解壓軸題：輪換對稱 化曲為直

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國語中學 362000；2.福建省泉州第五中學 362000)

壓軸題中有一類是條件不等式問題，其條件與結論都是關于某幾個變量的輪換對稱式，而且這幾個變量的和為定量，結論是這幾個變量的某個函數值和的形式.針對這類問題，本篇介紹的解決方法是：構造函數，求出函數圖象在變量均值處切線方程，證明函數圖象在指定范圍內恒在切線上方或下方，把所求函數值的和放縮為切線函數值的和，從而解決問題.

例題1 (2009年金考卷猜題卷(一))設函數f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的圖象在x=2處的切線與直線y=12-5x平行.

(1)求m的值和該切線的方程；

(2)若對?x1,x2∈[0,1]，|f(x1)-f(x2)|≤M恒成立，求M的最小值；

分析與解(1)切線的方程為： 5x+y-10=0.

方法三(配套參考解答)

f(x)=(1+x2)(2-x)，由(Ⅱ)得：當x∈[0,1]時，

由已知得

(1)求a的值及f1(x)的單調區間；

(2)是否存在實數k，使得射線y=kx(x≥-3)與曲線y=f1(x)有三個公共點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由；

(3)設x1,x2,…,xn為正實數，且x1+x2+…+xn=1，證明：

fn(x1)+fn(x2)+fn(x3)+…+fn(xn)≥0.

∵n∈N*且x∈(0,1)時，2n2+1-nx-nx3-x2=n(2n-x-x3)+(1-x2)>0，

(2)判斷函數g(x)的零點個數，并說明理由；

(3)已知數列{an}滿足：0

若不等式f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)≤g(x)在x∈(p,+∞)時恒成立，求實數p的最小值.

(2)g(x)零點個數：當p<-1時，有2個；當p=-1時，有1個；當p>-1時，沒有. 理由略.

當x∈(p,p+1)時，g′(x)<0；當x∈(p+1,+∞)時，g′(x)>0.

∴g(x)在區間(p,p+1]單調遞減，在區間(p+1,+∞)單調遞增，g(x)min=g(p+1)=p+1，則p≥6044.

∴所求實數p的最小值為6044.

例題4 已知函數f(x)=xlnx.

(1)討論f(x)的單調性；

(3)已知x1,x2,…,x100∈(0,1)，且x1+x2+…+x100=50，求f(x1)+f(x2)+…+f(x100)的最小值.

(2)當k>1-ln2時，g(x)有2個零點；

當k=1-ln2時，g(x)有1個零點；

當k<1-ln2時，g(x)沒有零點.理由略.

則f(x1)+f(x2)+…+f(x100)≥(1-ln2)(x1+x2+…+x100)-50=-50ln2，

則所求f(x1)+f(x2)+…+f(x100)最小值為-50ln2.