三支決策-基于粗糙集與粒計(jì)算研究視角

劉盾，李天瑞，楊新，梁德翠

（1.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031; 2.西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756;3.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)信息工程學(xué)院，四川 成都 611130; 4.電子科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，四川 成都 610054）

三支決策(Three-way decisions, 3WD)是由加拿大學(xué)者Yao[1]在2010 年提出的一種樸素的“三分而治”和“化繁為簡”的決策理論，其核心思想是通過粒計(jì)算將論域(整體)分為3 個(gè)子集或3 個(gè)部分，并對不同子集或部分采取不同的決策行為或分治策略，進(jìn)而對相應(yīng)的行為或策略進(jìn)行評價(jià)和反饋。由于三支決策符合人類思維和認(rèn)知特點(diǎn)，且能較好地處理實(shí)際決策過程中出現(xiàn)的不確定性問題，它一經(jīng)提出便得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并已成為一種重要的粒計(jì)算和知識(shí)發(fā)現(xiàn)研究方法。

縱觀三支決策發(fā)展脈絡(luò)，它經(jīng)歷了孵化期(1980—2006)、羽化期(2007—2026)、成長期(2017—現(xiàn)在)3 個(gè)階段[2]。對三支決策的思考最早可追溯到20 世紀(jì)80 年代波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak 提出的粗糙集理論。眾所周知，粗糙集理論是通過上下近似集對論域進(jìn)行劃分的，下近似集誘導(dǎo)的規(guī)則表示確定性規(guī)則；上近似集誘導(dǎo)的規(guī)則表示可能性規(guī)則。在這一時(shí)期，人們主要關(guān)注由下近似集誘導(dǎo)的確定性規(guī)則，而完全忽略由上近似集補(bǔ)集誘導(dǎo)的另一種確定性規(guī)則，究其原因是由于前者包含了有用(有趣)知識(shí)，對于決策者而言最有價(jià)值。三支決策的發(fā)展契機(jī)是20 世紀(jì)90 年代Yao[3]提出的決策粗糙集理論。決策粗糙集首次將決策風(fēng)險(xiǎn)的概念引入到粗糙集理論中，通過貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)最小決策準(zhǔn)則將論域劃分為正域、負(fù)域和邊界域3 個(gè)區(qū)域。從正域里得到的正向確定性規(guī)則表示接受某概念(acceptance)；從負(fù)域里得到的負(fù)向確定性規(guī)則表示拒絕某概念(rejection)；從邊界域里得到的不確定規(guī)則用于延遲決策(deferment)。這賦予了粗糙集理論一種新的語義解釋，并開啟了狹義三支決策研究時(shí)代。隨著對粒計(jì)算和三支決策理論的不斷深入研究，學(xué)者們紛紛意識(shí)到僅僅從粗糙集這一狹義視角來探討三支決策已顯得過于狹隘，對三支決策內(nèi)涵和外延的理解應(yīng)該更加廣泛和深刻，系列廣義三支決策研究如雨后春筍般在機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別、推薦系統(tǒng)、認(rèn)知模型、形式概念分析、數(shù)理邏輯、商空間等領(lǐng)域崛起并得到迅猛發(fā)展，對三支決策的狹義解釋也延伸為三要素、三部分、三分量、三層次、三階段、三步驟、三種類等廣義認(rèn)知[4-6]。

經(jīng)過近40 年的發(fā)展，三支決策已在理論、方法和應(yīng)用上取得了一系列研究成果。在理論層面上，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中在三支決策空間、三支認(rèn)知模型、三支邏輯、三支形式概念分析等三支決策與數(shù)學(xué)理論的交叉研究上。胡寶清[7]提出了三支決策空間的概念，并從數(shù)學(xué)上將模糊集、隨機(jī)集、粗糙集等統(tǒng)一到三支決策空間研究框架中。李小南等[8]提出了一種一般性的三支決策理論，它主要從子集評估的視角進(jìn)行模型構(gòu)造的。Yao[9]系統(tǒng)地研究了三支決策與認(rèn)知計(jì)算的理論和方法，并認(rèn)為認(rèn)知計(jì)算是三支決策未來研究的一個(gè)重要方向。李金海等[10]提出了一種基于多粒度的三支概念認(rèn)知學(xué)習(xí)模型，并進(jìn)一步研究了認(rèn)知概念的增量學(xué)習(xí)方法。Davide 等[11]探討了三支決策下的三值邏輯問題，并深入探討了三支決策與三值邏輯之間的關(guān)系。祁建軍等[12]討論了三支決策與概念格的理論模型，這賦予了形式概念分析和概念格新的語義解釋。在方法層面上，不確定性三支決策、三支決策約簡和規(guī)則獲取、三支決策分類與聚類、代價(jià)敏感三支決策等是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。劉盾等[13-16]考慮了不確定性決策環(huán)境下，當(dāng)損失函數(shù)為幾類典型的不確定性測度時(shí)，相應(yīng)三支決策閾值的獲取方法；進(jìn)而將隨機(jī)性、區(qū)間性和模糊性三種不確定度量引入到三支決策中，提出了一系列不確定性三支決策模型。李華雄[17-19]等分別從保持正域最大、決策風(fēng)險(xiǎn)最小和代價(jià)敏感最小化等方面，對三支決策約簡和規(guī)則獲取作了大量工作。張賢勇等[20]從粗糙集正域、邊界域和負(fù)域3 個(gè)層次對三支決策約簡作了探討。任睿思等[21]將三支決策引入到概念格中，系統(tǒng)地研究了三支概念格的約簡理論與方法。于洪等[22]探討了三支決策的聚類分析模型和聚類數(shù)的自動(dòng)學(xué)習(xí)算法。周冰[23]和劉盾[24]分別討論了基于貝葉斯決策和Logistic 回歸的多分類三支決策模型。閔帆等[19]研究了基于代價(jià)敏感的三支決策方法。Li 等[25]在三支決策劃分正、負(fù)域的基礎(chǔ)上構(gòu)建了兩個(gè)邊界向量，利用粗糙集方法和質(zhì)心解來處理不確定邊界的三支決策模型；Zhang 等[26]提出了一種三向增強(qiáng)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提高了三支決策的分類性能。在應(yīng)用層面上，張恒汝[27]和汪敏[28]等分別探討了基于隨機(jī)森林、回歸分析和主動(dòng)學(xué)習(xí)的三支推薦系統(tǒng)。Zhou 等[29]將三支決策思想用到垃圾郵件過濾上，所有待分類的郵件被分為正確郵件、垃圾郵件和可疑郵件。李華雄等[30]將序貫三支決策算法應(yīng)用到人臉識(shí)別中，取得了良好的效果。Li 等[31]在文本分類過程中將所有文本分為3 種類型，即相關(guān)文本、可能相關(guān)文本和不相關(guān)文本。在產(chǎn)品檢驗(yàn)上，Woodward 和Naylor[32]將生產(chǎn)產(chǎn)品劃分為合格產(chǎn)品，不合格產(chǎn)品和需要進(jìn)一步檢測的產(chǎn)品三種類型。劉盾等[33]將三支決策方法應(yīng)用到石油開采和政策制定問題中，并從管理視角分析了延遲決策策略對決策過程的影響。上述研究從不同學(xué)科、不同視角和不同維度極大地促進(jìn)了三支決策研究的發(fā)展。

