圓周率是怎樣算出來的？

梁衡

祖沖之在為古代數學名著《九章算術》作注時，接觸到圓周率問題，便被困擾得坐臥不安。他住所雪白的粉墻上，被畫了一個大大的圓圈，地上也是大圈套小圈，桌上到處是紛亂的稿紙。他背著手在房間里踱來踱去，一會兒好像自己走進了墻上那個大圓圈中，一會兒又好像桌上那一堆圓圈一齊涌進自己的腦子里，如一團亂麻。唉，這周徑之比是如何得出來的呢？他又回到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術》，坐下來邊讀邊想。

這時屋里還有一個十三四歲的男孩，他是祖沖之的兒子，叫祖暅。別看他小小年紀，卻天資聰穎，戲耍之余常愛在父親身邊推算那些數字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈，感到很新鮮，便單腿在圈里跳起來。突然聽到父親拍案喊道：“有了！”祖暅被嚇了一跳，忙跑過去拉著父親的衣袖問道：“什么有了？”“辦法有了。暅兒，你看劉徽這里不是明明寫著割圓術嗎？只要將一個圓不斷地割下去，內接上正多邊形，求出多邊形的周長，不就有了圓周率了嗎？暅兒，你會嗎？”

“我會，用爸爸教過的勾股定理一一去求就是了。”

“道理簡單，算起來可就費勁了。從今天起，咱爺兒倆就來辦這件事，你可要十分仔細啊。”

說完，祖沖之到院里搬來幾根大竹子，操起一把刀將它們破成細條，又將它們一一斬成短截，整整干了兩天，地上堆起了一座竹棍的小山。現在聽起來奇怪，搞計算怎么先干起竹木活來了？原來，當時既沒有阿拉伯數字可以筆算，也沒有算盤可以珠算，運算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用來拼擺成各種數字。數字縱橫兩式，個位、百位、萬位用縱式，十位、千位用橫式。一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。今天遇到這么大的算題，平時的那些算籌哪里夠用？

祖沖之將這一切準備停當之后，便在地上畫了一個直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然后再依次內接一個12邊形、24邊形、48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出多邊形的邊長和周長。你想這祖沖之何等聰明，他知道圓周率是周長與直徑之比，所以就把直徑定為一丈，這樣就省掉再除一次的程序，不斷求出多邊形的周長，也就不斷逼近圓周率了。祖暅也在那個大圓圈里跳進跳出地幫他拿算籌、記數字。就這樣，祖沖之直算得月落烏啼，直算得雞鳴日升。那竹棍擺成的算式從桌上延到地下，他又滿地轉著圈子，最后一屋子上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子，還沒有來得及打磨，祖沖之用手捏著，想著、擺著，不消幾日，指頭漸漸都被磨破，那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。

他們父子這樣不分晝夜地割拱算商。這天，他們割到第96份，真是如攀險峰，愈登愈難。當年劉徽就是到此卻步，而將得到的3.14定為最佳數據。夜靜更深，小祖暅早已眼皮沉重，東倒西歪地想睡了。祖沖之想，這些日子也實在辛苦了這孩子，便忙打發他去睡覺。他推開窗戶，深吸了幾口這建康城里夜深時分甜甜的空氣，看了一回星空，又轉過身來看看地上那個大圓。那內接的96邊形，與圓都快接近于重合了。按說能算到這一步已經實在不易，用這個數字再去為《九章算術》作注，也就完全可以了。

忽然，一陣夜風吹起窗幔，把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落，拋灑一地。要知每算一遍就要進行十一次加減乘除和開方，多么繁重的勞動啊！父子倆只好又重新擺布，不知過了多少天，終于把地上那個大圓直割到24576份，這時的圓周率已經精確到3.14159261。祖沖之知道這樣不斷割下去，內接多邊形的周長還會增加，更接近于圓周，但這已到了小數點后第八位，再增加也不會超過0.00000001丈，所以圓周率必然是3.1415926<π<3.1415927。當時祖沖之就把圓周率定在“上下二限”之間。這上下限的提法確是祖沖之首創，他得出的圓周率精確值在當時世界上已遙遙領先，直到一千年后才有阿拉伯數學家阿爾卡西的計算超過了他。所以國際上曾提議將圓周率命名為“祖率”。

（選自2018年第8期《大眾科學》，本刊有改動）