兩函數圖象的公切線問題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

函數圖象的切線問題，一直是高考重點考查的內容，兩個函數圖象的公切線問題，內涵豐富，是高考命題的一個新熱點.這兩類問題求解數學思想是一致的，主要是化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想.求解方法也是一致的，主要是：設出切點，利用切點處的導數即為切線的斜率，利用切點在切線上和曲線上聯立方程組求解.但是，兩個函數圖象的公切線問題要比一個函數圖象的切線問題復雜得多，靈活得多，難度大得多.下面筆者通過具體實例，歸納、總結兩函數圖象的公切線問題的類型及求解思想方法.

從上述分析我們還可以看出，曲線C1：y=f(x)與曲線C2：y=g(x)公切線的條數等價于該方程組解的個數.

一、求公切線方程

由兩函數的圖象知，x1與x2同號，即x1x2>0，

∴k=9，切點為(1，3)，

∴ 切線方程為y-3=9(x-1)，即9x-y-6=0.

例2 曲線x2=ky與曲線y=lnx的公切線方程為.

二、求公切線方程中參數的值

例3 (2016年高考全國卷Ⅱ·理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=.

故直線y=kx+b為y=2x+1-ln2，所以b=1-ln2.

三、求函數中參數的值

例4 已知曲線y=x2-lnx在點(1，1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1也相切，則a=.

解因為曲線y=x2-lnx在點(1，1)處的切線的斜率為1，所以曲線y=x2-lnx在點(1，1)處的切線方程為y=x.

因為y=x與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=x有一個實數根，即ax2+(a+1)x+1=0有唯一解，故Δ=0，即(a+1)2-4a=0，解得a=1.

四、求函數中參數的取值范圍

例6 若曲線C1：y=x2與曲線C2：y=aex(a>0)存在公共切線，則a的取值范圍是.

例7 已知曲線y=ex+a與y=(x-1)2恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍是( ).

A.(-∞，2ln2+3) B.(-∞，2ln2-3)

C.(2ln2-3，+∞) D.(2ln2+3，+∞)

解y=ex+a的導數是y′=ex+a，

y=(x-1)2的導數是y′=2(x-1).

設兩條曲線的公切線與曲線y=ex+a相切的切點為(m，n)，則n=em+a，與曲線y=(x-1)2相切的切點為(s，t)，則t=(s-1)2.

由f′(s)<0，得s>3，由f′(s)>0，得1

所以f(s)在(1，3]上單調遞增，在[3，+∞)上單調遞減，所以f(s)在s=3處取到最大值f(3)=2ln2-3.

評注解答此類問題的思路是，從切線重合(即同一條切線)得到兩切點的關系，轉化所求變量與其中一個切點變量的函數關系，運用化歸與轉化思想、函數與方程思想，構造函數，并注意函數自變量的范圍，通過求導確定函數單調性，運用數形結合思想，得到函數值域也即所求參數的取值范圍.

五、求切點橫坐標的取值范圍

例8 已知函數f(x)=x2的圖象在點(x0，x02)處的切線為l，若l也與函數y=lnx，x∈(0，1)的圖象相切，則x0必滿足( ).

六、判斷公切線的條數

329 Rapid identification of chemical constituents in Yine Abrus (Xiangsiteng) by HPLC-TOF/MS

解f′(x)=2x+2(1-a)，設公切線與f(x)圖象相切于點A(m，m2+2(1-a)m-4a)，則切線方程為y-[m2+2(1-a)m-4a]=[2m+2(1-a)](x-m)，整理得y=[2m+2(1-a)]x-m2-4a.

七、探究是否存在公切線

例10 已知函數f(x)=ex，g(x)=lnx，是否存在直線l，使得l同時是函數f(x)，g(x)圖象的切線？說明理由.

(1)求f(x)的極大值；

綜上，當k≤0時，函數F(x)與g(x)的圖象在其公共點處不存在公切線；當k>0時，符合題意的k的值有2個.