LMI優化算法在陸地自主車控制系統中的應用

周振華，王茂，楊博媛

1.常州輕工職業技術學院 電氣工程與技術學院，江蘇 常州 213164 2.哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001

陸地自主車的基礎模型就是一種室內作業機器人，由于其在軍事領域的廣泛應用正受到學者們的普遍關注[1]。以陸地自主車為載體，在其基礎上匹配各種先進監控技術并應用于復雜環境是目前大多數領域應用的模式，如何對其實施簡單有效且方便執行的控制策略是研究和推廣的關鍵[2]。陸地自主車典型的數學模型就是一類參數不確定廣義分段仿射系統，按照不同運行速度將整個大系統區分為若干個帶仿射項的子系統，并在每一個子系統之間反復切換。目前，廣義系統魯棒控制問題已成為廣大學者研究的熱點之一，在傳統控制器設計問題上考慮非脆弱性能引入的相關研究也取得了一些進展[3-5]，所涉及的控制系統大多體現為離散時間系統，控制策略的設計方法大多采用分段Lyapunov函數法，在此基礎上結合相應線性矩陣不等式的處理方法[6-9]。然而，在連續時間系統領域考慮時滯環節與非脆弱環節并存的魯棒控制設計方法卻未見報道。

本文主要研究內容圍繞分段Lyapunov函數、投影定理以及幾個基本引理展開，在先前研究的基礎上引入非脆弱H-infinite保性能控制設計方法，對連續時間陸地自主車系統設計一種同時滿足魯棒H-infinite和二次型性能指標的控制策略。最終，通過MATLAB仿真給出所提方法的有效性。

1 數學建模

陸地自主車的簡化數學模型如圖1所示，xzy用來表示地理直角坐標系，xBoyB用來表示車體體位直角坐標系，ψ則用來表示車體行進的實時方向與實地物理坐標系x軸方向的夾角，一般也稱方向角[10]。

圖1 系統數學模型

在數學建模過程之前，假定車體前進方向就是本身的運動方向，且用恒量u0表示，將自主車所受z方向的力矩T作為系統輸入，一段時間以后，對整個系統實施魯棒控制的最終目的在于保持恒速u0前進的前提下，使得：y=0,ψ=0，此時可以列出如下方程：

(1)

其中各物理量的具體含義如表1所示。

表1 各物理量的具體含義

表2 不同區域取值范圍

利用泰勒公式將sinψ展開，忽略最高次項并整理為線性形式得

sinψ≈sinψi+cosψi(ψ-ψi),i=1,2,…,5

則式(1)可以進一步改寫為式(2)：

(2)

式中：ψ∈Xi,i=1,2,…,5，對應5個不同的工作點，取值分別為-2π/5、-2π/15、0、2π/15、2π/5。

取I=1 kgm2,k=0.01,u0=1 m/s,u=T為系統輸入，系統的狀態向量分別為角加速度、車體方向角、y方向的位移以及方向角速度，各狀態向量之間的關系如式(3)所示：

(3)

通過建立系統各變量之間的數學關系，同時考慮系統時滯τ(t)帶來的影響，可以得到在廣義系統表述形式下的陸地自主車數學模型，如式(4)所示：

(4)

(5)

式中：Wi1、Ei1、Ei2和Ei3是預先指定的定常實數矩陣，Δi(t):Z+→Rs1×s2是一個未知的實值時變矩陣函數，并且包含Lebesgue可測量元素，具體如式(6)。

ΔiT(t)Δi(t)≤Is2

(6)

如果式(5)和式(6)同時成立，則稱系統具有容許的參數不確定性。

2 預備知識

2.1 狀態空間區域劃分

在仿射子系統中，線性化處理區間可描述為多面體區域的橢圓集合，其中Fi=2Ci/(βi-αi)，fi=-(βi+αi)/(βi-αi)；εi=x‖Fix+fi‖≤1，其中，i∈I。

對于每個橢圓區域，可以得到

(7)

因此，狀態空間可以分為兩大類區域I=I0∪I1，I0代表包含原點的fiTfi≤x(t)THx(t)，I1則代表其余的索引集合區域。

2.2 基本引理

定義1[11]考慮參數不確定體現為范數有界形式的離散廣義分段仿射系統(1)，其中u(t)=0：

1)如果存在z∈C使得det(zE-Ai)≠0，則稱廣義系統(1)是正則的，i∈I。

2)如果deg(det(zE-Ai))=rank(E),i∈I，則稱系統(1)是因果廣義系統。

3)用λ(E,Ai)表示離散廣義系統(1)的所有特征根，如果λ(E,Ai)?Dint(0,1)，則稱式(1)是穩定的廣義系統。

4)如果稱廣義系統(1)是容許的，則系統(1)必定正則、因果，而且是穩定的。

5)用ν1表示矩陣束(E,Ai)的一階向量，且非零向量ν1滿足Eν1=0，對于滿足Eνk=Aivk-1的非零特征向量νk(k≥2)，則稱為矩陣束(E,Ai)的k階特征向量。