此外，自2009 年以來，國際粗糙集學(xué)會(huì)(IRSS)在每年的國際粗糙集聯(lián)合學(xué)術(shù)會(huì)議上都舉辦了三支決策Workshop；中國粒計(jì)算與知識(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)會(huì)(CGCKD)也從2011 年起組織了“三支決策、粒計(jì)算與粗糙集”相關(guān)的主題研討會(huì)；國內(nèi)外學(xué)者也相繼出版了《三支決策理論與應(yīng)用》[34]、《三支決策與粒計(jì)算》[35]、《三支決策：復(fù)雜問題求解方法與實(shí)踐》[36]、《粒計(jì)算、商空間及三支決策的回顧與發(fā)展》[37]等多部專著來介紹三支決策的最新研究進(jìn)展；國際重要信息科學(xué)SCI 期刊《In-formation Sciences》、《International Journal of Approximate Reasoning》和《Knowledge-based Systems》等也分別出版多本專輯來介紹各個(gè)團(tuán)隊(duì)的最新研究成果。三支決策學(xué)習(xí)網(wǎng)站(http://www2.cs.uregina.ca/～twd/)和三支決策微信公眾號(hào)也先后推出，來介紹三支決策的最新研究動(dòng)態(tài)。

本文在充分整理和分析已有研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，介紹三支決策的基本模型和框架，并探討三支決策與粗糙集理論之間的前世今生。從粒計(jì)算“多層次”和“多視角”兩個(gè)方面來闡述三支決策的粒化思想和建模機(jī)理。提出了一個(gè)基于三支決策的粒計(jì)算研究框架模型。最后，對三支決策知識(shí)發(fā)現(xiàn)理論、方法和未來研究方向作出展望。

1 三支決策基本模型與框架

在認(rèn)知科學(xué)時(shí)代，三支決策樸素的“分治”思想是一種全新的粒計(jì)算研究視角和方法，它可以幫助人們通過粒化策略去思考、求解和處理不確定性復(fù)雜問題。眾所周知，儒家文化是中國傳統(tǒng)文化的代表，其精髓在于中庸之道。正如《論語·庸也》中所說：“中庸之為德也，其至矣乎。”它說明：相對于兩種極端的處世態(tài)度，中庸思想倡導(dǎo)不偏不倚，折中調(diào)和，強(qiáng)調(diào)中間點(diǎn)。可以看到，中庸之道與三支決策的“三”關(guān)系密切，其共同點(diǎn)為把一個(gè)問題“一分為三”。進(jìn)一步地，《論語·先進(jìn)》中的“過猶不及”和《孟子·盡心章句下》中的“盡信書，則不如無書”都恰當(dāng)?shù)胤从沉酥杏怪乐械娜种温裕炎鍪潞妥x書都理解為3 種境界，即“過、及、不及”和“盡信、信、不信”，強(qiáng)調(diào)“三”的辯證思想，即“及”和“信”的重要性。此外，秦牧的《藝海拾貝·酷肖》中收錄了近代書畫大師齊白石說過的一段話：“作畫妙在似與不似之間，太似為媚俗,不似為欺世。”它強(qiáng)調(diào)了繪畫作品不能不逼真，畫什么東西不像什么東西，這是對觀者的欺騙。但又不能拘泥于物象外在的形象，而應(yīng)該抓住物象特有的內(nèi)在本質(zhì)，發(fā)揮藝術(shù)想象，或突出或夸張，融入作者的情趣思考，體現(xiàn)出不同其他特象的獨(dú)有特點(diǎn)。由此可見，三支決策思想突破了傳統(tǒng)二值、二元或兩極思維的束縛，將傳統(tǒng)二支決策中的非黑即白、非對即錯(cuò)、非左即右、非上即下、非好即壞的絕對二類判定擴(kuò)展到黑/灰/白、對/中/錯(cuò)、左/中/右、上/中/下、好/中/壞的三分法則。綜上所述，三支決策的基本模型可由定義1 給出。

