鍵結點，從而實現準確定位。仿真實驗表明了算法的可靠性。