點線面位置關系學習的主導思想方法研究
——以《空間點、直線、平面之間的位置關系》一節為例

陳小娟

(福建省漳州市華安縣華安一中 363800)

某種學習內容主導思想方法的尋得是在全面掌握此種內容，并能剖析出清晰的筋骨脈絡的基礎上進行的，這便需要教師在其PCK，即學科教學知識的支撐下，將知識濃縮成精華，升華為思想方法引導學生習得知識、提升思維與數學素養，這也便是在點線面位置關系這一學習內容本身之外要對其思想方法進行研究的緣由.所以，針對這一內容，我總結出三種有效的思想方法：思維伸縮法、梳理法、平面立體轉化法.

一、思維伸縮法——平面與直線的延伸和限制

在高中低年級學段，學生關于教材權威性的認知依然沒有得到突破性的改變，其學習過程遵循的依舊是意識毫無選擇與反思地全面接受教材的模式，這確乎為學生獲取系統知識提供了保障，但也造成了其對錯誤知識的無條件接收，除此之外更為嚴重的是其思維局限慣性的逐漸形成與漸漸遠離數學學習鍛煉思維能力的初衷的后果.所以，教師要適時地在教學過程中補充呈現教材中沒有體現或體現不明顯但卻對學生對于知識的整體理解容易造成誤解的相關知識，避免學生學習誤區，慢慢養成真正的數學學習所需要的開闊靈活的思維方式.

例如：在引入點、直線、平面這三個圖形構成基本要素的環節，書本上呈現的大多是尺寸有限的直線和平面，但在實際的空間幾何中，它們是無限延展的.這一概念雖然對學生理解和運用課本知識并無大礙，因為涉及到的原理與題目幾乎皆基于直線和平面有限的呈現，但如若學生意識中缺失了這一概念，那么這種缺失使其對于立體幾何的本質認識造成的誤解卻是根源性的.所以，在點線面的概念引入之初我便向同學們明確強調了這一點，同時闡明這種為了研究方便而化無限為有限的數學方法，在保證學生接收線面知識正確性的同時，有效拓寬了其數學思維，教會學生靈活處理問題的建模方法.

二、梳理法——相交與平行的二重可能性

任何一個方面的知識都會隨著研究深度的增加而逐漸細化、復雜化，所以，對其進行掌握需要的便不再是費時費力的對于每個知識點的分散記憶，而是打通知識間的經脈，發現知識的相似性與獨特性，進而進行梳理.這樣的方法，不僅能夠使知識有邏輯地呈現，方便自己管理和記憶，由此，也會更深刻全面地認識到數學事物、規律的本質.這里的直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系，三者皆具有某一共性，即非相交、即(不相交)平行的二重可能性，所以，教師要在教學過程中利用這種非此即彼的概念，鍛煉學生的空間想象能力和全面思考問題的能力.

例如：在探究直線與平面之間的位置關系時，我帶領同學們多次對兩者可能的狀態進行演示實驗，之后，總結出三種可能性：直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行.

在之后的對平面與平面位置關系的研究中，進行同樣的操作實驗，發現了兩種位置狀態：平面與平面平行、平面與平面相交.由此，同學們會發現位置關系平行、相交的二重可能性.多次實地的演示與探究大大鍛煉了同學們的空間想象能力和依托空間想象進行對空間事物狀態判斷的能力，而且抓住了平行、相交這一位置關系研究的中心點，依此實現對點線面位置關系更深入和牢固的把握.

三、平面立體轉化法——平面立體位置關系

多維立體空間和單維平面其實是兩個相互依附、可以相互轉化的存在：單維平面構成立體幾何，多維立體拆解成單維平面.所以，有時我們可以將空間問題有意識地轉化為平面問題以達到方便研究的目的.但由于這種轉化涉及到空間中的動態平移，所以它需要強大的空間想象能力，這對高一新生來講，確乎有一定難度，但是引導學生在腦海中實現這種轉化的過程同樣也恰恰是鍛煉其空間想象能力的過程，即雙贏共進.所以，教師要充分運用這一原理，在相關內容模塊積極引導學生進行由立體到平面的想象轉化，加深對立體幾何點線面位置關系的理解和掌握.

例如：在直線與直線之間的位置關系中存在一種既非平行，也非相交的情況，即不同在任何一個平面內的異面直線，類似以下圖形中AB線段和CC′線段所在的直線：

圖1 圖2

那么，如何利用常見的用兩條直線的夾角來度量異面直線的位置關系呢？即如何求兩條異面直線所成的角？解決這一問題便需要將CC′所在直線平移至BB′所在直線，或將AB所在直線平移至CD所在直線，使得兩條直線在同一平面內，如此便能輕松得到兩條異面直線所成的角.除此之外，它還涉及之前學習內容的立體幾何體三視圖與之后的關于立體幾何的更深一步學習，如需要剪裁拼接某立體圖形的某一部分以方便剖析研究等，如圖2.一個長方體截去一個三棱錐所得的橫截面與以此形成的長方體各個平面的變化，都涉及動態平移、平面和立體之間的轉化等.可見，這種轉化幾乎貫徹立體幾何內容的方方面面，所以這一點便當之無愧成為這一節內容的一大主導思想之一.

立體幾何是高中數學學科中極為重要的內容，也是高中生數學理性思維培養工程的一大環節，所以，對于其具有基礎性的點、線、面的位置關系便成為教師教學與學生學習需加重視的一項內容.而且其中涉及到的直線平面的無限延伸性、相交平行的位置關系二重可能性與單維平面和多維立體之間的轉化關乎整個立體幾何的學習過程.由此可見，這一節內容的關鍵性與上文中述說的三個主導思想方法的重要性.