“等效重力”思想的應(yīng)用
——從一道高考題說起

陳篤杰

(福建省漳州市第三中學(xué) 363000)

一、2018年全國Ⅰ卷第18題的探討

原題：如圖1，abc是豎直面內(nèi)的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R；bc是半徑為R的四分之一的圓弧，與ab相切于b點(diǎn).一質(zhì)量為m的小球始終受到與重力大小相等的水平外力的作用，自a點(diǎn)處從靜止開始向右運(yùn)動，重力加速度大小為g.小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動到其軌跡最高點(diǎn)，機(jī)械能的增量為( ).

A．2mgRB．4mgRC．5mgRD．6mgR

分析本題用很基本、簡潔的物理模型來考查物理規(guī)律和思維方法，這也是全國卷命題的特點(diǎn)之一.學(xué)生對熟悉的物理情景容易上手，解題的關(guān)鍵是小球始終受到一個水平恒力，對文字表述“運(yùn)動到其軌跡最高點(diǎn)”要細(xì)心審題，避免跳進(jìn)“陷阱”.此題將運(yùn)動的合成與分解、功能關(guān)系等核心考點(diǎn)有機(jī)融合，突出考查學(xué)生分析綜合能力.

解法一設(shè)小球運(yùn)動到c點(diǎn)的速度大小為vc，如圖2，小球從a到c的過程中

小球離開c點(diǎn)到軌跡最高點(diǎn)的過程中，由運(yùn)動的分解得

豎直方向上：小球只在重力的作用下，速度從vc勻減速到0

水平方向上：小球做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度a=g

小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動到其軌跡最高點(diǎn)的過程中，總水平位移大小為5R

由功能關(guān)系得：小球機(jī)械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR

該解法中規(guī)中矩，要求學(xué)生具有扎實(shí)的基本功和一定的數(shù)學(xué)計算能力.然而作為一道選擇題我們可以尋求較簡捷的方法.

解法二我們可以設(shè)想，整個軌道模型處在一個與水平方向成45°斜向右下方的“等效重力場”中，四分之一圓弧的中點(diǎn)可稱為“等效最低點(diǎn)”.如果在c點(diǎn)上方再補(bǔ)上一段豎直光滑軌道，如圖4，從“等效重力場”的角度觀察，呈現(xiàn)了我們熟悉的情景——“伽利略理想實(shí)驗(yàn)”的兩個對接的斜面.根據(jù)對稱性，小球從a點(diǎn)靜止出發(fā)“沿斜面滾下”經(jīng)圓弧后又會“沿斜面滾上”相同的“高度”，即恰好到達(dá)d點(diǎn)，cd=2R.

再撤去豎直光滑軌道，小球從c點(diǎn)拋出后，由于豎直方向上只受重力，按分運(yùn)動的“獨(dú)立性”可知，小球離開c點(diǎn)后到其軌跡最高點(diǎn)的豎直高度也為2R.又因水平和豎直方向上的兩個分運(yùn)動具有“對稱性”，容易得出小球達(dá)到軌跡最高點(diǎn)時的水平位移也為2R，則從a點(diǎn)開始的水平總位移為5R，由功能關(guān)系得小球機(jī)械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR.

解法二強(qiáng)調(diào)的是“物理思想”的應(yīng)用，等效重力場確定后只要簡單分析和推理，基本上無需數(shù)學(xué)計算就能快速得出結(jié)果，提高了解題效率.

下面以這道高考題為母題，通過一些簡單的變形來探討“等效重力”的應(yīng)用.

二、一題多變、拓展延伸

拓展一在原題的基礎(chǔ)上改為求：小球從c點(diǎn)拋出后經(jīng)多少時間動能最小？最小動能為多少？

豎直方向上：做初速度為vc，加速度為g的勻減速運(yùn)動

vy=vc-gt

水平方向上：做初速度為零，加速度為g的勻加速運(yùn)動vx=gt

小球上拋后的速度

該解法運(yùn)用二次函數(shù)求速度極值較繁瑣，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力.

設(shè)小球斜拋到“等效最高點(diǎn)”d點(diǎn)的時間為t，有最小速度vmin

可見，解法二應(yīng)用“等效重力”解題，思路清晰、過程簡潔.

“等效重力場”(g′)與豎直方向夾角為α

設(shè)ab距離為S時,小球恰能做完整的圓周運(yùn)動,小球在經(jīng)過”等效最高點(diǎn)”c點(diǎn)時,對軌道壓力恰好為零,即小球在c點(diǎn)只受”等效重力”mg′,cO方向與豎直方向夾角也為α.

拓展三如圖9,光滑的水平軌道和圓弧軌道在b點(diǎn)相切，整個裝置處于一個水平向右的勻強(qiáng)電場中.帶電小球在c點(diǎn)平衡,oc與豎直方向夾角α=30°.(1)要使小球運(yùn)動到b點(diǎn)時速度為零,則小球由靜止釋放的位置與O連線與豎直方向夾角β為多少？

(2)若α≤5°，則小球從靜止釋放到達(dá)b點(diǎn)的時間為多少？

解(1)由于帶電小球在c點(diǎn)平衡，可知c點(diǎn)為“等效最低點(diǎn)”，“等效重力”mg′方向沿Oc，如圖10，根據(jù)對稱性，小球應(yīng)從c點(diǎn)右側(cè)的b′點(diǎn)靜止釋放，b′點(diǎn)與b點(diǎn)關(guān)于Oc對稱.因此，Ob′與豎直方向的夾角β=2α=60°，小球從b′點(diǎn)靜止出發(fā)后將在bb′之間往復(fù)運(yùn)動.

(2)若α≤5°，則小球?qū)⒃赽b′之間做簡諧振動

從靜止釋放后到達(dá)b點(diǎn)的時間

“等效重力”是等效思想在解題過程中的一種具體應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考問題能力的重要途徑.我們可以利用類比法把一些復(fù)雜的、生疏的問題等效為我們熟知的、經(jīng)典的重力場問題，使解題思路更加豁然開朗，減少繁瑣的數(shù)學(xué)計算，達(dá)到“柳暗花明”的效果.

在重力場和勻強(qiáng)電場組成的復(fù)合場中，可應(yīng)用“等效重力”處理的常見問題有：豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題、單擺的對稱性問題、求解拋體運(yùn)動速度(動能、動量)極值的問題等.