考慮間隙的擺彈機構動力學特性分析與仿真

富威，崔運山，吳瓊，李淵明

哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

艦炮供彈系統作為艦炮武器系統的重要組成部分，其供彈速率、多彈種兼容性以及穩定性和可靠性都直接影響了整個艦炮武器系統的作戰。而擺彈機構[1-2]在艦炮供彈系統中占有舉足輕重的地位。

由于裝配、加工誤差的存在及運動副之間運動的需要，實際擺彈機構中運動副之間必然留有間隙，而間隙會導致擺彈機構運動精度下降；并使擺彈臂在運動過程中產生一定程度沖擊和振動，進而影響整個機構的動態特性[3-5]。因此需要對含間隙的擺彈機構動力學特性進行分析，了解間隙對擺彈機構動力學特性的影響，為未來新型擺彈機構的具體設計提供依據。

1 含間隙的擺彈機構動力學模型

1.1 含間隙的擺彈機構模型簡化

為了研究運動副間隙對擺彈機構的動態特性的影響，需要對現有艦炮擺彈機構模型進行簡化，明確需要研究的含間隙的運動副數量和形式[4, 6-8]。由于擺彈機構的擺彈動作主要由曲柄、連桿、齒條和擺彈臂4部分參與，可將擺彈機構簡化為由該4部分組成的簡化機構模型。簡化后的擺彈機構原理圖如圖1所示。

圖1 含間隙的擺彈機構原理

由于曲柄與連桿以及連桿與齒條之間的聯接是用銷軸來實現的，因此這兩處的間隙較大，且對整個機構的運動特性的影響較為明顯(此處忽略了齒輪齒條安裝精度的影響)。由于齒條通過精密滾珠導軌與機架相連，運動時側向與運動方向間隙較小，因此忽略了齒條與機架之間的運動間隙。

1.2 坐標系與廣義坐標的選取

如圖2所示建立了艦炮擺彈機構的坐標系。為方便計算，建立了x-y和X-Y這2個坐標系，兩坐標系y軸夾角為30°。通過機構分析可知，該機構具有3個自由度w=3×6-2×7-1=3，擬采取曲柄與y軸的夾角α1，以及2個無質量桿件e1、e2與y軸的夾角α2、α4為廣義自由度。

圖2 含間隙的擺彈機構簡圖

在處理后的機構簡圖中：e1、e2分別為2個間隙的長度；s1、s2、s3、s4分別為曲柄、連桿、齒條和擺臂的質心；l1、l2分別為曲柄和連桿的長度；r為擺彈臂不完全齒輪的半徑；ls1、ls2、ls3、ls4分別是曲柄、連桿、齒條和擺臂質心到轉動起點的距離。主要研究對象為擺臂與豎直方向的夾角θ、擺臂角速度ω5、角加速度ε5與廣義自由度之間的關系。

2 考慮間隙的擺彈機構動力學分析

2.1 含間隙的擺彈機構各構件質心位置分析

由于運動副間隙較小且接觸和分離的時間都很短，為了簡化模型，認為運動副始終處于接觸的狀態，將間隙轉化為無質量的桿件，整個模型即可轉化為無間隙的多自由度的多桿機構(如圖2所示)，通過對各桿件受力分析，并結合牛頓歐拉法就可以推導出該機構的動力學方程[5, 9-12]。

擺彈機構中各點的坐標在兩坐標軸下的關系為

(1)

根據閉環矢量法，可以得到如式(2)的方程：

(2)

擺彈臂與齒條的運動關系為

(3)

由式(2)可得

(4)

計算曲柄、連桿、齒條及擺彈臂質心在x-y坐標系下的s1、s2、s3、s4坐標：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中xA、yA分別是耳軸中心A在坐標系x-y中的分量。

由式(4)可知，連桿的轉角α3是廣義坐標α1、α2、α4的函數，因此可得：

(9)

式中：ω3為連桿的角速度；ω1為曲柄的角速度；ω2為桿件e1的角速度；ω4為桿件e2的角速度。

分別對式(5)～(8)求一階導數可以得到曲柄、連桿、齒條擺彈臂質心s1、s2、s3、s4在坐標系x-y下的質心速度。同理對其求二階導，可以得到擺彈機構曲柄、連桿、齒條和擺彈臂質心的加速度推導的各構件質心加速度方程，可以得到8個運動約束方程，將擺彈機構的運動約束方程寫成約束矩陣的形式如下

式中ε1、ε2、ε4分別為曲柄、無質量桿e1和無質量桿e2的角加速度。

通過上述計算過程，求得了擺彈機構各組件的質心速度、質心加速度、角速度和角加速度等參數與廣義坐標α1、α2、α4之間的關系，通過設定初始條件，各組件的長度和初始角度、角速度、角加速度等參數，進行計算機數值仿真可以得到需要的運動學曲線圖，同時計算所得的質心速度和角速度表達式也可以為動力學分析提供依據。

2.2 擺彈機構各構件受力分析

運用連續接觸模型進行擺彈機構運動學分析時，將間隙轉化為無質量的桿件，在進行動力學分析時，無質量的桿件對力的傳遞沒有影響。因此，運用達朗貝爾原理進行動態靜力分析時，忽略無質量桿件的影響，對各構件進行受力分析，列出構件的力平衡方程和力矩平衡方程，并根據上一小節求得的各構件質心加速的方程，求得構件的各約束力方程。

