高中數(shù)學(xué)變量代換解題措施分析

李如貴

(新疆師范大學(xué)附屬中學(xué) 830054)

變量代換法是一種效果極強(qiáng)的解題技巧，這種解題措施在高中時(shí)期主要對(duì)一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題會(huì)有很好的效果.合理地代換通常情況下都會(huì)將變量較多、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，使題目信息直觀地表現(xiàn)出來，隱含條件顯現(xiàn)出來，進(jìn)行變量與變量之間的溝通，對(duì)清晰解題思路、簡(jiǎn)化解題過程有著至關(guān)重要的作用.教師在講授書本知識(shí)的同時(shí)再對(duì)解題思路進(jìn)行講解，使學(xué)生掌握利用變量代換的措施來解決復(fù)雜問題，以在順利完成教學(xué)任務(wù)的前提下幫助學(xué)生理解掌握教學(xué)內(nèi)容，通過學(xué)生對(duì)復(fù)雜題目簡(jiǎn)化的過程可以考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況.

一、變量代換在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.變量代換法在積分中的應(yīng)用

變量代換法在積分中的應(yīng)用包括兩個(gè)方面，一個(gè)是變量代換法在不定積分中的應(yīng)用，另一個(gè)是變量代換法在定積分中的應(yīng)用.而變量代換法在不定積分中的使用歷程中，通常必需運(yùn)用一些最基礎(chǔ)的積分公式和積分具有的基本特征、基本性質(zhì)，不定積分在數(shù)學(xué)題目計(jì)算的過程中涉及的基本解題措施是有限的，不過利用變量代換法，將計(jì)算期間的中間變量與另一個(gè)新的變量進(jìn)行相應(yīng)的代換后，就能夠在復(fù)合函數(shù)運(yùn)算過程中使用微分法在這里進(jìn)行反過程的運(yùn)用來求解不定積分，這樣不定積分的有關(guān)問題就能夠以一個(gè)簡(jiǎn)化的方式得到相應(yīng)的解答，這就是高中數(shù)學(xué)中常用的變量代換法中的換元積分法.

2.三角變量代換解題方法

三角變量代換法屬于變量代換的一種，此種方法是處理積分題的主要手段，但它實(shí)際應(yīng)用的范圍是非常廣泛的，除了針對(duì)積分問題外還可以有效地解決三角函數(shù)問題.對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行處理時(shí)，主要采用的是三邊或三角代換，使代數(shù)類信息以三角形式體現(xiàn)出來，也就是說三角變量代換法是將代數(shù)信息有技巧地轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)信息，這樣就可以幫助學(xué)生化簡(jiǎn)問題，以簡(jiǎn)單方法解答問題，簡(jiǎn)化證明程序.

例如：求cos36°-cos72°的值.

在看到題目中有36或72的時(shí)候，大家心里應(yīng)該會(huì)一下放松起來并感到高興，因?yàn)檫@道題以隱藏的方式給予了我們?cè)S多已知信息，可以利用教材中的倍角或者半角公式來反復(fù)代換，這種解題能力就需要學(xué)生具有穩(wěn)固的基礎(chǔ)知識(shí).

解設(shè)x=cos36°，y=cos72°，由cos72°=2cos236°-1得y=2x2-1,又cos36°=1-2sin218°=1-2cos272°,則x=1-2y2.

因?yàn)閤+y=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y),并且x+y≠0,

3.變量代換法在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)類題目也是高中數(shù)學(xué)中難度較大、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的一類問題，它的難點(diǎn)在于對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)等式，學(xué)生無法將其化簡(jiǎn)為基本形式，導(dǎo)致整個(gè)問題難度加大，進(jìn)而誘使學(xué)生對(duì)這類問題產(chǎn)生恐懼心理，越是懼怕就越不能尋找到最有效的解題方法.除此之外，幾乎所有的函數(shù)問題都伴隨著函數(shù)等式的存在，所以這個(gè)函數(shù)等式就是整個(gè)函數(shù)問題的核心問題.高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)較多，而函數(shù)問題就是其中之一，因此在學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行一定程度上的引導(dǎo)，既幫助學(xué)生積極地學(xué)習(xí)函數(shù)變量代換法又能留給學(xué)生獨(dú)立思考、分析問題的空間.在教授、分析、探究的過程中，將問題由復(fù)雜到單一再到化解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生證據(jù)推理與模型認(rèn)知的能力.

4.變量代換法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中具有舉足輕重的地位，其中的很多重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)的形式表示，而導(dǎo)數(shù)也是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它是高考數(shù)學(xué)中的必考知識(shí)點(diǎn)，它涉及的題型非常廣泛，可以附帶多種知識(shí)點(diǎn)一同考查，具有統(tǒng)一性的特點(diǎn).導(dǎo)數(shù)問題的關(guān)鍵點(diǎn)是其表達(dá)式，化簡(jiǎn)表達(dá)式是導(dǎo)數(shù)概念的基本步驟，也是解決一切導(dǎo)數(shù)問題的鑰匙.學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)需在兩個(gè)角度予以掌握，一個(gè)是幾何意義，一個(gè)是物理意義，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容時(shí)不能只了解教材中表面上的知識(shí)，而忽略了知識(shí)點(diǎn)中深層的概念.此外，對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)求解，如果不認(rèn)真分析函數(shù)的具體形式，由內(nèi)到外、由簡(jiǎn)到難，一步步化簡(jiǎn)，只會(huì)使問題變得更加復(fù)雜難懂.要想提高對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的解答能力，教師的細(xì)心和適當(dāng)積極地指導(dǎo)是不可或缺的，同時(shí)學(xué)生自身對(duì)此類題型多做多練，才能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)變量代換法解答一系列導(dǎo)數(shù)問題.通過變量代換法的有效變化促使復(fù)雜的函數(shù)等式得以簡(jiǎn)化，從而降低題目的難度，增強(qiáng)學(xué)生解題速率和效率.另外，導(dǎo)數(shù)中包含一類叫復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過程比基本函數(shù)的求導(dǎo)過程要復(fù)雜，這時(shí)就更加需要變量代換措施的使用，而且在教學(xué)大綱中也要求教師對(duì)此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變量代換法做出講解.只要學(xué)生能真正理解用變量代換法解決導(dǎo)數(shù)題的基本解題思路，在面對(duì)有些難度的問題時(shí)就可以巧妙應(yīng)用變量代換法，問題很快便會(huì)迎刃而解.

本文從變量代換法在高中數(shù)學(xué)中多方面的應(yīng)用，完美地闡述了變量代換法是眾多解決數(shù)學(xué)問題的方法中相對(duì)而言易于理解掌握的方法，它是一種適合大眾的解題技巧，更是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一種思維方式.合理正確地應(yīng)用變量代換法能使問題變得通俗易懂，簡(jiǎn)單明了，進(jìn)而更容易解答.