巧用“分類思想”數一數

劉躍

同學們面對數線段、數角的問題經常感覺“頭痛”，在這里給大家介紹一種既不重復又不遺漏的好方法——分類思想，它是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。

例1 如圖1，請你數一數，圖中一共有多少條線段？

【分析】如果一條一條地去數，很可能遺漏或重復。如果我們能夠將這些線段進行歸類，然后再一類一類去數，就比較容易了。

仔細觀察，我們就會發現，線段有且只有兩個端點，左右各一。所以，我們可以將線段的左端點進行分類。比如圖1中，我們把線段AB、AC、AD等以點A為左端點的線段歸為一類，把線段BC、BD、BE等以點B為左端點的線段歸為一類，等等。

按照這個思路，圖1中的線段一共可以分成5類：以A為左端點的線段一共有5條，以B為左端點的線段有4條，以C為左端點的線段有3條，以D為左端點的線段有2條，以E為左端點的線段有1條，以F為左端點的線段有0條。于是我們可求出共有多少條線段。

解：5+4+3+2+1=15（條）。

例2 如圖2，請你數一數，圖2中一共有多少個銳角？

【分析】我們不妨作一條直線與各邊相交，如圖3。設這條直線與各邊的交點依次是A、B、C、D、E、F。于是，我們看到，每個小銳角的頂點都是O點，每個銳角都對著一條線段，即∠AOB對著線段AB、∠BOC對著線段BC……這就是說在線段AF上的每一條線段都對應著一個銳角，因而只要知道有多少條線段，就一定有多少個角。求角的問題又轉化成了求線段問題，有了例1的鋪墊，同學們解答起來應該駕輕就熟，不成問題。

解：5+4+3+2+1=15（個）。

到這里，問題似乎已經完全解決了。但仔細思考一下，我們會有新的發現：在圖1中，像AB、BC、CD、DE、EF這樣的小線段一共有5條，我們給它們依次標上編號1、2、3、4、5，所求線段總條數為5+4+3+2+1=15（條）；同樣的，我們在圖2中給那些小銳角依次標上編號1、2、3、4、5，所求角的總個數為5+4+3+2+1=15（個）。歸納起來就是：先將所分成的短線段或小角依次編上號，然后將所有號數相加，這個和就是所求的線段的總條數或角的總個數。

如果我們再仔細觀察一下圖1與圖2，就會發現圖1共有點6個，圖2共有射線6條，所求的線段總條數或角的總個數都可以用6×（6-1）÷2=15來表示。也就是說，設有n個點（或射線），則共有線段（或角）的數量為：n×（n-1）÷2來計算，同學們可以自己研究一下。

（作者單位：江蘇省常州市新北區薛家中學）