也談對2017年全國卷Ⅲ第12題的賞析與拓展
2019-02-26 00:50:46董安林
數理化解題研究 2019年4期
董安林
(甘肅省金昌市第一中學 737100)
文【1】從坐標法、基向量法、數形結合法三個視角，使用四種方法對2017年全國卷Ⅲ第12題進行了解析.筆者對此題的解析也略有心得，特撰此文，與各位同仁共賞.
于是，有如下結論成立：
(1)當P∈直線AB時，λ+μ=1；
證明(1)當P∈直線AB時，A,B,P三點共線，由三點共線性質可知λ+μ=1，結論(1)得證.
①當P∈Ⅱ區且在AB與l之間時，如圖2所示.
②當P∈Ⅱ區且與AB在l的異側時，如圖3所示.
下面應用以上定理逐一解決文【1】中的所有問題.
變式1 求λ+μ的最小值.
解析如圖5，當點P與M重合時，P距離直線BD最近，此時P∈BD，λ+μ=1，問題得解.
變式2 求λ+2μ的最大值.
過A作AE⊥BG=E，記AE=h，過C作CF⊥BG=F且交圓C于點P(較遠的交點)，此時P距BG最遠，λ+2μ取得最大值.
