例談函數(shù)單調(diào)性的“四用”

劉依軒

(河北省唐山市第二中學(xué) 063000)

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是高考熱點(diǎn)問(wèn)題之一，我在學(xué)習(xí)中不斷地總結(jié)了函數(shù)單調(diào)性的一些問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用.

一、正用

是指直接利用單調(diào)函數(shù)概念，證明或判斷一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)．其步驟通常是：(1)設(shè)x1,x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1

證明如下：任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1

∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).

∴f(x)在區(qū)間(1，+∞)上是單調(diào)減函數(shù).

同理可證，f(x)在區(qū)間(-∞，-1)和(-1，0)以及(0，1)上的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng)由定義法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，需要分兩步：一是在定義域區(qū)間內(nèi)設(shè)兩個(gè)數(shù)x1

例2 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3a2-1 (a>0，0≤x≤1)．

分析將f(x)=x2-2ax+3a2-1配方得f(x)=(x-a)2+2a2-1，有同學(xué)認(rèn)為f(x)的最小值是2a2-1，最大值不存在，這是錯(cuò)誤的．根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與定義域的關(guān)系，需要討論直線(xiàn)x=a相對(duì)于區(qū)間[0，1]的各種可能．

解(1)f(x)=x2-2ax+3a2-1= (x-a)2+2a2-1.當(dāng)a≥1時(shí)，由于f(x)在[0，1]上是減函數(shù)，故f(x)的最大值為f(0)=3a2-1，最小值為f(1)=3a2-2a；

當(dāng)0

二、逆用

逆用是指已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍．

例3 已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2.

此二次函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸為x=1-a，開(kāi)口向上．

可得1-a≥4，解得a≤-3．

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查用分離常數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解題.

三、活用

由單調(diào)函數(shù)的定義易知，任何一個(gè)單調(diào)函數(shù)，在其單調(diào)區(qū)間上每個(gè)自變量與函數(shù)值之間是一一對(duì)應(yīng)的.應(yīng)用此性質(zhì)解題是單調(diào)函數(shù)概念運(yùn)用的一個(gè)重要方面.

例5 設(shè)f(x)=x3-3x2+6x-6，若f(a)=1，f(b)=-5，則a+b=( ).

A.-2 B.0 C.1 D.2

解原函數(shù)可化為f(x)=(x-1)3+3(x-1)-2．

又f(a)=1，f(b)=-5，則可得(a-1)3+3(a-1)=3，(1-b)3+3(1-b)=3．

又設(shè)函數(shù)f(t)=t3+3t，故上面等式可化為f(a-1)=f(1-b).易知函數(shù)f(t)=t3+3t在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，因此a-1=1-b，得a+b=2．

點(diǎn)評(píng)本題解題的關(guān)鍵是先將函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-6變形為f(x)=(x-1)3+3(x-1)-2(這也是求解此題的突破點(diǎn))然后利用所得到的式子①構(gòu)造函數(shù)f(t)=t3+3t最后利用函數(shù)f(t)的單調(diào)性奇偶性即可求解．

點(diǎn)評(píng)本題利用先變形函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論，使問(wèn)題迎刃而解.

四、構(gòu)造用

即非單調(diào)函數(shù)問(wèn)題(如不等式證明、求值等)，通過(guò)構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)，再用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決．

例7 已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證abc+2>a+b+c.

解析考查目標(biāo)不等式，可等價(jià)變形為(bc-1)a+2-b-c>0.視b、c為常量，a為變量，構(gòu)造一次函數(shù)f(x)=(bc-1)x+2-b-c(|x|<1)，由|b|<1，|c|<1，可知bc-1<0，所以f(x)在(-1，1)上是減函數(shù)．又-1f(1)=(bc-1)·1+2-b-c=(b-1)(c-1)>0，即(bc-1)a+2-b-c>0.原不等式輕松獲證．