巧用數學思想 妙解數學問題

孫愛云

數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識。

在小學數學課堂教學的實踐中，數學思想不僅能指導教師深入理解教材，進行高效的教學設計，更能幫我們巧妙地解決一些數學難題。

一、利用對應思想解決數學問題

對應是人們對兩個集合元素之間聯系的一種思想方法。這種思想方法是在兩個事物之間建立起來的一種關系，即對應關系，從而揭示事物之間的聯系。運用對應思想可以讓一些數學問題的數量關系變得簡潔、明了。

例如：幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？

這是一道盈虧類型的題目，解決這道問題的常用思路：這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分4塊。說明中班的人數是小班人數的6÷4=1.5倍，因此，這箱餅干全分給小班的小朋友，每位小朋友可以多分6×1.5=9（塊），一共可以分到6+9=15（塊）。

但在實際的教學過程中，五年級的學生并不能很好地理解這種教學思路。因此，在教學本道題目的時候，我就利用對應的思想來解決這道題目，收到了良好的教學效果。

“把這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分4塊。”通過對這句話的分析和理解，我們可以知道，如果只分給中班的小朋友，那么中班小朋友每人手中的6塊餅干可以不用考慮，只考慮把小班小朋友的餅干重新分配給中班就可以。認真觀察，我們可以發現小班2個小朋友手中的餅干是6×2=12（塊），這12塊剛好分給中班的3個小朋友。這樣小班的2個小朋友和中班的3個小朋友之間就建立起一種對應關系。因此，如果這箱餅干只分給小班的小朋友，每人就可以多分6×3÷2=9（塊），每人共分6+9=15（塊）。

這樣利用他們之間的對應關系，既巧妙地解決了這類數學題目，同時又降低了學習的難度，提高了學生學習數學的興趣。

二、利用數形結合思想解決數學問題

數形結合思想就是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。數形結合思想在數學中的應用大致分兩種：一是“以數解形”；二是“以形助數”。在小學數學課堂的教學中，教師最常用的是畫線段圖，幫助學生分析數量關系，理清解題思路。

在有倍數關系的題目中，我們常用的畫線段圖的方法如下。

例如：甲是乙的3倍。

但是，這種畫線段圖的方法對于下面這種倍數關系的題目來說，學生還是無法從線段圖中找出題目的數量關系。如果我們變換線段圖的畫法，就會很容易幫助學生理清解題思路。

例如：甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書是乙組的5倍。甲組原有圖書多少本？

在分析這道題的數量關系時，我們采用了如下畫線段圖的方法。

先畫出甲是乙的3倍，然后從乙中拿出6本給甲，再用虛線把甲和乙同樣多的部分連起來。學生從這個線段圖中很容易發現：現在的甲是乙的5倍，甲虛線左邊是乙的3倍，甲虛線右邊的部分6×3+6就是乙現在的5﹣3倍，因此，學生很容易求出：

現在乙組的本數：（6×3+6）÷（5﹣-3）=12（本）

原來乙組的本數：12+6=18（本）

原來甲組的本數：18×3=54（本）

這種解法就是在數形結合思想的指導下，巧妙地改變了常規畫線段圖的方法，讓題中的數量關系在線段圖中清晰地呈現出來，大大地降低了題目的難度，提高了學生的學習興趣。

三、利用數形結合和轉化思想解決數學問題

例如：一件工作甲做5小時以后由乙來做，3小時可以完成；乙做9小時以后由甲來做，也是3小時可以完成。那么，甲做1小時由乙來做，幾小時可以完成？

解決本題主要借助線段圖（數形結合）和轉化的思路來分析。

根據題意可知：這件工作甲做5小時，乙做3小時可以完成。或者甲做3小時，乙做9小時可以完成。從線段圖上可以清楚地看出：甲（5﹣3）小時做的=乙（9﹣3）小時做的，也就是甲1小時做的=乙3小時做的。這樣借助線段圖就很清晰地看出甲、乙之間的關系，再借助轉化思想順利解決問題。

綜上所述，數學思想在我們的課堂教學實踐中占有舉足輕重的位置，我們在教學中要不斷滲透數學思想，讓學生在學習過程中感悟數學思想，體會數學思想，不斷提高學生的數學素養，為學生的可持續發展奠定堅實的基礎。

【作者單位：葉縣教體局工農教研室河南】