定義1假設(shè)S=(U,R) 為一信息系統(tǒng)，其中：U={x1,x2,···,xn} 表示論域，它是對象的非空有限集合；R是定義在論域U上的一種二元關(guān)系。三支決策通過函數(shù)f將論域U劃分為3 個(gè)兩兩互不相交的區(qū)域：R1- 域、R2- 域和R3-域，即：

其中，R1,R2,R3?U，U=R1∪R2∪R3；R1∩R2=? ，R2∩R3=? ，R1∩R3=? 。對于Ri∈U，其補(bǔ)集的構(gòu)造如下：

進(jìn)一步地，Yao.Y.Y.深入探討了三支決策與粒計(jì)算的相互關(guān)系并提出了一種新的三支決策的“分治效”(Ttrisecting-Acting-Outcome，TAO)[2]模型，并進(jìn)一步闡釋了三支粒計(jì)算思想的作用和意義。圖1 為該模型的基本框架。

圖1 三支決策TAO 模型框架圖Fig.1 The TAO model of three-way decisions

在圖1 中，第一階段中的“三分”是指把一個(gè)整體U劃分成3 個(gè)互不相交的區(qū)域，簡記為R1、R2和R3；第二階段中的“治略”是指在“三分”的基礎(chǔ)上對不同的區(qū)域制定出相應(yīng)的策略或采取相應(yīng)的行動(dòng)S1、S2和S3，使得整體目標(biāo)收益/效用最大化或者成本/代價(jià)最小化；第三階段“評價(jià)結(jié)果”是評估“三分”和“治略”的效果，以便定量評價(jià)和改進(jìn)三支決策。上述3 個(gè)階段相互影響、相互制約：“三分”是“治略”的前提，“治略”是“三分”的目的，而“評價(jià)結(jié)果”是“三分”和“治略”的監(jiān)督保障。如何構(gòu)造一個(gè)整體的三分，如何設(shè)計(jì)策略去處理三分后的三個(gè)區(qū)域，如何評價(jià)三分和策略的效果，是三支TAO 模型的核心任務(wù)。下面，我們引入幾種不同的定量評價(jià)函數(shù)來刻畫三支決策“三分”的數(shù)學(xué)表達(dá)。

定義2假設(shè)U是一個(gè)有限非空的論域，(L, ≤)是一個(gè)全序集合，其中偏序關(guān)系滿足自反性、反對稱性和傳遞性。給出一個(gè)評價(jià)函數(shù)v:U→L，對于 ?x∈U，v(x) 代表對象x的評價(jià)值。設(shè)置一對閾值 α 和 β (β ＜ α)，可以將論域U劃分為3 個(gè)決策區(qū)域R1、R2和R3：

我們用一個(gè)簡單的例子來說明定義1。2018年四川省高考理科一本分?jǐn)?shù)線是546 分，二本分?jǐn)?shù)線是458 分。對于某一考生，高考成績大于或等于546 分可以報(bào)考一本大學(xué)；小于458 分只能選擇二本以下的專科或職業(yè)學(xué)院學(xué)習(xí)；考試分?jǐn)?shù)在區(qū)間[458，546) 進(jìn)入二本高校學(xué)習(xí)。進(jìn)一步地，下面定義3 和定義4 給出了三支多準(zhǔn)則決策和三支多目標(biāo)決策的基本數(shù)學(xué)模型。

定義3假設(shè)U是一個(gè)有限非空的論域，(L,≤) 是一個(gè)全序集合，C={c1,c2,···,cm} 是m個(gè)決策準(zhǔn)則構(gòu)成的集合，vci:U→L定義了在準(zhǔn)則ci下的評價(jià)函數(shù)值， 1 ≤i≤m。則對于 ?x∈U，其總體評價(jià)結(jié)果可由一個(gè)線性加權(quán)組合來定義：

其 中wi為準(zhǔn) 則ci的 權(quán)重 ， 它滿 足給定兩個(gè)閾值M和N(M＞N)，其三支多準(zhǔn)則決策結(jié)果可表示為

相對于定義2 而言，定義3 進(jìn)一步考慮了各個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重，這更符合實(shí)際決策問題中的需求。

定義4假設(shè)U是一個(gè)有限非空的論域，U=和 ?3(α,β) 代 表3 個(gè)決策區(qū)域R1、R2和R3所產(chǎn)生的決策風(fēng)險(xiǎn)，則總體決策風(fēng)險(xiǎn)可表示為

其中，a、b和c為 ?1(α,β)、 ?2(α,β) 和 ?3(α,β) 相對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，三支多目標(biāo)決策的任務(wù)是如何選取合適的 α 和 β 值，使得下列式子中的總體決策風(fēng)險(xiǎn)最小：

值得一提的是，不同于定義2 和定義3，式(7)中 α 和 β 的取值不是由決策者事先給定的，而是在實(shí)際決策問題中，通過目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)建相應(yīng)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型求解得到。

2 三支決策、粗糙集與決策粗糙集

三支決策思想最早來源于粗糙集理論。眾所周知，Pawlak 粗糙集對信息系統(tǒng)不確定性的描述是通過上下近似集來實(shí)現(xiàn)的。兩個(gè)近似集對論域的劃分形成3 個(gè)兩兩互不相交的決策區(qū)域：正域、負(fù)域和邊界域，這自然形成了對三支決策的一種數(shù)學(xué)描述和解釋。

定義5假設(shè)論域U是一個(gè)有限非空子集，記 a pr=(U,R) 為粗糙近似空間。U通過等價(jià)關(guān)系R劃分成互不相交的子集，形成論域U上的一個(gè)劃分U/R={[x]|x∈U}。 對于X?U，其上下近似可表示為

