妙用“同旁內(nèi)角”說明三角形內(nèi)角和180°

彭穎璨

課本“7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和”提到小學(xué)里就發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和是180°，但并沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f明理由。接著“議一議”的圖形變換與探索讓我們感受到三角形內(nèi)角和是180度的理由。

如圖1，直線MN經(jīng)過△ABC的頂點A，MN∥BC。如圖2，延長BC，在點C右邊依次取點C2，C3，C4，…，Cn，連接AC2，AC3，AC4，…，ACn。請比較“∠B+∠BAC2” 與“∠B+∠BAC3”的大小；并思考“∠B+∠BACn”的大小規(guī)律，你能說明理由嗎？

可以發(fā)現(xiàn)：讓點C動起來后，只要點C在直線BC上，“∠B+∠BAC2” 是小于“∠B+∠BAC3”的，其關(guān)鍵是比較“∠BAC2” 與“∠BAC3”的大小。相應(yīng)的就有“∠B+∠BACn”的大小規(guī)律是越來越大，理由是∠BACn的度數(shù)會越來越大。但是只要點C仍然在直線BC上，∠B+∠BACn的角度是不可能達(dá)到180°的。這是為什么呢？

下面我們逆向來分析。假設(shè)∠B+∠BACn的角度達(dá)到180°，就可以構(gòu)造出如圖3的示意圖，此時，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，應(yīng)該有AC′∥BC，而這與三角形的定義中所規(guī)定的三條線段首尾順次相接形成的圖形相矛盾，所以∠B+∠BACn的角度是不可能達(dá)到180°的。

順勢擴(kuò)大認(rèn)識，仍然以圖3為例，也就可以說明三角形內(nèi)角和為180度的理由了。

由MN∥BC，可得∠NAB+∠B=180°，∠NAC=∠C，這樣就有∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形內(nèi)角和為180度。

教師點評

對于七年級學(xué)生來說，三角形內(nèi)角和為180°已經(jīng)是“顯而易見”的直覺結(jié)論了，但是進(jìn)入初中以后，幾何學(xué)習(xí)的特點是并不滿足于直覺所見，而是需要挖掘直覺背后的必然性，或者分析直覺可能的錯覺。事實上，數(shù)學(xué)之所以為數(shù)學(xué)，就在于它既需要直覺與想象，又需要理性的驗證，缺一不可。這方面的例子，同學(xué)們在“對頂角相等”的學(xué)習(xí)中應(yīng)該也已感受到了，以后還會有更多類似的案例，可以再次積累和體會。想到大數(shù)學(xué)家陳省身先生一次語出驚人地說：“你們都說三角形內(nèi)角和是180°，這是不對的！”很多人歪曲理解陳先生的表述，因為在這句話的后面，陳先生接著表達(dá)的是“稱三角形的外角和為兩個平角更好些”。聰明的同學(xué)，你能想得通為什么大數(shù)學(xué)家陳省身先生更推崇三角形外角和為360°嗎？我想，大概是因為這個“周角360°”會是一個定值，可一般化、推廣到四邊形外角和、五邊形外角和、n邊形外角和都是定值360°吧！ （指導(dǎo)教師：劉東升）