一道診斷考試題的推廣探究

董 強

(甘肅省西和縣第一中學 742100)

2017年甘肅省第一次診斷考試中的圓錐曲線試題是探究是否存在兩個定點，使得給定表達式為定值的探究問題，有別于以往的是否存在一個定點問題的探究，其中所涉探究過程均依托于圓錐曲線的定義.筆者覺得頗有研究的價值，也是一種新的命題方向，在此將試題解析與推廣探究過程與讀者分享，以引起更多師生的關注.

一、試題呈現

(1)求橢圓C的方程；

二、試題解析

解析設P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

即x1x2+2y1y2=0(*).

三、推廣探究

對上述試題第二問的結論可以作以下一般性的推廣：

圓可以看作橢圓的特殊情形，于是在圓中有如下的結論.

雙曲線和橢圓具有很多相似的性質，上述結論還可以在雙曲線中做一般性的推廣.

證明設P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

對于焦點在y軸上的橢圓和雙曲線，上述相應的結論依然成立.

結論1和結論3雖然隸屬不同的曲線類型，但其形式上是相同的，可以將二者合并為如下的結論.