上下近似將論域分為正域 P OS(X)、 負(fù)域NEG(X)和邊界域 B ND(X)，其定義分別為

由正域?qū)С龅恼?guī)則表示接受對象x屬于X；由負(fù)域?qū)С龅呢?fù)規(guī)則表示拒絕接受對象x屬于X；而由邊界域?qū)С龅牟淮_定規(guī)則表示x可能屬于X。可以看到，上述“三分而治”的思想賦予了粗糙集理論一種基于決策視角的語義解釋。

進(jìn)一步地，我們考慮概率粗糙集的情形，它通過引入兩個(gè)閾值 α 和 β 對Pawlak 粗糙集上下近似集的定義進(jìn)行擴(kuò)展，使得獲取的決策規(guī)則更為靈活。

定義6假設(shè)論域U是一個(gè)有限非空子集，R是定義在U上的一種等價(jià)關(guān)系。記apr(α,β)=(U,R)為概率粗糙近似空間，對于X?U，令 0 ≤ β ＜ α ≤1，則概率粗糙集的 ( α,β)-上下近似集可定義為

其中，Pr(X|[x])= |[x]∩X|/|[x]| 表示分類的條件概率， |·| 表示集合中元素的基數(shù)。同樣地，在概率粗糙集中， (α,β)-上下近似集將論域分為3 個(gè)部分 ： POS(α,β)(X) ， BND(α,β)(X) 和 N EG(α,β)(X)， 其 定 義分別為

相對于式(9)，式(11)進(jìn)一步考慮了決策規(guī)則的容錯(cuò)性，這更符合人類的決策認(rèn)知。然而，在定義6 中的閾值 α 和 β 都是人為事先給定的，這在實(shí)際決策過程中往往過于主觀和難以獲取。為了回答和改進(jìn)上述難題，決策粗糙集將貝葉斯理論引入到概率粗糙集中，利用損失函數(shù)來構(gòu)造決策總體風(fēng)險(xiǎn)最小時(shí)的三支決策劃分策略，極大地推進(jìn)了粗糙集理論的發(fā)展。

決策粗糙集通過2 個(gè)狀態(tài)集 ?={X,?X} 和3 個(gè)行動(dòng)集A={aP,aB,aN} 來描述三支決策過程。其中，狀態(tài)集 ? ={X,?X} 表示事件的兩種狀態(tài)(屬于概念X和不屬于概念X)，行動(dòng)集A={aP,aB,aN}表示對于不同狀態(tài)，采取相對應(yīng)的接受、延遲和拒絕3 種行動(dòng)策略。考慮到采取不同行動(dòng)會(huì)產(chǎn)生不同 的 損失，記λPP、λBP、λNP分別表 示 當(dāng)x∈X時(shí)，采取行動(dòng)aP、aB和aN下的損失；同樣地，記λPN、λBN、λNN分別表示當(dāng)x?X時(shí)，采取行動(dòng)aP、aB和aN下的損失。因此，采取aP、aB和aN3 種行動(dòng)下的期望損失可分別表示為

根據(jù)貝葉斯決策準(zhǔn)則，選擇期望損失最小的行動(dòng)集作為最佳行動(dòng)方案，可以得到如下三條決策規(guī)則：

(P)R(aP|[x])≤R(aB|[x]) 且R(aP|[x])≤R(aN|[x]) 同時(shí)成立，則x∈POS(X)；

(B)R(aB|[x])≤R(aP|[x]) 且R(aB|[x])≤R(aN|[x]) 同時(shí)成立，則x∈BND(X)；

(N)R(aN|[x])≤R(aP|[x]) 且R(aN|[x])≤R(aB|[x]) 同時(shí)成立，則x∈NEG(X)。

由于 Pr(X|[x])+Pr(?X|[x])=1，上述規(guī)則(P)、(B)、(N)只與分類條件概率 P r(X|[x]) 和損失函數(shù)λ??(?=P,B,N) 有關(guān)。此外，考慮到接受正確事物的損失不大于延遲接受正確事物的損失，且這兩者都小于拒絕正確事物的損失；類似的，拒絕錯(cuò)誤事物的損失不大于延遲拒絕錯(cuò)誤事物的損失，且這兩者都小于接受錯(cuò)誤事物的損失。因此，損失函數(shù)之間的大小關(guān)系滿足： 0 ≤λPP≤λBP＜λNP和0 ≤λNN≤λBN＜λPN。將條件概率關(guān)系和損失函數(shù)關(guān)系代入到式(11)中，決策規(guī)則(P)、(B)、(N)可改寫為

(P1)：如果 P r(X|[x])≥ α ，則：x∈POS(X)；

(B1)：如果 β ＜Pr(X|[x])＜ α ，則：x∈BND(X)；

(N1)：如果 P r(X|[x])≤ β， 則：x∈NEG(X)。其中：

可以看到， α 和 β 的 取 值與損失函數(shù)λ??有關(guān)，而三支決策的最終結(jié)果由條件概率和損失函數(shù)兩者共同決定的。決策粗糙集從貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)的角度對三支決策做出科學(xué)解釋，并首次給出一種三支決策的精確數(shù)學(xué)定義。

綜上所述，三支決策是粗糙集理論的擴(kuò)展和外延，粗糙集理論是三支決策的特例和內(nèi)涵。三支決策理論的提出是來源于粗糙集理論，但高于粗糙集理論；而決策粗糙集是三支決策在實(shí)際決策語義下的一個(gè)特殊數(shù)學(xué)模型。圖2 清晰地描繪了三支決策、粗糙集理論、概率粗糙集和決策粗糙集四者之間的蘊(yùn)含關(guān)系，即決策粗糙集 ? 概率粗糙集 ? 粗糙集理論 ? 三支決策。

