細(xì)“察形”明“析數(shù)”

王麗花

線段、射線、直線是平面圖形的基礎(chǔ)知識(shí)，也是同學(xué)們常見的研究對(duì)象。在小學(xué)，同學(xué)們常常采用的是直觀性識(shí)圖，由于沒有學(xué)習(xí)過圖形的嚴(yán)謹(jǐn)表示方法，缺少幾何語言的嚴(yán)謹(jǐn)表述，因此在初中課堂表現(xiàn)及作業(yè)練習(xí)中常常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，現(xiàn)在幫助大家歸納整理。

一、 概念不清易混淆

例1 給出以下四種說法：①A、B是直線上兩點(diǎn)，那么直線可表示成直線AB；②線段AB與線段BA是相同的圖形；③延長射線AB就得到一條直線；④射線AB與BA是相同的圖形。其中正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

【分析】直線可以記作直線AB，也可以記作直線BA，表示直線的兩個(gè)大寫字母沒有順序；線段AB兩個(gè)端點(diǎn)沒有順序，可以記作線段AB或線段BA；射線AB的端點(diǎn)是A，延長射線AB，仍是射線AB；射線AB與BA的端點(diǎn)不同，延伸方向不同，所以是不同的圖形。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本道題目需要辨別概念的本質(zhì)特征，有無端點(diǎn)，是否能度量，是否能延伸，要加強(qiáng)概念的對(duì)比性理解，即理解概念的內(nèi)涵和外延。

二、方法模糊有錯(cuò)解

例2 解決下列問題：（1）平面內(nèi)有三點(diǎn)A、B、C，過A、B、C三個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)畫直線，可以畫幾條直線？（2）平面內(nèi)有四點(diǎn)A、B、C、D，過A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫幾條直線？（3）平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，過這n個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫幾條直線？

【分析】（1）首先，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C的位置要進(jìn)行分類討論，可能在同一直線上，則過這三點(diǎn)有且只有一條直線；也可能三點(diǎn)不在同一直線上，畫圖分析，此時(shí)經(jīng)過任意兩點(diǎn)畫直線可以畫三條。本題是為第（2）（3）問做鋪墊，當(dāng)平面內(nèi)任意三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，過任意兩點(diǎn)最多可以畫出幾條直線？（2）本小題需要解決的是“最多可以畫幾條直線”，所以不需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)平面內(nèi)四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不在同一直線的時(shí)候，最多可以畫出共6條直線。（3）需要解決的是“最多可以畫幾條直線”，所以也不需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)平面內(nèi)n個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)不在同一直線的時(shí)候，最多可以畫出的直線共[nn-12]條。

【點(diǎn)評(píng)】（1）部分同學(xué)在解答本題時(shí)容易受思維定勢(shì)的影響，不會(huì)進(jìn)行分類討論，尤其會(huì)疏漏三點(diǎn)共線的情況。問題（3）是問題（2）的一般化，平面內(nèi)的點(diǎn)從四個(gè)點(diǎn)變成n個(gè)點(diǎn)，從特殊到一般，從具體的數(shù)字計(jì)算到用字母表示，對(duì)同學(xué)們來說是一種思維的飛躍，我們可以適當(dāng)選取平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)、五個(gè)點(diǎn)的情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法歸納最多可以畫出的直線數(shù)量。

三、遷移不當(dāng)缺靈活

例3 在北廣高鐵沿線上共有45個(gè)車站，在這45個(gè)車站之間有多少種票價(jià)？

【講解】本題中每個(gè)車站與其他44個(gè)車站之間都要確定一個(gè)票價(jià)，所以，很多同學(xué)容易想到45×44=1980。但由于票價(jià)是由里程決定的，往返票價(jià)是相同的，所以，所得的結(jié)果產(chǎn)生了重復(fù)，并且是重復(fù)計(jì)算兩遍。實(shí)際上共有票價(jià)45×44÷2=990種。

【點(diǎn)評(píng)】本題以生活實(shí)際中票價(jià)問題為背景，這個(gè)情境貼近生活，便于理解，易于聯(lián)想。本題的數(shù)學(xué)模型是同一直線上的數(shù)線段問題，這和同一直線上共有45個(gè)點(diǎn)，共有多少條線段本質(zhì)上是相同的。“票價(jià)”與“數(shù)線段”這兩個(gè)問題的背景、條件和要求看起來不同，但可以理解為點(diǎn)和點(diǎn)之間的連線段問題。將兩類問題加以辨別、對(duì)比，加強(qiáng)解決問題策略的正遷移，可以提升解題的靈活度。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)前黃初級(jí)中學(xué)）