定義2 本文所設計魯棒H-infinite非脆弱狀態反饋控制器：

式中：Ki∈Rnu×nx是控制器的增益矩陣；ΔKi(t)是控制器中的不確定項，ΔKi(t)=MKFK(t)NK；MK、NK是已知的適當維數線性矩陣，并且FK(t)TFK(t)≤I。

引理1 對于適當維數實矩陣M=MT、S、N和Δ(t)，若滿足ΔT(t)Δ(t)≤I，則當且僅當存在某個標量ε>0時：M+SΔ(t)N+NTΔT(t)ST<0等價于M+εSST+ε-1NTN<0。

引理2 定義θ的矩陣函數R1(θ)、R2(θ)和R3(θ)，如下線性矩陣不等式LMI：

在不同的情況下等價于以下2個不等式：

3 主要結果

對于分段仿射系統(4)，考慮性能指標：

(8)

本文所考慮彈性狀態反饋控制器由定義2給出，由此彈性控制器和連續廣義分段仿射系統(4)構成的閉環系統可以描述如下：

(9)

定理對于所提彈性控制器，如果存在對稱正定矩陣0

ETPiE≥0

(10)

(11)

i∈I0,(i,j)∈Ω

(12)

i∈I1,(i,j)∈Ω

證明在這里，采用的李雅普諾夫函數是定義在連續時間范疇內的，具體廣義分段仿射李雅普諾夫函數形式表示如下：

設計控制策略的目的在于另閉環系統式(9)是容許的，根據連續時滯廣義分段仿射李雅普諾夫函數的形式，只需要保證不等式(13)成立。在這一過程中，對李雅普諾夫函數式兩邊沿閉環系統式(9)同時進行求導，進一步得到式(13)：

xT(t)Piπ+πT(-εij-1I)π<0

(13)

進一步，為保證閉環系統式(9)即是容許的又滿足魯棒性能指標γ，另不等式(14)成立：

(14)

根據閉環系統式(9)中z(t)=Li(t)x(t)，則不等式(14)進一步可以寫成如下形式：

xT(t)11x(t)+2πTPix(t)+xT(t)Piπ-wT(t)w(t)+

πT(-εij-1I)π+γ-2zT(t)z(t)+wT(t)DiTDiw(t)<0

其中：

?+

不等式(14)可進一步改寫為如下形式，其中(i,j)∈Ω：

可以得到：

Ai(t)TPiAi(t)-ETPiE<0

(15)

這里，進一步假定矩陣束(E,Ai(t))為非因果的。用一階特征向量ν1和它的Hermitian矩陣ν1*分別左乘和右乘式(15)。用文獻[10]的方法，證明因果性的同時也證明了矩陣束(E,Ai(t))的正則性。

進一步將式(14)等同為如下形式：

其中：Λ=DiT(t)-I。

考慮系統性能指標(8)，為了使閉環系統(9)同時滿足魯棒性能指標和二次型性能指標，只需要令如下不等式成立即可：

xT(t)Qx(t)+u(t)TRu(t)≤0

其中：u(t)=(Ki+ΔKi(t))x(t)，進而得到如下不等式：

應用引理2，可以得到如下不等式：

其中：

再次應用引理2，可以得到如下不等式：

證畢。

本文定理給出了參數不確定時滯廣義分段仿射系統式(9)在連續時間范疇內控制器存在的充分條件，將問題轉換為MATLAB中LMI工具箱的求解，尋求同時滿足魯棒性能指標和二次型性能指標的控制器增益。

4 分析仿真

首先，應用本文所提定理設計陸地自主車分段仿射系統的非脆弱閉環控制器，證實本文所提控制方法的有效性，接下來通過對比參考文獻中所提閉環系統控制方法，證實本文所提控制方法的優越性，給出此類離散廣義分段仿射系統魯棒H-infinite靜態輸出反饋控制器求取的正確途徑。

給定閉環控制系統的擾動輸入w(k)=10e-t，利用MATLAB7.0線性矩陣不等式工具箱中的mincx求解器，得到欲尋求的輸出反饋控制器增益矩陣：

K1=9.278 1,K2=6.567 8,K3=7.002 1,

K4=0.213 6,K5=17.731 1

最終，保證此類離散廣義分段仿射系統不僅是漸近穩定的，而且同時滿足一定的魯棒H-infinite性能指標和二次型性能指標：γ=21.425 4。

數值仿真所給閉環控制系統狀態響應曲線如圖2所示。

圖2 閉環操作系統響應曲線

接下來，將本文所提控制器設計方法和文獻[12]中所提算法進行對比，定義該陸地自主車中廣義矩陣E=I，此時系統降為正常系統，如式(16)所示。

(16)

考慮系統存在擾動輸入w(k)=10e-t的情況，根據表3所示將車體行進速度取為不同階段的值，利用本文定理和文獻[12]中的結果分別計算獲得的最小魯棒H-infinite性能指標γ。通過觀察表3中針對不同速度下的性能指標，進一步證實本文所提控制策略具有一定的卓越性。