圖2 三支決策與相關(guān)粗糙集模型間的關(guān)系Fig.2 The relations between three-way decisions and rough set models

3 三支決策的粒計(jì)算方法

三支決策的粒計(jì)算方法是利用“三分治略”思想來解決粒計(jì)算問題的。它通過在現(xiàn)實(shí)問題中對粒的抽象、在數(shù)學(xué)分析中對粒的描述、在模型構(gòu)建中對粒間和粒層轉(zhuǎn)換關(guān)系的刻畫、在算法設(shè)計(jì)中對粒的合成與分解、在求解過程中對粒的使用，并將三支決策的“分治效”思想作為評估手段來分析和處理實(shí)際決策問題的。對于粒計(jì)算核心思想的詮釋，近代著名詩人卞之琳在其現(xiàn)代詩《斷章》有很好的解讀：

你站在橋上看風(fēng)景，

看風(fēng)景的人在樓上看你。

明月裝飾了你的窗子，

你裝飾了別人的夢。

詩人通過對“風(fēng)景”的剎那間感悟，把對粒計(jì)算中粒子、粒層與粒結(jié)構(gòu)之間的“相對性”認(rèn)知過程表現(xiàn)得淋漓盡致。此外，Yao.Y.Y.教授認(rèn)為粒計(jì)算是一種粒化的思維方式及方法論，將粒計(jì)算和三支決策思想應(yīng)用于不同學(xué)科中，能夠?qū)χR(shí)進(jìn)行有效的整理、抽象和整合，并獲取更高一層的、系統(tǒng)的粒計(jì)算原理[2]。此外，他進(jìn)一步總結(jié)了現(xiàn)有粒計(jì)算研究的3 個(gè)主要觀點(diǎn)，并提出了粒計(jì)算的三元論：一是基于結(jié)構(gòu)化思維的哲學(xué)思想，二是基于結(jié)構(gòu)化問題求解的方法論，三是基于結(jié)構(gòu)化信息處理的計(jì)算模式。三支決策的粒計(jì)算方法就是將這3 種觀點(diǎn)緊密結(jié)合，并通過粒化原則、合成原則、分層原則等來構(gòu)造粒結(jié)構(gòu)，從而獲得對問題在不同粒度下的理解。下面，主要從“多層次”和“多視角”兩個(gè)維度來討論三支決策的粒計(jì)算方法。

首先，考慮基于多層次粒計(jì)算下的三支決策方法。多層次三支決策的核心問題是如何選擇合適的粒層和粒度。在粒計(jì)算中，粗層次的粒將與本層次不相關(guān)的細(xì)節(jié)忽略掉，為細(xì)層次的粒提供一種概要的描述；細(xì)層次的粒為粗層次的粒提供更詳細(xì)的信息，但相較于粗層次會(huì)付出更多的成本和代價(jià)。圖3 給出了一個(gè)例子來說明上述思想。假設(shè)某位同學(xué)高考考入了西南交通大學(xué)學(xué)習(xí)，由于第一次來成都，不知道學(xué)校的準(zhǔn)確地址。因此，該生借助百度地圖來查找學(xué)校的具體方位。圖3(a)是百度地圖的粗粒度層次，在該地圖里不能發(fā)現(xiàn)學(xué)校的位置；圖3(b)是百度地圖的中粒度層次，通過該地圖可以初步發(fā)現(xiàn)學(xué)校位于成都市的北邊，位于金牛區(qū)等粗略信息；圖3(c)是百度地圖的細(xì)粒度層次，根據(jù)該地圖可以發(fā)現(xiàn)更為詳細(xì)的信息，比如：交大位于二環(huán)路上，在金牛區(qū)政府和金牛區(qū)國土局附近。特別地，如果該生要到學(xué)校的某棟建筑報(bào)道注冊，則在百度地圖里無法搜尋目標(biāo)，這需要在圖3(d)中的交大的校區(qū)平面地圖里去尋找。

圖3 基于多層次視角下的粒度變化過程Fig.3 The granularity variation process based on multilevel perspective

通過圖3(a)～(c)可以看到，對于不同的粒層對應(yīng)了不同的解空間，每個(gè)解空間又決定了其對應(yīng)解的精確程度。粒層越粗，花費(fèi)的代價(jià)越小，得到的解越粗糙；反之，粒層越細(xì)，花費(fèi)的代價(jià)越大，得到的解越精細(xì)。對于圖3(d)可以得到，如果在低維空間里無法找到可行解，可以考慮通過數(shù)學(xué)映射變換到高維空間去處理問題。綜上所述，選取一個(gè)合適粒層和滿意解是多層次粒計(jì)算的關(guān)鍵任務(wù)。進(jìn)一步地，結(jié)合三支決策思想，在不同的粒層都選取3 種策略：接受和拒絕的對象在該粒層終止，延遲決策的對象進(jìn)入下一粒層，通過“序貫三分而治”的策略來降低決策成本和學(xué)習(xí)代價(jià)，最終滿足給定的終止條件(如：總體代價(jià)最小、邊界域樣本數(shù)最少等目標(biāo)函數(shù))作為最優(yōu)粒層選擇的依據(jù)。此外，國內(nèi)外學(xué)者也給出了多層次三支決策的解決方案，具有代表性的研究方法有多粒度決策、多尺度決策和商空間方法等，上述相關(guān)研究從理論和方法上極大地豐富了多層次粒計(jì)算與三支決策的內(nèi)涵和外延。

