巧解二類分組計數原理問題

馬江英 施建昌

(1.浙江省紹興市柯橋區錢清中學 312025；2.浙江省紹興市柯橋區教師發展中心 312030)

在近幾年的高考中，計數原理是高考考查的重要知識點，是數學中的重要研究對象之一，其中的分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具.與分配有關的計數原理問題一直是高考的熱點，從考查的題型上看主要涉及平均分組和不平均分組二類典型問題，下面從二類典型問題和涉二類問題的綜合問題三個方面進行例說.

一、平均分組問題

例1 為迎接2020年東京奧運會，日本某校舉行奧運知識競賽，經初選后，有12名同學獲得參賽資格.這12名選手要分成4個小組，每組3人，那么不同的分組方法有____種.

評注此題是一個平均分組問題，主要是要注意根據平均分組原則進行解題.平均分組問題的方法是解決有關分組問題的根本方法，在解題時要注意正確使用.

二、不平均分組問題

例2 將語文、數學、外語、物理、化學、生物這六本課外輔導讀物贈送給某希望工程學校的四名學生閱讀，每人至少一本，至多2本，則恰好有一人同時獲得物理、化學兩本書的概率是( ).

評注分組問題中對于不平均分組問題的組合數一般不必除以某一個數的階乘數，但對于含有平均分組成分的則需要按不平均分組的原則進行計算.

三、分組綜合問題

分組綜合問題就是指在分組中既含有平均分組的情況，也含有不平均分組的成分，在解題時要注意綜合考慮，并特別掌握好各種分組情況的解法和注意事項.

例3 將7個人(含甲、乙)分成三個組，一組3人，另兩組各2人，不同的分組數為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a,p的值分別為( ).

甲、乙分在同一組的方法種數有以下兩種情況，

評注這是一個分組綜合問題，第一問涉及到平均分組與不平均分組兩種情況，對于每組2人的兩組是平均分組，而3人組就是不平均分組，這類問題的求解方法要特別注意.第二問主要是對于甲、乙分到同一組的情況有兩種，即在3人組或在2人組，要分類討論.像這樣的分組問題，特別是不完全平均分組問題，對于平均分組的問題在計算組合數時要除以相同個數的組數的階乘數，而不相同的個數不必計算在階乘數內.

分組問題中的平均分組問題與不平均分組問題處理方法是不一樣的，要特別注意“不平均分組問題”的情況及“含有平均和不平均分組的交匯問題”的情況的區別與聯系，掌握原則是：涉及平均分組時，在分組時對于分好組的組合數還應除以相同個數的組數的階乘數. 這類問題往往需要注意排列、組合計算公式的應用，并學會將復雜事件分解為若干簡單事件進行處理.