分析擺彈機構各構件受力時，分別將機架、曲柄、連桿、齒條和擺彈臂一次標號為1、2、3、4、5。通過分析可以得到如圖3所示的擺彈機構各桿件受力分析圖。

(a) 曲柄受力分析

(b) 連桿受力分析

(c) 齒條受力分析

(d) 擺臂受力分析圖3 齒條和擺臂受力分析

根據圖3(a)所示的曲柄受力分析結果，應用達朗貝爾原理列出其動態靜力學分析平衡方程如下：

式中：M2為曲柄質量；as1x、as1y為曲柄質心加速度在x軸和y軸的加速度分量；Is1為曲柄繞質心轉動的轉動慣量；M1為曲柄的驅動力矩。連桿的受力分析圖如圖3(b)所示，應用達朗貝爾原理列出其動態靜力學分析平衡方程如下：

式中：M3為連桿質量；as2x、as2y為連桿質心加速度在x軸和y軸的加速度分量；Is2為連桿繞質心轉動的轉動慣量。

齒條的受力分析圖如圖3(c)所示，由于齒條受到整個機架導軌的約束，其約束反力應分布沿齒條分布。

為了簡化計算，將連桿和機架對齒條的約束反力的作用點選取在齒條的質心s3處。應用達朗貝爾原理列出其動態靜力學分析平衡方程如下：

式中：M4為齒條質量；Ff為齒條受到的摩擦阻力；as3x、as3y為齒條質心加速度在x軸和y軸的加速度分量。

擺彈臂的受力分析圖如圖3(d)所示，應用達朗貝爾原理列出其動態靜力學分析平衡方程為：

式中：M5為擺彈臂質量；Is4為擺臂繞質心s4的轉動慣量；as4x、as4y為擺彈臂質心加速度在x軸和y軸的加速度分量。

通過對擺彈機構4個構件的受力分析，可以得到11個力平衡方程。將各構件的受力平衡方程整理成矩陣的形式如下：

(10)

式中：c代表cos；s代表sin；其他字母的含義同上文。

聯立擺彈機構運動約束方程(9)、力平衡方程矩陣(10)和式(3)，可以得到整個擺彈機構的動力學約束矩陣。取輸出量F12x、F12y、F23x、F23y、F34x、F34y、F14x、F45y、F15x、F15y、as1x、as1y、as2x、as2y、as4x、as4y、a3、ε1、ε3、ε5為輸出，利用計算機進行建模和仿真，可以得出擺彈機構在力矩作用下的鉸間作用力曲線，各構件的質心加速度、速度和位移曲線相關曲線以及各構件角加速度、角速度和角位移曲線等，從而可以直觀地觀察間隙大小的變化對擺彈機構動力學特性的影響。

3 考慮間隙的擺彈機構動力學仿真

3.1 擺彈機構動力學仿真模型的建立

根據實際建模的參數，可以得到擺彈機構的相關數據如表1所示。

表1 擺彈機構各構件參數

運用MATLAB/Simulink模塊進行數值求解，可以得到擺彈機構擺彈機構在輸入力矩作用下的動力學曲線[13-16]。

仿真過程中曲柄的驅動力矩為M1，α1的初始角度為30°，α3的初始角度為165.5°，α5的初始角度為150°；廣義坐標α2、α4的角加速度為定值，分別為3π、π；仿真步長為0.001 s，仿真時間為0.8 s；分別取間隙e1、e2、e3長度為0 mm、0.5 mm和1 mm進行仿真。

仿真時主要研究間隙e1、e2的大小變化對擺彈機構動力學特性的影響。通過多次仿真試驗，發現當驅動力矩為1 450 Nm時，擺彈臂能夠在0.8 s內向上旋轉100°。取M1=1 450 Nm，e1、e2為0 mm、0.5 mm和1 mm(為方便仿真，取e1=e2)進行仿真，并將仿真結果進行對比和分析。

3.2 擺彈機構動力學仿真結果分析

為方便對比，將仿真結果進行處理，集成到以擺彈臂角加速度、擺彈臂角速度和擺彈臂角位移3張圖中，對比擺彈臂在不同間隙情況下，擺彈臂的角加速度、角速度和角位移的變化情況。擺彈臂在不同間隙下的角加速度曲線、角速度曲線和角位移曲線分別如圖4～6所示。

圖4 擺彈臂在不同間隙下的角加速度曲線

圖5 擺彈臂在不同間隙下的角速度曲線

圖6 擺彈臂在不同間隙下的角位移曲線

從圖4中可以看出，當間隙e1、e2均為0.5 mm時，擺彈臂的角加速度會出現波動，在0.25 s左右角加速度曲線基本與無間隙的仿真曲線重合；當間隙e1、e2均為1 mm時，在0.35 s左右角加速度曲線基本與無間隙的仿真曲線重合。該結果說明鉸間間隙會在擺彈臂啟動瞬間會對其角加速度產生較大的影響，且間隙越大影響越明顯，影響時間越長。

對比圖5、6所示的擺彈臂在不同間隙下的角速度和角位移曲線可以發現，鉸間間隙對擺彈臂的角速度和角位移的影響并不是很大，整個曲線與不含間隙時的角速度和角位移曲線基本重合。

4 結論

利用含間隙機構的動力學建模與分析方法，對考慮鉸間間隙的擺彈機構進行了動力學分析，推導出了考慮鉸間間隙情況下擺彈機構的動力學方程，并列出了擺彈機構的力平衡方程和運動約束方程；在此基礎上，運用MATLAB/Simulink模塊對含間隙的擺彈機構的動力學特性進行了數值仿真，結果表明：

1)擺彈機構鉸間間隙會對擺彈臂角加速度產生較大的影響，且間隙越大影響越明顯，影響時間越長；

2)擺彈臂的角速度和角位移受鉸間間隙的影響程度較低。