其次，考慮基于多視角粒計(jì)算下的三支決策方法。對于多視角下的粒計(jì)算經(jīng)典案例來源于盲人摸象的故事。四位盲人張三、李四、王五和朱六同時(shí)摸一頭大象，張三摸到了大象的鼻子，他認(rèn)為大象像條彎彎的管子；李四摸到了大象的背部，他認(rèn)為大象像一堵墻；王五摸到了大象的尾巴，他認(rèn)為大象像一根粗粗的柱子；朱六摸到了大象的耳朵，他認(rèn)為大象像一把大蒲扇。從局部來說，四位盲人都抓住了大象的部分特征；但從全局來說，四位盲人都是以偏概全、以部分代替整體。而造成上述結(jié)果的原因正是由于不同的人站在不同的角度上去思考和求解相同問題。

對同一事物的多視角還體現(xiàn)在中國的古現(xiàn)代詩詞上。以廬山為例，詩仙李白筆下的《望廬山瀑布》是一首千古名篇的七言絕句：

日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川。

飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。

全詩豪邁奔放、氣勢恢宏；夸張而又自然、新奇而又真切，突顯出詩人萬里一瀉，未勢猶壯的藝術(shù)風(fēng)格。宋代大文豪，唐宋八大家之一蘇軾在《題西林壁》一詩中寫道：

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。

不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。

蘇軾筆下的廬山有景有畫，又富有哲理，揭示出從不同的方位看廬山，會(huì)有不同的印象，只有遠(yuǎn)離廬山，跳出廬山的遮蔽，才能全面把握廬山的真正儀態(tài)，這與粒計(jì)算的粒化思想不謀而合。此外，毛澤東對于廬山的描繪體現(xiàn)在《七律·登廬山》上：

一山飛峙大江邊，躍上蔥蘢四百旋。

冷眼向洋看世界，熱風(fēng)吹雨灑江天。

云橫九派浮黃鶴，浪下三吳起白煙。

陶令不知何處去，桃花源里可耕田？

詩中以廬山的雄偉突兀，長江的恢宏壯闊，透過詩人豐富的情思、雄健的筆力，顯得氣勢磅礴，意氣昂揚(yáng)。

總而言之，以上三首詩詞從不同角度對廬山進(jìn)行了寫實(shí)和寫意，這賦予了粒計(jì)算一種新的語義感悟。下面，我們再用一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)例子來闡述多視角粒計(jì)算的重要性和有用性。

假設(shè)現(xiàn)在需要利用5、5、5、5、5 這5 個(gè)數(shù)字通過四則運(yùn)算計(jì)算24，有哪些解題思路？

方案一從宏觀視角來看，可以從構(gòu)造大的自然數(shù)方向去思考，因此有： (5×5×5-5)÷5 = 24。

方案二從微觀視角來看，可以從構(gòu)造分?jǐn)?shù)和小數(shù)方向去思考，因此有： (5-5÷5÷5)×5 = 24。

方案一和方案二在數(shù)學(xué)上互為互補(bǔ)。此外，如果跳出四則運(yùn)算的范疇，借鑒 5 ×5-1=24 的一般思路去解決問題，則可以從中觀視角得到問題的第3 種求解方案：

根據(jù)上述例子，基于宏觀、中觀和微觀3 種不同視角下的思維方式也賦予了解決粒計(jì)算問題時(shí)一種新的思路。在實(shí)際決策過程中，可以通過不同視角將問題根據(jù)自身特性分解成若干子問題，在每個(gè)子問題中借鑒三支決策思想得到屬于正域的有效解，最后通過對子問題有效解的集成來獲取整個(gè)問題的解。正如張鈸院士所說的那樣：人類公認(rèn)的一個(gè)特點(diǎn)，就是能從不同的粒度上觀察和分析同一問題。人們不僅能在不同粒度的世界上進(jìn)行問題求解，而且能夠很快地從一個(gè)粒度世界跳到另一個(gè)粒度世界，往返自如，毫無困難。

4 三支決策的粒計(jì)算框架模型

在很多實(shí)際決策問題中，粒計(jì)算的多層次和多視角兩種屬性往往是相生相伴、相互依存的。在劃分多層次決策空間的過程中會(huì)采納多視角的思想；通過多視角策略處理決策問題的過程中會(huì)自然形成多層次的粒結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步地，將三支決策理論引入到粒計(jì)算中可以降低決策成本和學(xué)習(xí)代價(jià)。為了清晰地闡述三支決策的粒化思想，圖4給出了一個(gè)基于三支決策的粒計(jì)算框架模型。

在圖4 中，U有限非空的論域，對X?U，令0 ≤ β1≤ ···≤ βh-1＜ γh＜ αh-1≤ ···≤ α1≤1，此時(shí)，隨著粒層增加，正域和負(fù)域的規(guī)模單調(diào)遞增、邊界域的規(guī)模單調(diào)遞減。令：P OSk(X)， BNDk(X) 和NEGk(X)分別表示第k層(k∈[1,h])所對應(yīng)的正域、邊界域和負(fù)域。當(dāng)k∈[1,h-1] 時(shí)，我們有：

一方面，給定粒層k，在前第k層被劃分到正域和負(fù)域的樣本在第k層不再考慮，這大大地降低了決策成本。另一方面，隨著粒層k的增大，邊界域中的樣本會(huì)越來越少，如果在某粒層k?達(dá)到?jīng)Q策目標(biāo)，則可得到最優(yōu)粒層的終止層數(shù)；如果在最細(xì)的粒層h還未終止，則在第h層采取二支決策策略，即將第h-1層中落 在 邊 界域中的 樣 本 B NDh-1(X) 在 第h層強(qiáng)行分到正域 P OSh(X) 和負(fù)域 N EGh(X) 中。總而言之，上述基于粒計(jì)算的序貫三支決策策略也在一定程度上減少了系統(tǒng)的學(xué)習(xí)代價(jià)。

