從一道中考題的解答談整體思想的運用

周亞兵

【問題】一個多邊形的每一個外角都是36°，則這個多邊形的邊數為 。

【解析】這個多邊形的每一個外角都是36°，則每一個內角都是144°。如果設這個多邊形的邊數為x，其內角和可以表示為144°·x，若根據內角和公式，則可以表示為180°（x-2），因而可以建立方程，得：144x=180（x-2），解得x=10。因此，本題應該填：10。

由于多邊形的外角和都是360°，因而本題還可以運用整體的數學思想，直接求得這個多邊形的邊數為360÷36=10。因此，本題應該填：10。

【反思】本題是2018年湖南省懷化市中考數學試卷中的一道試題。本題解答的兩種方法，分別從多邊形內角和公式、多邊形外角和定理兩個視角進行分析，靈活應用整體的數學思想，建立等量關系，使得問題逐步加以轉化。在解決有些問題時，如果將其中的相關聯的部分看成是一個整體進行思考，會使問題的解答更為簡潔。

應用一：求多邊形的邊數

一個多邊形的每一個內角都等于140°，那么這個多邊形的邊數是（ ）。

A.9條 B.8條 C.7條 D.6條

【解析】這個多邊形的每一個內角都等于140°，即每一個外角都等于40°，所以這個多邊形的邊數是360÷40=9。選A。

【點評】本題能夠根據多邊形的每個內角與外角互為鄰補角，求得多邊形的每個外角的度數，進而求得多邊形的邊數。

應用二：求“星角”的度數問題

如圖為二環四邊形，它的內角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度數為（ ）。

A.360° B.540° C.720° D.900°

【解析】分別連接AA1、B1D1，可使∠A1B1D1+∠AD1B1轉化為∠A1AD1+∠B1A1A，從而使圖形中所求七個角的和轉化為五邊形ABCDA1與△B1C1D1的內角和，即540°+180°=720°。選C。

【點評】本題運用整體思想，把分散的“星角”整體轉化，相聚到規則的多邊形中。

應用三：生活中的數學現象

如圖，小華從點A出發，沿直線前進10米后左轉24°，再沿直線前進10米，又向左轉24°……照這樣走下去，他第一次回到出發地A點時，一共走的路程是（ ）。

A.140米 B.150米 C.160米 D.240米

【解析】由條件可知，小華轉過的角度就是360°，即運動路線構成了多邊形，其外角和等于360°。由于他每次左轉24°，即為所形成的多邊形的每個外角度數，所以這個多邊形的邊數為360÷24=15，因此，小華需要左轉15次才可以回到出發點，所以他共走了150米。選B。

【點評】本題把多邊形的外角度數與實際問題相結合，解決小華所走的路程問題。解答時，同學們需要靈活地把實際問題抽象成數學問題。

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實驗初中城南校區）