更換主元 巧解一道高考壓軸題

任孝輝 時英雄

(安徽省合肥市第一中學 230601)

原題再現：(2016年高考新課標Ⅲ卷文)設函數f(x)=lnx-x+1．

(1)討論f(x)的單調性；

(3)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

當00，f(x)單調遞增；當x>1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減.

(2)由(1)知，f(x)在x=1處取得最大值，最大值為f(1)=0，

所以當x≠1時，lnx

(3)由題設c>1，設g(x)=1+(c-1)x-cx，則g′(x)=c-1-cxlnc．

當x0，g(x)單調遞增；當x>x0時，g′(x)<0，g(x)單調遞減.

所以當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

試題新解(1)(2)略.

(3)由題設x∈(0,1)，c>1,設h(c)=1+cx-x-cx=xc-cx+1-x,c>1.

h′(c)=x-xcx-1=x(1-cx-1).∵x∈(0,1),∴x-1∈(-1,0).

∴函數m(c)=cx-1在(1，+∞)上是單調遞減函數,

∴cx-1<1x-1=1,∴1-cx-1>0.

∴h′(c)=x(1-cx-1)>0，h(c)在(1，+∞)上單調遞增.

∴h(c)>h(1)=x-1+1-x=0,所以當c>1，x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx，得證.

評注試題原解構造關于x的函數g(x)=1+(c-1)x-cx，通過對其求導利用(2)的結論，判斷出極大值點x0∈(0,1)，得證.新解中構造關于c的函數h(c)=xc-cx+1-x，更換了主元，通過求導直接判斷出導函數大于零，證出單調性，使得問題簡化許多，進而得證.