圖4 基于三支決策的粒計(jì)算框架模型Fig.4 The framework model of granular computing with three-way decisions

對于三支決策粒框架模型的實(shí)例驗(yàn)證和仿真分析，國內(nèi)外學(xué)者從不同領(lǐng)域進(jìn)行了富有成效的研究。李華雄等[30]從人臉識(shí)別的視角構(gòu)建了一種序貫三支圖像識(shí)別方法，從代價(jià)敏感視角給出了圖像粒層的構(gòu)建過程，并利用總代價(jià)最小原則給出了最優(yōu)粒度的選取準(zhǔn)則。張恒汝等[27]探討了基于推薦系統(tǒng)的三支決策方法，利用回歸分析的預(yù)測結(jié)果來構(gòu)造推薦粒層，并以誤分類代價(jià)和學(xué)習(xí)代價(jià)最小為目標(biāo)來制定相應(yīng)的推薦策略。葉曉慶等[38]提出了一種基于協(xié)同過濾的三支粒推薦算法，根據(jù)項(xiàng)目特征粒化用戶項(xiàng)目評分矩陣，形成用戶對項(xiàng)目粒度的評分矩陣，并以此作為用戶偏好的計(jì)算依據(jù)。進(jìn)一步地，該研究考慮了推薦過程中產(chǎn)生的誤分類成本和學(xué)習(xí)成本，通過引入三支決策來構(gòu)建基于用戶真實(shí)的評分偏好來構(gòu)建三支推薦模型。上述文獻(xiàn)從不同應(yīng)用背景來論述三支決策的粒計(jì)算思想是如何應(yīng)用到實(shí)際問題中去的，這也一定程度上驗(yàn)證了本文所提出框架模型的有效性。

5 結(jié)束語

本文系統(tǒng)地回顧、整理、分析和總結(jié)了近四十年來三支決策的發(fā)展蹤跡，從孵化、羽化、成長三個(gè)時(shí)期詳細(xì)介紹了三支決策的演化過程。首先，分析了三支決策與粗糙集理論的歷史脈絡(luò)、內(nèi)在聯(lián)系和相互關(guān)系；其次，從粒計(jì)算多層次和多視角兩個(gè)維度來探討三支決策的粒計(jì)算理論和方法，并利用豐富的例子來詮釋基于多層次和多視角下的三支決策思想和原理；最后，通過構(gòu)造序貫三支決策過程，給出一個(gè)三支決策的粒計(jì)算框架模型。雖然三支決策近年來在理論、方法、算法和應(yīng)用上取得了不少研究進(jìn)展，但其一般化理論還未完整構(gòu)建，很多問題還有待深入研究。值得一提的是，近年來國內(nèi)外學(xué)者已開始從不同學(xué)科來研究三支決策與粒計(jì)算問題，其中基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域關(guān)注于三支決策的粒度描述和粒度表示；信息科學(xué)領(lǐng)域聚集于三支決策的粒度選擇、粒度計(jì)算和粒度優(yōu)化；管理決策領(lǐng)域集中于三支決策的粒度解釋和粒度應(yīng)用。如何從多學(xué)科視角去思考、從跨專業(yè)領(lǐng)域去融合、從理論到方法去協(xié)同，從模型到算法去應(yīng)用，是今后三支決策與粒計(jì)算未來研究的重要方向。

參考文獻(xiàn)：：

[1]YAO Yiyu.Three-way decisions with probabilistic rough sets[J].Information sciences, 2010, 180(3): 341-353.

[2]YAO Yiyu.Three-way decision and granular computing[J].International journal of approximate reasoning, 2018, 103:107-123.

[3]YAO Y Y, WONG S K M.A decision theoretic framework for approximating concepts[J].International journal of man-machine studies, 1992, 37(6): 793-809.

[4]劉盾, 李天瑞, 李華雄.粗糙集理論: 基于三支決策視角[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 49(5):574-581.LIU Dun, LI Tianrui, LI Huaxiong.Rough set theory: a three-way decisions perspective[J].Journal of Nanjing University (Natural Sciences), 2013, 49(5): 574-581.

[5]劉盾, 梁德翠.廣義三支決策與狹義三支決策[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)與探索, 2017, 11(3): 502-510.LIU Dun, LIANG Decui.Generalized three-way decisions and special three-way decisions[J].Journal of frontiers of computer science & technology, 2017, 11(3): 502-510.

[6]劉盾, 李天瑞, 梁德翠, 等.三支決策的時(shí)空性[J].智能系統(tǒng)學(xué)報(bào), 2019, 14(1): 141-149.LIU Dun, LI Tianrui, LIANG Decui, et al.The temporality and spatiality of three-way decisions[J].CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(1): 141-149.

[7]HU Baoqing.Three-way decisions space and three-way decisions[J].Information sciences, 2014, 281: 21-52.

[8]LI Xiaonan, YI Huangjian, SHE Yanhong, et al.Generalized three-way decision models based on subset evaluation[J].International journal of approximate reasoning,2017, 83: 142-159.

[9]YAO Yiyu.Three-way decisions and cognitive computing[J].Cognitive computation, 2016, 8(4):543-554.

[10]LI Jinhai, HUANG Chenchen, QI Jianjun, et al.Threeway cognitive concept learning via multi-granularity[J].Information sciences, 2017, 378: 244-263.

[11]DAVIDE C, DIDIER D.A map of dependencies among three-valued logics[J].Information sciences, 2013, 250:162-177.

[12]QI Jianjun, QIAN Ting, WEI Ling.The connections between three-way and classical concept lattices[J].Knowledge-based systems, 2016, 91: 143-151.

