由“橢圓與雙曲線(xiàn)的第一定義”想到的問(wèn)題

韓景崗

(山東省鄒平縣黃山中學(xué) 256200)

學(xué)習(xí)了橢圓與雙曲線(xiàn)的第一定義后，對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離和差為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與橢圓、雙曲線(xiàn)有關(guān)，那我們可以進(jìn)一步探究，由加減到乘除的運(yùn)算時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P各自的軌跡方程如何？

例1 平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|·|PB|=a(a≥0且a為常數(shù))，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么？

整理得(x2+y2)2-2(x2-y2)=a2-1，

對(duì)于常數(shù)a≥0,可討論如下六種情況：

(1)當(dāng)a=0時(shí)，曲線(xiàn)變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0)；

(2)當(dāng)0

(3)當(dāng)a=1時(shí)，曲線(xiàn)成8字形自相交叉，稱(chēng)為雙紐線(xiàn)；

評(píng)析這就是著名的卡西尼卵形線(xiàn)的特殊情況.

卡西尼卵形線(xiàn)，是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，是環(huán)面曲線(xiàn)的一種.也就是說(shuō)，平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-a,0)、B(a,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|·|PB|=b2(a≥0且a為常數(shù))，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是：

((x-a)2+y2)((x+a)2+y2)=b4或(x2+y2+a2)2-4a2x2=b4.

①曲線(xiàn)C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；

②曲線(xiàn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)___.

評(píng)析上面動(dòng)點(diǎn)P的軌跡被稱(chēng)作阿波羅尼斯圓.

特別的當(dāng)λ=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn).

阿波羅尼斯圓有下面幾個(gè)常見(jiàn)的性質(zhì)：

2.當(dāng)λ>1時(shí)，點(diǎn)B在圓O內(nèi)，點(diǎn)A在圓O外；當(dāng)0<λ<1時(shí)，點(diǎn)A在圓O內(nèi)，點(diǎn)B在圓O外.

3.直線(xiàn)AC為圓O的一條切線(xiàn).若已知圓O及圓O外一點(diǎn)A，則可作出與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的B，只要過(guò)點(diǎn)A作圓O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為C、D，連接CD與AO交于點(diǎn)B；反之，可作出與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A.

4.過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線(xiàn)AC(C為切點(diǎn))后，CP、CQ分別為∠ACB的內(nèi)、外角平分線(xiàn).

在上面兩道例題的探究上，其實(shí)就是抓住教材中比較熟悉問(wèn)題去聯(lián)想.可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)高考題也就是我們比較數(shù)學(xué)的內(nèi)容引申升華一下而已，近年來(lái)的高考題越來(lái)越重視這種對(duì)思想方法的考查，隨著試題難度的上升，這樣的類(lèi)比聯(lián)想等的方法會(huì)越來(lái)越重要.