表3 幾種行進速度下的H-infinite性能指標γ

值得注意的是，當車體速度u0≥2 m/s時，文獻[12]中所提算法將無法求得最小魯棒H-infinite性能指標γ，即當擾動輸入存在時，采用本文所提定理具有更好的魯棒性，可以針對更多情況下的車體行進速度找到非脆弱狀態輸出反饋控制器使得閉環系統同時具有魯棒H-infinite性能指標γ和二次型性能指標。

表4 不同區域取值范圍

表中ψ∈Χi,i=1,2,3對應3個不同的工作點，取值分別為：-2π/15，0，2π/15。

同樣，根據本文定理以及文獻[12]中所提算法對式(2)在各個線性工作點附近做線性化處理，基于此種方法得到非脆弱反饋控制器，最終在區域Χ2內使得閉環系統穩定于平衡點(0,0,0)處，從而達到控制目的。

考慮系統存在擾動輸入w(k)=10e-t的情況，通過本文定理構造閉環控制器，再利用MATLAB7.0線性矩陣不等式工具箱中的mincx求解器進行演算，求得欲尋求的輸出反饋非脆弱控制器增益矩陣：

K1=14.964 5,K2=23.453 5,K3=5.547 8

此時，針對陸地自主車運行時的各物理量取為：I=1.5kgm2,k=0.05,u=T為系統輸入。利用本文定理和文獻[12]中的結果分別計算獲得的最小魯棒H-infinite性能指標γ，使得由非脆弱狀態輸出反饋控制器構成的閉環系統同時具有魯棒H-infinite性能指標γ和二次型性能指標，2個閉環系統狀態響應曲線由圖3、4給出。

圖3 閉環操作系統響應曲線(根據本文所提定理所得)

圖4 閉環操作系統響應曲線(根據參考文獻所得)

對仿真過程所得到的數據進行分析比較可以看出，基于本文所提出方法設計的非脆弱保性能控制器使得閉環系統(9)漸近穩定，H-infinite擾動抑制度γ=86.900 2，且存在一個性能上界J<6.754 7，滿足欲達到的設控制目的。另一方面，根據文獻[12]中所提算法設計的控制器同樣使得閉環系統(9)漸近穩定，同時得到閉環系統的H-infinite干擾抑制度γ=17.095 4。

將圖3、4所示結果進行對比，不難得出如下結論：應用本文所提定理進行設計的控制器由于考慮了閉環系統二次D-穩定性，對比閉環系統魯棒H-infinite性能指標與文獻[12]中所提算法得到的控制器的相同性能指標，結果有一定的下降，即在相同初始條件下，閉環控制系統(9)在考慮二次D-穩定性的同時使得系統魯棒性能有一定幅度的下降[13]。

通過圖3、4呈現出來的閉環系統狀態響應曲線，不難得出如下結論：隨著系統響應時間的不斷疊加，分別有不同的系統表現體現在通過本文定理以及文獻[12]中所提算法得到的2個閉環控制系統中[14]。從系統調節時間上來看，本文所提定理由于考慮系統二次D-穩定性，導致圖3中曲線首次達到穩態值時所用的調節時間更多，這表明基于文獻[12]中所提算法搭建的控制系統在調節速度上更加優秀；將狀態曲線第1次達到波峰的2個時間做比較，狀態曲線在圖3中表現出良好的上升勢頭，并且2個波峰之間的時間間隔更短，2個最大值的絕對值之比在穩態時大約為3∶1，這也說明圖3中系統狀態響應曲線不僅具備足夠的穩定裕度，還具有更合理的衰減比；隨著系統時間再次疊加且經歷過渡過程后，圖3、4中曲線最終所達到的新穩態值與預先期望值之間的誤差都保持在相對小的范圍內，這充分說明無論是本文定理還是文獻[12]中所提算法都可以構造較好調節精度的閉環控制系統；另外，在控制系統超調量指標上，圖3中系統狀態響應曲線明顯優于圖4中曲線，且擁有更小的最大余差值。至于圖3、4中狀態響應曲線的振蕩周期和頻率方面，圖3中的響應曲線略有優勢[15]。

5 結論

本文在對陸地自主車系統進行數學建模的基礎上，將其歸納為一類廣義時滯系統，且考慮該系統具有范數有界形式的參數不確定性。在數值仿真證實所提方法有效性的基礎上，得到以下結論：

1)考慮擾動的此類時滯系統閉環穩定性可以通過求解一組包含參變量的LMIs得到，且系統具有較低的保守性。

2)在求解該類線性矩陣不等式的過程中，采用廣義分段仿射Lyapunov函數、投影定理以及基本引理相結合的方式是可行且有效的。

3)將運用線性矩陣不等式LMI算法求取魯棒H-infinite反饋控制器增益矩陣的思想運用到連續時間廣義系統，具有一定的優越性。

4)通過對比以往切換控制算法的實例，證明所提方法具備一定的有效性和卓越性。在存在未知情況下外部干擾和測量噪聲時，此類系統濾波器的設計問題將會成為今后廣大學者研究的一個熱點，對該類系統閉環濾波器同時考慮擾動存在的情況也有待于后續的研究。