函數零點和不等式的分類與證明

李秀元 夏志超

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

導數應用題中，有一類是研究函數的零點問題，往往涉及到證明函數兩零點之和的一個不等式.通過試題分析，我們發現，有的不等式帶有參數，有的不帶參數，帶有參數的不等式，一般反映的是函數零點與極值點的關系，即極值點的偏移問題.不帶參數的不等式，由于含參函數的極值點可能為常數，因此也是極值點偏移，如果不等式中的常數與函數的極值點無關，我們稱之為偽極值點偏移問題.下面通過例題，試圖解讀這些不等式的分類和證明方法，希望對同學們有所幫助.

類型一：極值點偏移問題

例1 已知函數f(x)=ex-ax(a∈R，e為自然對數的底數).

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)有兩個零點x1，x2，且x1

①求實數a的取值范圍；②求證：x1+x2<2lna.

分析依據對函數單調性的討論，得到函數的極值點為x=lna，因此所證不等式與極值點相關，揭示的是函數極值點偏移.

解(1)當a≤0時，f(x)為R上的增函數；

當a>0時，f(x)為(-∞，lna)內的減函數，(lna，+∞)內的增函數.

(2)①實數a的取值范圍是a>e(解題過程略)；

②依據討論可知，x1

要證x1+x2<2lna，即證x1<2lna-x2.因為x1<2lna-x2f(2lna-x2)，又f(x1)=f(x2)=0，故只需證明f(x2)>f(2lna-x2)對x2>lna成立.

∴g(x)在(lna，+∞)內單調遞增.

∴g(x)>g(lna)=0，即f(x)>f(2lna-x)，命題得證.

例2 (2016年全國卷Ⅰ)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是函數的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析求參數a的取值范圍，根據零點與方程根的關系，一般采取分離參變量，但在分離過程中，需要討論x的取值，而且，參變分離之后的新函數式更復雜，在作圖時需要界定圖形的位置.因此考慮直接對原函數求導，得到函數的極值點為x=1，所以，所證不等式依然反映的是極值點的偏移問題.

解(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

①若a=0，f(x)=(x-2)ex只有一個零點x=2.

③若a<0，當x≤1時，f(x)<0，函數f(x)在(-∞，1]內無零點.下面只需考慮函數f(x)在(1，+∞)內的零點個數.

由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上，a的取值范圍為(0，+∞).

(2)不妨設x1f(2-x2)，即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，所以

f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，即證當x>1時，g(x)<0.

∵g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),

∴當x>1時，g′(x)<0，g(x)為(1，+∞)內的減函數，而g(1)=0，所以當x>1時，g(x)<0，命題得證.

評析同樣是極值點偏移問題，由于兩者的極值點不一致，前者與參數有關，后者是常數，因此兩題的處理方式似乎不一樣.例1通過構造函數g(x)=f(x)-f(2lna-x)，證明g(x)>0對x>lna恒成立，這是極值點偏移問題的通常做法.例2則充分利用了零點的含義，只需證明不含參數的f(2-x2)<0，看似巧妙消參，本質上還是證明f(x)-f(2-x)>0.

類型二：偽極值點偏移

例3 已知a為實數，函數f(x)=ex-2-ax.

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)有兩個零點x1，x2(x1

①求實數a的取值范圍；②證明：x1+x2>2.

∴g(x)為(0,1)內的減函數，(1,+∞)內的增函數.而lna>-1，所以0

要證x1+x2>2，只需證x2>2-x1>1.

因為g(x)為(1,+∞)內的增函數，所以只需要證g(x2)>g(2-x1)，又g(x1)=g(x2)，所以只需證g(x1)>g(2-x1)，即g(x1)-g(2-x1)>0(x1∈(0,1)).

令h(x)=g(x)-g(2-x)(0

∴h(x)為(0，1)內的減函數.

∴h(x)>h(1)=0，從而g(x1)-g(2-x1)>0，命題得證.

評析所謂偽極值點偏移，實質上是借助零點與方程的關系，將原函數對應的方程分離參數之后，形成新函數的極值點偏移，參變分離后，新函數的極值點便與參數無關.

類型三：極值點偏移與不等式放縮

例4 已知a為實常數，函數f(x)=lnx-ax+1.

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)有兩個不同的零點x1,x2(x1

當a≤0時，f′(x)>0，f(x)為(0，+∞)內的增函數；

在對例3的分析中，我們嘗試過將極值點偏移與不等式的放縮相結合，結果不成功.雖然不等式的化簡與證明中，不含參數要比含參數簡單，但是什么情況下能把兩者結合，是值得思考的，如例1中由于a>e，想通過證明x1+x2<2來實現x1+x2<2lna就是一個錯誤的決策，因為比一個大于2的數小的數不一定就比2小.實際上x1+x2>2，這樣我們就在極值點偏移的基礎上，得到函數零點和不等式的一個加強：2