[13]LIANG Decui, LIU Dun.Systematic studies on three-way decisions with interval-valued decision-theoretic rough sets[J].Information sciences, 2014, 276: 186-203.

[14]LIANG Decui, LIU Dun, PEDRYCZ W, et al.Triangular fuzzy decision-theoretic rough sets[J].International journal of approximate reasoning, 2013, 54(8): 1087-1106.

[15]LIANG Decui, LIU Dun.Deriving three-way decisions from intuitionistic fuzzy decision-theoretic rough sets[J].Information sciences, 2015, 300: 28-48.

[16]LIU Dun, LI Tianrui, LIANG Decui.Three-way decisions in stochastic decision-theoretic rough sets[M]//PETERSJ F, SKOWRON A, LI Tianrui, et al.Transactions on Rough Sets XVIII.Berlin, Heidelberg: Springer,2014: 110?130.

[17]LI Huaxiong, ZHOU Xianzhong, ZHAO Jiabao, et al.Non-monotonic attribute reduction in decision-theoretic rough sets[J].Fundamenta informaticae, 2013, 126(4):415-432.

[18]JIA Xiuyi, LIAO Wenhe, TANG Zhenmin, et al.Minimum cost attribute reduction in decision-theoretic rough set models[J].Information sciences, 2013, 219: 151-167.

[19]MIN Fan, HE Huaping, QIAN Yuhua, et al.Test-costsensitive attribute reduction[J].Information sciences,2011, 181(22): 4928-4942.

[20]ZHANG Xianyong, MIAO Duoqian.Three-layer granular structures and three-way informational measures of a decision table[J].Information sciences, 2017, 412?413:67-86.

[21]REN Ruisi, WEI Ling.The attribute reductions of threeway concept lattices[J].Knowledge-based systems, 2016,99: 92-102.

[22]YU Hong, LIU Zhanguo, WANG Guoyin.An automatic method to determine the number of clusters using decision-theoretic rough set[J].International journal of approximate reasoning, 2014, 55(1): 101-115.

[23]ZHOU Bing.Multi-class decision-theoretic rough sets[J].International journal of approximate reasoning, 2014,55(1): 211-224.

[24]LIU Dun, LI Tianrui, LIANG Decui.Incorporating logistic regression to decision-theoretic rough sets for classifications[J].International journal of approximate reasoning,2014, 55(1): 197-210.

[25]LI Yuefeng, ZHANG Libiao, XU Yue, et al.Enhancing binary classification by modeling uncertain boundary in three-way decisions[J].IEEE transactions on knowledge and data engineering, 2017, 29(7): 1438-1451.

[26]ZHANG Libo, LI Huaxiong, ZHOU Xianzhong, et al.Sequential three-way decision based on multi-granular autoencoder features[J].Information sciences, 2020, 507:630-643.

[27]ZHANG Hengru, MIN Fan, SHI Bing.Regression-based three-way recommendation[J].Information sciences,2017, 378: 444-461.

[28]WANG Min, MIN Fan, ZHANG Zhiheng, et al.Active learning through density clustering[J].Expert systems with applications, 2017, 85: 305-317.

[29]ZHOU Bing, YAO Yiyu, LUO Jigang.Cost-sensitive three-way email spam filtering[J].Journal of intelligent information systems, 2014, 42(1): 19-45.

[30]LI Huaxiong, ZHANG Libo, HUANG Bing, et al.Sequential three-way decision and granulation for cost-sensitive face recognition[J].Knowledge-based systems,2016, 91: 241-251.

[31]LI Y, ZHANG C, SWAN J R.An information filtering model on the web and its application in JobAgent[J].Knowledge-based systems, 2000, 13(5): 285-296.

[32]WOODWARD P W, NAYLOR J C.An application to Bayesian methods in SPC[J].The statistician, 1993,42(4): 461-469.

[33]LIU Dun, LI Tianrui, LIANG Decui.Three-way government decision analysis with Decision-theoretic rough sets[J].International journal of uncertainty, fuzziness and knowledge-based systems, 2012, 20(S1): 119-132.

[34]賈修一, 商琳, 周獻(xiàn)中, 等.三支決策理論與應(yīng)用[M].南京: 南京大學(xué)出版社, 2012.JIA Xiuyi, SHANG Lin, ZHOU Xianzhong, et al.The method and theory of three-way decisions[M].Nanjing:Nanjing University Press, 2012.

[35]劉盾, 李天瑞, 苗奪謙, 等.三支決策與粒計(jì)算[J].北京:科學(xué)出版社, 2013.LIU Dun, LI Tianrui, MIAO Duoqian, et al.Three-way decisions and granular computing[M].Beijing: Science Press, 2013.

[36]于洪, 王國胤, 李天瑞, 等.三支決策: 復(fù)雜問題求解方法與實(shí)踐[M].北京: 科學(xué)出版社, 2015.YU Hong, WANG Guoyin, LI Tianrui, et al.Three-way decisions: methods and practices for complex problem solving[M].Beijing: Science Press, 2015.

[37]張燕平, 姚一豫, 苗奪謙, 等.粒計(jì)算、商空間及三支決策的回顧與發(fā)展[M].北京: 科學(xué)出版社, 2017.ZHANG Yanping, YAO Yiyu, MIAO Duoqian, et al.Review and development of granular computing, quotient space and three decisions[M].Beijing: Science Press,2017.

[38]葉曉慶, 劉盾, 梁德翠.基于協(xié)同過濾的三支粒推薦算法研究[J].計(jì)算機(jī)科學(xué), 2018, 45(1): 90-96.YE Xiaoqing, LIU Dun, LIANG Decui.Three-way granular recommendation algorithm based on collaborative filtering[J].Computer science, 2018, 45(1): 90-96.